1、第第3 3章章 功和能功和能本章重点：本章重点：3.1；3.2；3.3；3.4本章作业：本章作业：3.1 功功 保守力保守力力对空间的积累力对空间的积累？dsFsFrFAt cosd dd3.1.1、功（、功（work）由由 所作的功所作的功 ba babasFrFAAdcosdd1、外力对质点的功外力对质点的功元功元功：bababazzzyyyxxxzFyFxFAddd直角坐标下：直角坐标下：zFyFxFrFAzyxddddd Orrrd MrdabM FL2、多个力作用时的功（对质点）、多个力作用时的功（对质点）rFFFrFAnd).(d 21 rFrFrFnd.dd21nAAA 21合力
2、对质点所作的功，等于每个分力所作的功的合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。代数和。（1）功是功是标量标量（可正、可负、可为零）（可正、可负、可为零）（2）功与路径有关，是过程的函数（功与路径有关，是过程的函数（过程量过程量）（3）功是力对空间的积累功是力对空间的积累（4）功的单位为焦耳功的单位为焦耳（J）说明说明 1 弹簧弹力的功。弹簧弹力的功。解解 当物体处于当物体处于 x 处时所受的弹力为：处时所受的弹力为：kxF 物体由物体由 x a 移动到移动到 x b 处处时弹性力所作的功为：时弹性力所作的功为：21dxxxkxA22212121kxkx 由此可见由此可见：弹簧伸长时，
3、弹力作负功；：弹簧伸长时，弹力作负功；弹簧收缩时，弹力作正功。弹簧收缩时，弹力作正功。弹性力的功弹性力的功A的大小仅与始末状态有关，而与路径无关。的大小仅与始末状态有关，而与路径无关。3.1.2、几种常见力的功、几种常见力的功mxFFxO2 2 重力的功重力的功)(dd12 2121zzmgzmgAAzzPP yzOxgm1P2Pz1z2z作用于质点上的重力作用于质点上的重力 kmgP 位移元位移元 kdzjdyidxrd mdz)kdzjdyidx()kmg(rdPAd 在由在由P P1 1到到P P2 2的过程中重力做功为的过程中重力做功为:重力的功只与始、末位置有关，与具体路径无关。质点
4、下降时重力重力的功只与始、末位置有关，与具体路径无关。质点下降时重力作正功，质点上升时重力作负功。作正功，质点上升时重力作负功。3 万有引力的功。万有引力的功。m m1 1 在在m m2 2的引力场沿其椭圆轨道的引力场沿其椭圆轨道由由ra移到移到r b。求求引力对引力对m1 所作的功。所作的功。|d|cosdd2210rrmmGrFA )cos(|d|cos|d|rr)11(dd2102210abrrrrrrmmGrrmmGAAbaba 解：解：rrmmGF2210 rrmmGAdd2210 Frrrd rdbr2m1marabrd rd讨论讨论 万有引力的功万有引力的功A的大小仅与始末状态有
5、关的大小仅与始末状态有关,而与路径无关。而与路径无关。在不同的位置，其功的正负和数值不同，在在不同的位置，其功的正负和数值不同，在c,d点点A=0,在在f点附近作正功，在点附近作正功，在e点附近作负功。点附近作负功。轨道为圆形时，轨道为圆形时，A=0.cdfe4 4 摩擦力的功摩擦力的功 vf 1P2P1L2L质量为质量为m m的质点，在固定的粗糙水平的质点，在固定的粗糙水平面上由初始位置面上由初始位置P P1 1沿某一路径沿某一路径L L1 1运动到运动到末位置末位置P P2 2，路径长度为，路径长度为s s，如图所示。，如图所示。由于摩擦力的方向总是与速度的由于摩擦力的方向总是与速度的方向
6、相反。所以元功方向相反。所以元功lmglFlFAdddd mgslmgAAsPP 0 dd21 质点由质点由P P1 1点沿点沿L L1 1运动到运动到P P2 2点的过程中，摩擦力所做的功为点的过程中，摩擦力所做的功为:摩擦力的功不仅与始、末位置有关，而且与具体的路径有关。摩擦力的功不仅与始、末位置有关，而且与具体的路径有关。3.1.3、保守力与非保守力、保守力与非保守力OxkFaxbxFrrrd rdbrMmarabrdOxyz),(zyxM)0,(000yxMgmrdm222121bakxkxA )11(0abrrMmGA mgzA 特点：功只与初、末位置有关，而与质点的具体路径无关特点
7、：功只与初、末位置有关，而与质点的具体路径无关1、保守力保守力：作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关 的力。例：重力、万有引力、弹性力、静电力等的力。例：重力、万有引力、弹性力、静电力等保守力的环流等于零。保守力的环流等于零。3、非保守力：力所做的功与路径有关，或力沿闭合路径的、非保守力：力所做的功与路径有关，或力沿闭合路径的 功不为零。这种力为功不为零。这种力为非保守力非保守力。如摩擦力、冲力、火箭的推动力等如摩擦力、冲力、火箭的推动力等2、保守力沿任何一闭合路径所作的功为零。保守力沿任何一闭合路径所作的功为零。0d LrF BDAACBLrFrF
8、rFddd ADBACBrFrFdd0 ADCB BDAADBrFrFdd平均功率：平均功率：tAP 瞬时功率：瞬时功率：tAtAPtddlim 03.1.4、功率、功率(power)表示表示作功快慢作功快慢的物理量的物理量tAPdd trFdd vF 定义：定义：功随时间的变化率功随时间的变化率.SI单位单位:焦耳焦耳/秒秒 (瓦特瓦特)vFP 3.2 势势 能能3.2.13.2.1、势能势能从从3.13.1中得到，有关重力、万有引力、弹性力做功的公式分别为中得到，有关重力、万有引力、弹性力做功的公式分别为21()Amgzmgz 121200bam mm mAGGrr )2121(2122k
9、xkxA与始末的位置坐标变化有关，而与路径无关与始末的位置坐标变化有关，而与路径无关。保守力做功必然伴保守力做功必然伴随着能量的变化，而这种能量仅与位置坐标有关。我们把这种与随着能量的变化，而这种能量仅与位置坐标有关。我们把这种与位置坐标有关的能量称为势能：位置坐标有关的能量称为势能：pEpdaE 势能零点Fl积分路径是任意的。积分路径是任意的。质点从质点从 a点移到零势能点点移到零势能点 的过程中，保守力作的功。的过程中，保守力作的功。重力势能为重力势能为 0pdzEmg zmgz万有引力势能为万有引力势能为 1212p002drm mm mEGrGrr 弹性势能为弹性势能为 02p1d2x
10、Ekx xkx 只有保守力场才能引入势能的概念。只有保守力场才能引入势能的概念。势能是属于整个系统的。势能是属于整个系统的。势能只有相对的意义，在零势能点确定之后，势能只有相对的意义，在零势能点确定之后，各点的势能才具有唯一的确定值。各点的势能才具有唯一的确定值。说明说明z质点在保守力场中任意两点（如点质点在保守力场中任意两点（如点a和点和点b）的势能差等于把质点）的势能差等于把质点从从a点经过任意路径移到点经过任意路径移到b点的过程中保守力点的过程中保守力F所做的功。即所做的功。即pdbaE Fl得重力势能差、万有引力势能差和弹性势能差分别为得重力势能差、万有引力势能差和弹性势能差分别为 2
11、121p2p1d=()()zzAmg zmgzmgzEE 121212000p2p12d()barrbam mm mm mAGrGGEErrr 212221p2p111d()()22xxAkx xkxkxEE 可统一写成可统一写成 p1p2p)(EEEA pddEA3.2.2、保守力与势能梯度、保守力与势能梯度pEAdd 由由zFyFxFAzyxdddd 而而zzEyyExxEEppppdddd)(kzEjyEixEFppp 则则：ppEEF gradkzjyix 在保守力场中，质点在某点所受的保守力等于该点在保守力场中，质点在某点所受的保守力等于该点势能梯度矢量的负值。势能梯度矢量的负值。哈
12、密顿算符哈密顿算符3.3.1、质点的动能定理、质点的动能定理rFAdd dsdd tvmvmvd sFtd)(221dmv2122221212121mvmv)mv(AAvvba dd末态的状态量末态的状态量初态的状态量初态的状态量导致状态量导致状态量变化变化221mv1.质点的动质点的动 能能标量标量 由于运动而具有的能量由于运动而具有的能量 状态量状态量221mvEk 3.3 动能定理动能定理OrrrdMrdabM F 1v2vdskdE 21222212121dd21mvmv)mv(AAvvba kakbEEA 2.质点的质点的动能定理动能定理合外力对质点做的合外力对质点做的功等于该质点动
13、能功等于该质点动能的增量。的增量。质点质点的动能定理的动能定理功是动能变化的量度功是动能变化的量度外力作正功，质点动能增加外力作正功，质点动能增加 外力作负功，质点动能减少外力作负功，质点动能减少A为过程量，与过程有关，而为过程量，与过程有关，而Ek为状态量为状态量A与与v应对应同一惯性系应对应同一惯性系说明说明3.用动量表示动能用动量表示动能vvmmvEk21212mpmppvp221212mpEK22kEA d dd d kEA 动能定理的微分形式动能定理的微分形式动能定理的积分形式动能定理的积分形式例题例题3.13.1 质量为质量为m、线长为、线长为l的单摆，可绕的单摆，可绕o o点点在
14、竖直平面内摆动。初始时刻摆线被在竖直平面内摆动。初始时刻摆线被拉至水平，然后自由放下，求摆线与水拉至水平，然后自由放下，求摆线与水平线成平线成 角时，摆球的速率和线中的张力。角时，摆球的速率和线中的张力。rddabl解解 摆球受摆线拉力摆球受摆线拉力T T和重力和重力mg,合力作的功为合力作的功为 bababargmrTrgmTAddd)(0d barT sindcos dcosd0mglmglrmgrgmAbaba 由动能定理由动能定理2221021sinmvmvmglA sin2glv 牛顿第二定律的法向分量式为牛顿第二定律的法向分量式为:lvmmamgT2nsin sin3mgT m0v
15、证明：由证明：由牛顿第二定律牛顿第二定律：tvmfdd RvmN2 又由于又由于,Nf 故有：故有：tvmRvmdd2 即：即：tssvvRdddd21 svvdd 亦即：亦即：vvsRdd fN 补充例题补充例题在光滑的水平桌面上平放有半在光滑的水平桌面上平放有半圆形屏障。质量为圆形屏障。质量为m的滑块以速度的滑块以速度v0 沿切沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为系数为，试证明：当滑块从屏障的另一，试证明：当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所作的功为：端滑出时，摩擦力所作的功为：)(121220 emv作定积分，得：作定积分，得：vvRvvsR
16、0d)d(0RRvv0ln即：即：evv0故：故：evv0由质点的由质点的动能定理动能定理得：得：2022121mvmvA )(2120220vevm )1(21220 emv13f12f3F2F1F3m2m1m21f31f23f32f质点系所有内力之和为零质点系所有内力之和为零321,FFF322331132112,ffffff 0内内f1、质点系、质点系 内力和外力：内力和外力：外力：外力：质点系以外的物体对系统的作用力称为外力。质点系以外的物体对系统的作用力称为外力。内力：内力：质点系内各质点之间的相互作用力称为内力。质点系内各质点之间的相互作用力称为内力。注意注意:质点系中任意一个质点
17、，例如第质点系中任意一个质点，例如第i个质点受的个质点受的系统内其它质点作用力的矢量和不一定为零系统内其它质点作用力的矢量和不一定为零。外外外外FfNii 1质点系内各质点受的外力的矢量和称为质点系质点系内各质点受的外力的矢量和称为质点系受的合外力，即受的合外力，即 3.3.2、质点系的动能定理：、质点系的动能定理：含两个或两个以上的含两个或两个以上的质点质点的力学系统。的力学系统。11111111BABArfrFdd12121112121kABEvmvm对对m1:2222222222222222121ddkABABABEvmvmrfrF对对m2:对各质点应用动能定理：对各质点应用动能定理：两
18、式相加，得：两式相加，得：112222112122112211BAkkBABABAEErfrfrFrFdddd2F1F1f2f1dr2dr1Bv2Bv1m2m1S2S1A2A2B1B1Av2Av即即kEAA内外2、质点系的动能定理：、质点系的动能定理：3.4.23.4.2、机械能守恒定律、机械能守恒定律0 pkEEEd dd dd d常常量量或或pkEEE只有只有每一微小过程中每一微小过程中外力作的功和非保守内力作的功之和为外力作的功和非保守内力作的功之和为零时，则此过程中的机械能守恒。零时，则此过程中的机械能守恒。语言表述：如果一个系统所受的外力和非保守内力对它所作的语言表述：如果一个系统所
19、受的外力和非保守内力对它所作的总功总功始终始终为零，或只有保守内力作功而其它内力和外力都不作为零，或只有保守内力作功而其它内力和外力都不作功，则系统各物体的动能和势能可以相互转换，但其和为一恒功，则系统各物体的动能和势能可以相互转换，但其和为一恒量。量。0dd非保内非保内外外当当AApkEEd dd d或或0 pkEEE上式是不是机械能守恒定律的条件和表示式？上式是不是机械能守恒定律的条件和表示式？0非非保保内内外外如如AA问：问：3.4.3、能量守恒定律：、能量守恒定律：各种形式的能量可以相互转换，但无论如何转换，能各种形式的能量可以相互转换，但无论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭，总量
20、保持不变。量既不能产生，也不能消灭，总量保持不变。例题例题3.33.3 如图所示，有一质量略去不计的轻弹簧，如图所示，有一质量略去不计的轻弹簧，其一端系在铅直放置的圆环的顶点其一端系在铅直放置的圆环的顶点P P，另一端，另一端系一质量为系一质量为m m的小球，小球穿过圆环并在圆环的小球，小球穿过圆环并在圆环上作摩擦可略去不计的运动。设开始时小球上作摩擦可略去不计的运动。设开始时小球静止于静止于A A点，弹簧处于自然状态，其长度为圆点，弹簧处于自然状态，其长度为圆环的半径环的半径R R。当小球运动到圆环的底端。当小球运动到圆环的底端B B点时，点时，小球对圆环没有压力。求此弹簧的劲度系数。小球对
21、圆环没有压力。求此弹簧的劲度系数。解解 取弹簧、小球和地球为一个系统，小球与地球间的重力、小取弹簧、小球和地球为一个系统，小球与地球间的重力、小球与弹簧间的作用力均为保守内力。而圆环对小球的支持力和球与弹簧间的作用力均为保守内力。而圆环对小球的支持力和P P点对弹簧的拉力虽都为外力，但都不做功，所以，小球从点对弹簧的拉力虽都为外力，但都不做功，所以，小球从A A运动运动到到B B的过程中，系统的机械能守恒。取弹簧为自然状态时的弹性的过程中，系统的机械能守恒。取弹簧为自然状态时的弹性势能为零；取势能为零；取B B点处的重力势能为零，由机械能守恒定律可得点处的重力势能为零，由机械能守恒定律可得)3
22、0sin2(212122 mgRkRmvB点时由牛顿第二定律得方程点时由牛顿第二定律得方程 RvmmgkR2 Rmgk2 由由此此得得例题例题3-43-4要使物体脱离地球的引力范围，求从地面发射该物体的要使物体脱离地球的引力范围，求从地面发射该物体的速度最小值为多大？速度最小值为多大？解解：由机械能守恒定律得到：由机械能守恒定律得到 rmmGvmRmmGvm210212102012121rmGvgRv2022022 220RmGg 时时，r0 v0220 gRv)s(m 1012.18.9104.622146 Rgv 例题例题3.5 目前，天体物理学家预言有一类天体，其特征是目前，天体物理学家
23、预言有一类天体，其特征是它的引力非常之大，以至包括光在内的任何物质都不能从它上它的引力非常之大，以至包括光在内的任何物质都不能从它上面发射出来，这种天体被面发射出来，这种天体被称称为黑洞（为黑洞（black hole)。若由于某种。若由于某种原因，太阳变成了一个黑洞，它的半径必须小于何值？原因，太阳变成了一个黑洞，它的半径必须小于何值？解解 由机械能守恒定律由机械能守恒定律22001122m Mm Mm vGm vGRr 02102 RmMGmvr0 v当当时时m要从要从M上逃逸，有：上逃逸，有：RMGv022 逃逸速度为逃逸速度为v与与m无关，与无关，与R,M有关有关.202cRMG 光也不
24、能从此天体上逃逸出来，成为黑洞光也不能从此天体上逃逸出来，成为黑洞若一个质量若一个质量M的天体，只要半径的天体，只要半径R缩小到某一临界值缩小到某一临界值202cMGrR 此天体就称为黑洞。对太阳此天体就称为黑洞。对太阳M=1.991030kg,R=6.96108m)m(.cMGrR320109522则则成为黑洞。成为黑洞。）厘米厘米吨吨310/10851(.Vm小小 结结1.1.元功：元功：总功：总功：rFAddsFdscosFrdFdAt 2.2.保守力保守力 做功只与始末位置有关，而与路径无关的力。做功只与始末位置有关，而与路径无关的力。非保守力：做功不仅与始末位置有关，而且与路径有关的力非保守力：做功不仅与始末位置有关，而且与路径有关的力 。3.3.势能势能 势能差势能差 balFEdp 零零势势能能点点alFEdp4.质点的动能定理质点的动能定理 kEA d dd d kEA 5.质点系的动能定理质点系的动能定理 kdddEAA 内内外外kEAA 内内外外6.质点系的功能原理质点系的功能原理 EEEAAddddd pk非非保保守守内内外外EEEAA pk非非保保守守内内外外0非非保保守守内内外外AAdd 恒量 pkEEE则则7.机械能守恒定律机械能守恒定律
