1、第七章第七章 气体动理论气体动理论本章重点：本章重点：7.2、7.3；7.4本章作业：本章作业：热学热学是研究物质热现象与热运动规律及其应用的学科是研究物质热现象与热运动规律及其应用的学科。根据对热现象研究方法的不同，热学又可分为宏观理论根据对热现象研究方法的不同，热学又可分为宏观理论和微观理论两部分。和微观理论两部分。微观模型微观模型宏观热现象宏观热现象微观本质微观本质力学规律力学规律统计方法统计方法宏观热现象宏观热现象宏观热现象宏观热现象的规律的规律观察实验观察实验逻辑推理逻辑推理微观理论微观理论统计物理学统计物理学宏观理论宏观理论热力学热力学统计平均统计平均 描写宏观物质整体特征描写宏观
2、物质整体特征的量。如体积、温度、压强的量。如体积、温度、压强和内能等。和内能等。宏观量宏观量 描写单个微观粒子特征描写单个微观粒子特征的量。如分子质量、位置、的量。如分子质量、位置、速度、能量等。速度、能量等。微观量微观量导导 论论气体动理论的研究对象：气体动理论的研究对象：由大量分子组成的气态物质，并着重研究处于热平衡状由大量分子组成的气态物质，并着重研究处于热平衡状态下的理想气体。态下的理想气体。气体动理论的研究方法：气体动理论的研究方法：从构成气体的大量分子作无规则热运动的微观模型出发，从构成气体的大量分子作无规则热运动的微观模型出发，运用统计的方法，讨论气体分子热运动的基本特征。运用统
3、计的方法，讨论气体分子热运动的基本特征。本章的重点在于本章的重点在于：（1 1）建立温度、压强等宏观量与描述气体分子特征的微建立温度、压强等宏观量与描述气体分子特征的微观量之间的联系；观量之间的联系；（2 2）揭示宏观热现象、宏观量和宏观规律的微观本质。）揭示宏观热现象、宏观量和宏观规律的微观本质。7.1 气体动理论的基本概念气体动理论的基本概念 7.1.1 物质的微观结构模型物质的微观结构模型（3）分子力观点：）分子力观点：分子间有相互作用力。分子间有相互作用力。当当 时，分子力主要表现为引力时，分子力主要表现为引力.0rr 。时时，当当0m109 Fr0rr 当当 时，分子力主要表现为斥力
4、；时，分子力主要表现为斥力；当当 时，分子处于平衡状态，时，分子处于平衡状态，分子力为零；分子力为零；0rr （1）分子、原子观点）分子、原子观点:宏观物体由大量宏观物体由大量微观粒子微观粒子（分子或原子（分子或原子)组组成，且粒子之间有间隙。成，且粒子之间有间隙。（2）分子运动的观点：）分子运动的观点：组成物质的分子在组成物质的分子在永不停息永不停息地作地作无规则无规则的的热运动热运动。证据：扩散现象、布朗运动等。证据：扩散现象、布朗运动等。7.1.2 理想气体的微观结构模型理想气体的微观结构模型（1）理想气体理想气体分子可视为质点，运动遵循牛顿运动定律。分子可视为质点，运动遵循牛顿运动定律
5、。（2）理想气体理想气体分子间、分子与器壁间的碰撞是完全弹性的。分子间、分子与器壁间的碰撞是完全弹性的。（3）除碰撞瞬间外，）除碰撞瞬间外，理想气体理想气体分子间无相互作用。分子间无相互作用。7.1.3 宏观量和微观量宏观量和微观量（1 1）微观量：描述微观粒子特征的物理量，如质量、速）微观量：描述微观粒子特征的物理量，如质量、速度、能量等；（不能用实验直接观测）度、能量等；（不能用实验直接观测）（2 2）宏观量：描述宏观物质整体特征的物理量，如压强、）宏观量：描述宏观物质整体特征的物理量，如压强、温度、体积、内能等。（可以由实验观测）温度、体积、内能等。（可以由实验观测）宏观量与微观量之间存
6、在着一定的联系。宏观量与微观量之间存在着一定的联系。7.1.4 统计规律和统计平均值统计规律和统计平均值1、偶然事件（随机事件）：在一定条件下可能发生也可能不、偶然事件（随机事件）：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。发生的事件。伽尔顿板实验伽尔顿板实验2、统计规律：、统计规律：大量偶然事件的大量偶然事件的总体总体所具有的规律。所具有的规律。对单个小球对单个小球而言，其运动而言，其运动规律完全是偶规律完全是偶然的。然的。大量小球或一大量小球或一个小球重复投入个小球重复投入许多次的分布具许多次的分布具有必然性。有必然性。即系统的宏观性质是大量微观粒子运动的统计平均结果，即系统的宏观性质是大量
7、微观粒子运动的统计平均结果，宏观量宏观量与相应的与相应的微观量的统计平均值微观量的统计平均值有关。有关。求统计平均值求统计平均值寻找统计规律的方法：寻找统计规律的方法：3、统计平均值与概率、统计平均值与概率 如果在测量某一量如果在测量某一量x的过程中，的过程中，x1出现了出现了N1次，次，xn出出现了现了Nn次，则各次测得次，则各次测得x值之总和值之总和 除以总的测量次数除以总的测量次数 N所得的商就称为所得的商就称为x的的统计平均值统计平均值，用，用 来表示：来表示：iiix Nx1111iiinnnniiix NNNxxxx px px pNNN 其中：其中：表示表示 出现的出现的概率概率
8、。/iipNN ix描述随机事件出现的描述随机事件出现的可能性大小的量可能性大小的量 归一化条件归一化条件系统处于一切可能状态系统处于一切可能状态的概率总和等于的概率总和等于1。1iiiiNpN 变量在变量在 x 附近单位间隔内出现的概率称为概率密度，用附近单位间隔内出现的概率称为概率密度，用 表示，则表示，则 x 出现在某一间隔出现在某一间隔 dx 内的概率为：内的概率为：()f xd()()dp xf xx()dxxf xx 此时：此时：7.1.5 状态参量状态参量热力学系统：在给定的范围内，由大量的微观粒子所组热力学系统：在给定的范围内，由大量的微观粒子所组 成的宏观物体。成的宏观物体。
9、常见的热力学系统的状态参量是常见的热力学系统的状态参量是压强、体积和温度压强、体积和温度等。等。压强压强 p：垂直作用于容器壁单位面积上的压力。（力学描述）：垂直作用于容器壁单位面积上的压力。（力学描述）体积体积V：气体所能达到的最大空间。（几何描述）气体所能达到的最大空间。（几何描述）温度温度T：描述系统冷热程度的物理量：描述系统冷热程度的物理量，标志系统内部分子，标志系统内部分子 热运动的激烈程度。（热学描述）热运动的激烈程度。（热学描述）描述热力学系统状态的宏观物理量，称为描述热力学系统状态的宏观物理量，称为状态参量状态参量。热力学温标热力学温标 T：单位为：单位为K（开尔文）（开尔文）
10、单位：单位：2N/m1Pa1 摄氏温标与热力学温标的关系为：摄氏温标与热力学温标的关系为：15.273 tT摄氏温标摄氏温标 t：单位为：单位为C（摄氏度摄氏度）。）。Pa10013.1atm15 标准大气压：标准大气压：7.1.6 平衡态平衡态 准静态过程准静态过程 热力学系统以外的物质热力学系统以外的物质称为称为外界外界。根据系统和外界的关系，可将系统分为以下几种类型：根据系统和外界的关系，可将系统分为以下几种类型：孤立系统：与外界不发生任何物质和能量交换的系统孤立系统：与外界不发生任何物质和能量交换的系统。封闭系统：与外界只有能量交换没有物质交换的系统封闭系统：与外界只有能量交换没有物质
11、交换的系统。开放系统：与外界同时发生能量交换和物质交换的系统。开放系统：与外界同时发生能量交换和物质交换的系统。1、平衡态：、平衡态：平衡态可平衡态可用用 p-V 图上的图上的一点一点表示。表示。一个孤立系统或一个不受外界作一个孤立系统或一个不受外界作用的系统，经过足够长的时间达到一用的系统，经过足够长的时间达到一种状态参数不随时间变化的状态，称种状态参数不随时间变化的状态，称为为平衡态平衡态。平衡态平衡态平衡态平衡态达到平衡态时系统要同时满足：达到平衡态时系统要同时满足：热热 平平 衡条件衡条件系统的温度处处相等；系统的温度处处相等；力学平衡条件力学平衡条件在无外场时系统内部压强处处相等；在
12、无外场时系统内部压强处处相等；化学平衡条件化学平衡条件系统内部应没有化学反应发生，在无外场作系统内部应没有化学反应发生，在无外场作 用下系统内部各处化学组分处处相等。用下系统内部各处化学组分处处相等。说明说明 当系统从原来的状态向新的状态转移，中间经历了一个过当系统从原来的状态向新的状态转移，中间经历了一个过程。若构成过程的每一个中间状态都是平衡态则该过程称为程。若构成过程的每一个中间状态都是平衡态则该过程称为平衡过程平衡过程。若过程进行的足够慢，以至于每一个中间状态都无限接近若过程进行的足够慢，以至于每一个中间状态都无限接近于平衡状态，则称为于平衡状态，则称为准静态过程准静态过程。2、准静态
13、过程：、准静态过程：准静态过程是无限缓慢的状态变化过程，它是实际过程的准静态过程是无限缓慢的状态变化过程，它是实际过程的抽象，是理想模型。抽象，是理想模型。7.1.7 统计假设统计假设（平衡态）（平衡态）1）理想气体分子理想气体分子是均匀分布（分子数密度相等）的。是均匀分布（分子数密度相等）的。2）在平衡状态下，理想气体在平衡状态下，理想气体分子沿各方向运动的分子沿各方向运动的概率概率相同。相同。222231vvvvzyx 分子沿各个方向运动的速度分量的各种平均值应该相等。分子沿各个方向运动的速度分量的各种平均值应该相等。kvjvivviziyixi 分子运动速度分子运动速度0 zyxvvv准
14、静态过程准静态过程平衡态平衡态平衡态平衡态准静态过程可用准静态过程可用 p-V 图图中的中的连续曲线连续曲线表示。表示。mpVRTRTM 1mol,NA=6.02310 23/mol 阿佛加德罗常数阿佛加德罗常数描述理想气体在任描述理想气体在任一一平衡态下平衡态下各宏观状态量之间的关系。各宏观状态量之间的关系。普普适适气气体体常常量量 K).(J/mol31.8RANN 则则NkTRTNNpVA)KJ(1038.110023.631.82323 ANRk 玻耳兹曼常量玻耳兹曼常量knkTkTVNp 7.1.8 理想气体状态方程理想气体状态方程 7.2.1 理想气体的压强公式及其统计意义理想气体
15、的压强公式及其统计意义 微观本质微观本质密集的雨点持密集的雨点持续地倾泻在伞续地倾泻在伞面上，对伞面面上，对伞面产生一个持续产生一个持续的压力，由此的压力，由此产生作用于伞产生作用于伞面上的压强面上的压强。容器中数目巨大容器中数目巨大的气体分子频繁的气体分子频繁碰撞器壁，会对碰撞器壁，会对器壁产生持续的器壁产生持续的压力，从而产生压力，从而产生器壁上的压强器壁上的压强 压强：压强：大量分子碰撞器壁大量分子碰撞器壁单位时间内单位时间内、作用于器壁、作用于器壁单位面积单位面积 的的平均冲量平均冲量。tsIpddd大量分子不断碰撞器壁，对器壁大量分子不断碰撞器壁，对器壁单位面积的平均冲力单位面积的平
16、均冲力。7.2 理想气体的压强和温度的微观解释理想气体的压强和温度的微观解释 7.2.2 理想气体的温度公式及其微观意义理想气体的温度公式及其微观意义 得得kTw23 kwT32 则则1）处于平衡态时的理想气体，其分子平均平动动能与）处于平衡态时的理想气体，其分子平均平动动能与 气体的温度呈正比。气体的温度呈正比。2）温度的微观本质是分子平均平动动能的量度；是）温度的微观本质是分子平均平动动能的量度；是 表示气体分子无规则热运动激烈程度的物理量。表示气体分子无规则热运动激烈程度的物理量。3）温度是大量分子热运动的集体表现，因而温度对）温度是大量分子热运动的集体表现，因而温度对 个别分子也毫无意
17、义。个别分子也毫无意义。由状态方程和压强公式由状态方程和压强公式nkTp wnp32 说明说明7.2.3 理想气体分子的方均根速率理想气体分子的方均根速率20331.73kTRTRTvmMM 是大量分子的速率平是大量分子的速率平方方平平均均值的平方值的平方根根，称为称为方均根速率方均根速率。2v例如，例如，0时常见的几种气体的方均根速率：时常见的几种气体的方均根速率：2012wm v kTw23 根据根据 和和 ，可得，可得m/s 493氢气氢气氧气氧气氮气氮气空气空气1838m/sm/s 461m/s 485气体气体2v例题例题7-3.若气体分子的平均平动动能等于若气体分子的平均平动动能等于
18、1eV（电子伏特），（电子伏特），问气体的温度为多少？当温度为问气体的温度为多少？当温度为27C时，气体分子的平均平动时，气体分子的平均平动动能为多少？动能为多少？解：解：已知已知 191 eV1.602 10 Jw 由理想气体的温度公式得由理想气体的温度公式得 1932322 1.602 10K7.74 10 K33 1.38 10wT=k 当温度为当温度为27C时，气体分子的平均平动动能为时，气体分子的平均平动动能为2321331.38 10(27327)J6.21 10J0.0388eV22wkT 例题例题7-4.试计算试计算0C时氢分子的方均根速率。时氢分子的方均根速率。解：解：已知已
19、知 273.15KT ，312.02 10 kg molM，则：则：2131333 8.31 273.15m s1.84 10 m s2.02 10RTvM 7.3 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 理想气体的内能理想气体的内能7.3.1 自由度自由度 1、定义：确定一个物体、定义：确定一个物体空间位置空间位置所需要的所需要的独立坐标独立坐标的数目。的数目。用用 i 表示表示.自由运动刚体的自由度：自由运动刚体的自由度：转轴：转轴：2 (，)1coscoscos222 绕轴转动：绕轴转动：1 （）6 rti质点的自由度：质点的自由度：空间：空间：3 个独立坐标个独立坐标质心：质心：3
20、（x，y，z)：t=3平面：平面：2直线：直线：1zxyOxzyzxyA)(zy,x,C O2、气体分子运动自由度：、气体分子运动自由度：单原子分子：单原子分子：刚性多原子分子：刚性多原子分子：i =3+3=6多原子分子：多原子分子：v 3 个平动自由度，个平动自由度，2 个转动自由度。个转动自由度。3 个平动自由度个平动自由度,i =3 刚性双原子分子：刚性双原子分子：i=t+r=53 个平动自由度，个平动自由度，3 个转动自由度，个转动自由度，zxyOxzyzxyxzyC OzxyxzyC O201322wmvkT 222231vvvvzyx7.3.2 能量按自由度均分定理能量按自由度均分
21、定理分子的平均平动动能：分子的平均平动动能：平动平动:分子在每个平动自由度上的分子在每个平动自由度上的平均动能平均动能相等，相等，都等于都等于kT/2。气体处于平衡态时，分子任何一个自由度的气体处于平衡态时，分子任何一个自由度的平均能量平均能量都相等，均为都相等，均为k T/2。推广：推广：能量按自由度均分定理：能量按自由度均分定理：对自由度为对自由度为 i 的分子，其的分子，其平均总能量平均总能量应为：应为：kTrtkTik)(212 22200011112222xyzm vm vm vkT 2）室温下只有平动和转动，高温下才有振动。室温下只有平动和转动，高温下才有振动。一般不说明，都按一般
22、不说明，都按刚性分子刚性分子处理，即无振动。处理，即无振动。3）该原理也适用于液体和固体。）该原理也适用于液体和固体。7.3.3 理想气体的内能理想气体的内能1、一般热力学系统的内能：、一般热力学系统的内能：系统内部各种能量的总和系统内部各种能量的总和。2、理想气体的内能：、理想气体的内能：（若无化学反应、无核反应）系统内能指所有分子的（若无化学反应、无核反应）系统内能指所有分子的各种形式的动能、振动势能和分子间势能的总和。各种形式的动能、振动势能和分子间势能的总和。理想气体（刚性分子）的内能，是理想气体（刚性分子）的内能，是系统内全部分子的系统内全部分子的平动动能和转动动能之和。平动动能和转
23、动动能之和。1）能量按自由度均分定理是关于分子热运动动能的能量按自由度均分定理是关于分子热运动动能的 统计规律，对单个分子无意义。统计规律，对单个分子无意义。说明说明设理想气体由设理想气体由N个刚性分子组成个刚性分子组成，其内能为：，其内能为：mol2222kAAiN iim iENNkTN kTRTRTENM m理想气体的质量；理想气体的质量；M理想气体的摩尔质量；理想气体的摩尔质量；摩尔数摩尔数Emol 1摩尔理想气体的内能，称为摩尔内能，摩尔理想气体的内能，称为摩尔内能，mol2iERT 22m iiERTRTM mol理想气体的内能理想气体的内能RT23RT25RT3摩尔内能摩尔内能i
24、=6i=5i=3自由度自由度刚性多原子刚性多原子刚性双原子刚性双原子单原子单原子当温度发生微小变化当温度发生微小变化dT 时，内能的变化为：时，内能的变化为：当温度由当温度由T 变到变到T+T，则：，则：mol2iERTE 2)T 是状态量，与过程无关，因而内能也是状态量，与过程是状态量，与过程无关，因而内能也是状态量，与过程 无关。无关。一个过程中理想气体内能的变化仅与初、末态温度一个过程中理想气体内能的变化仅与初、末态温度 变化有关，与过程无关。变化有关，与过程无关。（对一定的（对一定的理想气体理想气体）1)一定的理想气体，内能只是温度的单值函数一定的理想气体，内能只是温度的单值函数,E
25、T。RTiE2 mol理想气体的内能理想气体的内能说明说明molddd2iER TE 例题例题7-5 1mol氦气与氦气与2mol氧气在室温下混合，试求当温度由氧气在室温下混合，试求当温度由27C升为升为30C时，该系统的内能增量。时，该系统的内能增量。解解 由内能公式由内能公式RTiE2对氦气对氦气 i=3,对氧气对氧气 i=5 则内能为：则内能为：RTRTRTE5.625223 内能的增量为：内能的增量为：6.56.58.313162JER T 7.4.1 速率分布函数速率分布函数 在在平衡态平衡态下，气体分子速率的大小各不相同。由于分子的下，气体分子速率的大小各不相同。由于分子的数目巨大
26、（数目巨大（共有共有N个分子）个分子），速率可以看作在，速率可以看作在0 之间连续之间连续分布的。分布的。将将 的速率区间划分成一系列等间距的小区间。的速率区间划分成一系列等间距的小区间。0NNv OvN：分子总数分子总数vvv S N：速率在速率在v v+v 区间内的分子数。区间内的分子数。7.4 麦克斯韦分布律麦克斯韦分布律vvfNNd)(d vNNvNNvNNvfvvdd1lim1lim)(00 速率分布函数速率分布函数表示速率在表示速率在 区间的区间的分子数占总分子数的百分比分子数占总分子数的百分比 .vvvd 表示在温度为表示在温度为 T 的平衡态下，速率在的平衡态下，速率在 v 附
27、近附近单位速单位速率区间的分子数占总数的百分比。率区间的分子数占总数的百分比。单个分子来说，表示单个分子的速率出现在单个分子来说，表示单个分子的速率出现在 v 值附近单值附近单位速率区间内的概率，即位速率区间内的概率，即概率密度。概率密度。表示速率在表示速率在v v+v区间内的分子数占总分区间内的分子数占总分子数的百分比。子数的百分比。NNS 物理意义物理意义7.4.2 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律2032202d4d2m vkTmNevvNkT 203220242m vkTmfvevkT 麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数速率分布在区间速率分布在区间 v v+dv 的分子数占总
28、分子数的比率为：的分子数占总分子数的比率为：1859年，麦克斯韦首先从理论上导出了年，麦克斯韦首先从理论上导出了平衡态下理平衡态下理想气体想气体分子速率分布函数的数学形式：分子速率分布函数的数学形式：麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 对于任意一个以对于任意一个以 v 为变量的物理量为变量的物理量A=A（v），其统计），其统计平均值等于系统处于各个可能状态的概率与相应的平均值等于系统处于各个可能状态的概率与相应的A（v）乘）乘积的总和积的总和 由概率论可知：由概率论可知：vvfvANNvAAd)()(d)(0 求解与分子速率相关的各种物理量的统计平均求解与分子速率相关的各种物理量的统计平均值
29、的基本关系式值的基本关系式 例：例：2d2d020011()2m vNwm v f vvN 分子的平均平动动能分子的平均平动动能 vvfvNNvvd)(d0 分子的平均速率分子的平均速率 讨论讨论麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线 曲线从原点出发，随着速率增大而上升，在速率较小时上曲线从原点出发，随着速率增大而上升，在速率较小时上升较陡；达到极大值后，又随着速率的增大而缓慢下降，并逐升较陡；达到极大值后，又随着速率的增大而缓慢下降，并逐渐接近于横坐标轴。这表明气体分子的速率可以取大于零的一渐接近于横坐标轴。这表明气体分子的速率可以取大于零的一切可能有限值，但处于不同的速率区间的分子数在总
30、分子数中切可能有限值，但处于不同的速率区间的分子数在总分子数中所占的比例是不同的，速率很大和速率很小的分子，其概率都所占的比例是不同的，速率很大和速率很小的分子，其概率都很小，而具有中等速率的分子，其概率却很大。很小，而具有中等速率的分子，其概率却很大。vv)(vfo)(vf麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线1）速率在）速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数的比率：附近，单位速率区间的分子数占总分子数的比率：vNNvfdd 由速率分布由速率分布曲线曲线可得到：可得到：vvfNNsd)(d 2）速率在）速率在 v v+d v区间内分子数占总分子数的百分比：区间内分子数占总分子数的
31、百分比：（曲线下窄条的面积）（曲线下窄条的面积）vvvd NNsd v)(vfo麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线1v2vNNS 21d)(vvvvfNN3）速率在）速率在v1 v2区间内的分子数占总分子数的百分比：区间内的分子数占总分子数的百分比：（v1v2 区间内曲线下的面积）区间内曲线下的面积）1dd00 vvfNNNv4）总面积：）总面积：归一化条件：归一化条件：试说明下列各量的意义：试说明下列各量的意义：vvfd)(vvNfd)(vvfvd)(0 vvNfvvd)(21 vvvfd)(0 表示某分子的速率在表示某分子的速率在v v+dv 间隔内的概率；间隔内的概率；或速率在或速
32、率在v v+dv 间隔内的分子数占总分子数间隔内的分子数占总分子数的百分比的百分比.表示分子速率在表示分子速率在v v+dv 间隔内的分子数间隔内的分子数.表示分子速率在表示分子速率在0 v 间隔内的概率，或该分间隔内的概率，或该分子速率在子速率在0 v 间隔内的分子数占总分子数的间隔内的分子数占总分子数的百分比。百分比。表示分子速率在表示分子速率在v1 v 2间隔内的分子数。间隔内的分子数。表示分子的平均速率。表示分子的平均速率。讨讨 论论7.4.3 三种统计速率三种统计速率1.最概然速率（最可几速率）最概然速率（最可几速率）vp：与分子速率分布与分子速率分布函数函数曲线的极大值所对应的速率
33、。曲线的极大值所对应的速率。vp 附近单位速率区间内的分子数占系统总分子数的比率最大附近单位速率区间内的分子数占系统总分子数的比率最大。0)(dd vfv在讨论在讨论分子按速率的分布状况时分子按速率的分布状况时要用到最概然速率。要用到最概然速率。0221.41pkTRTRTvmMM 2.平均速率平均速率 :v大量气体分子的速率的平均值。大量气体分子的速率的平均值。000d)(d)(dvvvfNvvvNfNNvv在研究在研究气体分子的碰撞频率气体分子的碰撞频率问题时，要用到平均速率。问题时，要用到平均速率。0881.60kTRTRTvmMM vvfvvd022 20331.73kTRTRTvmM
34、M 3.方均根速率方均根速率 ：2v 在讨论分子无规则热运在讨论分子无规则热运动的动的平均平动动能平均平动动能时，要用时，要用到方均根速率。到方均根速率。大量分子的速率平方平均值的平方根。大量分子的速率平方平均值的平方根。三种速率的比较：三种速率的比较：pvvv 220,pTvvvm均均正正比比于于v)(vfo2vvpvf(v)与与 T 和和 m0 的关系：的关系：当当T 升高时升高时,速率分布曲线的速率分布曲线的峰值点向右下移峰值点向右下移,分布变平坦分布变平坦.Tvp 01pvm 当当 m 减小时，速率分布减小时，速率分布曲线的峰值点向右下移，曲线的峰值点向右下移，分布变平坦分布变平坦.N
35、2 分子在不同温度下的速率分布分子在不同温度下的速率分布同一温度下不同气体的速率分布同一温度下不同气体的速率分布例题例题7-7.若某种气体在温度若某种气体在温度T1=300K时的方均根速率等于温时的方均根速率等于温度为度为T2时的平均速率，求时的平均速率，求T2=？解：常温下气体可看作理想气体，而方均根速率和平均速率解：常温下气体可看作理想气体，而方均根速率和平均速率分别为分别为2103kTvm 208kTvm 由已知条件由已知条件 得：得：2vv 120038kTkTmm 21333.14300K353.3K88TT 例题例题7-9.有有N个粒子，其速率分布函数为个粒子，其速率分布函数为 0
36、0(0)d()d0 ()cvvNf vN vvv 常常数数）（1）画出速率分布曲线；（）画出速率分布曲线；（2）由）由N和和v0求常数求常数c；（3）求粒子的平均速率；（）求粒子的平均速率；（4）求粒子的方均根速率。）求粒子的方均根速率。解：（解：（1）速率分布曲线如右图所示。）速率分布曲线如右图所示。v()f vO0vc（2）速率分布函数必须满足归一化条）速率分布函数必须满足归一化条件，即件，即0000()dd1vf vvc vcv 所以：所以：01cv 00 0 000011()ddd2vvvvfvvvcvvvvv （3）（4）0 222300 0 001 13()dd()33vvv f
37、vvv c vvvv 7.4.4 麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律 22203220dddd2xyzxyzmvvvkTv v vxyzNmevvvNkT 22203220,2xyzmvvvkTxyzmfvvvekT 麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数 在平衡态下，当气体分子之间的相互作用可忽略时，速度在平衡态下，当气体分子之间的相互作用可忽略时，速度区间区间 ，即速度分量，即速度分量 v x 在区间在区间vx v x+d v x，v y 在区在区间间vy v y+d v y，v z 在区间在区间 vz v z+d v z内的分子数占总分子数内的分子数占总分子数的比率为：的比率为：vv
38、vd 所满足的归一化条件为：所满足的归一化条件为：22203()202ddd12xyzmvvvkTxyzmevvvkT 7.5 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律麦克斯韦速度分布律为：麦克斯韦速度分布律为：222032202xyzmvvvkTxyzmNevvvNkT d dd dd dd d 222200122xyzkmvvvm vE 对于更一般的情形，如在外力场中的气体分子的分布对于更一般的情形，如在外力场中的气体分子的分布将如何？将如何？其指数仅包含分子运动动能。其指数仅包含分子运动动能。7.5.1 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 麦克斯韦速度分布律对应于分子不受外力场的影响，只考麦克斯韦速度分布
39、律对应于分子不受外力场的影响，只考虑分子在速度空间体积元虑分子在速度空间体积元dvxdvydvz 中的分布情况。中的分布情况。玻耳兹曼的推广：玻耳兹曼的推广：分子按速度的分布不受力场的影响，而分子按空间位置分子按速度的分布不受力场的影响，而分子按空间位置的分布却是不均匀的，依赖于分子所在力场的性质。的分布却是不均匀的，依赖于分子所在力场的性质。用用E=Ek+Ep代替代替Ek,用微元用微元 dxdydzdvxdvydvz 代替代替dvxdvydvz 即把麦克斯韦速度分布中的即把麦克斯韦速度分布中的pkEEE kEdxdydzdvxdvydvzdvxdvydvz玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律（玻耳兹
40、曼玻耳兹曼分子按分子按能量分布定律能量分布定律）当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间xx+dx、yy+dy、zz+dz内，同时速度介于内，同时速度介于vxvx+dvx，vyvy+dvy，vzvz+dvz内的分子数为内的分子数为 32002kpEEkTxyzmNnex y z vvvkT dd d d ddddd d d dddn0为在为在Ep=0 处，单位体积内具有各种速度的分子总数。处，单位体积内具有各种速度的分子总数。内内的的分分子子数数速速度度介介于于内内，体体积积元元理理想想气气体体在在外外场场作作用用下下、vvvVNd dd dd
41、d 1讨论：讨论：NEeNkTEd dd d,2、可见能量大的分子数少，能量小的分子数多。可见能量大的分子数少，能量小的分子数多。3、如不限制速度，则：、如不限制速度，则：kTEpennVNzyxN 0d dd dd dd dd dd dkTEpenn 0即即分子数按势能的分布函数分子数按势能的分布函数适用范围适用范围：玻耳兹曼分布不仅适用于理想气体和重力场，：玻耳兹曼分布不仅适用于理想气体和重力场，而且对处于任何保守场中的物质微粒系统，在粒子间相互而且对处于任何保守场中的物质微粒系统，在粒子间相互作用可以忽略的情况下都是适用的。作用可以忽略的情况下都是适用的。势能较大的位置上分子出现的概率小
42、势能较大的位置上分子出现的概率小320002ppkEkTEkTEkTxyzmNn ex y zevvvn ex y zkT dd d ddddd d ddd d ddddd d d32012kEkTxyzmevvvkT dddddd其其中中讨论讨论：（1）n随随z的增加而减小的增加而减小（2）压强公式：）压强公式：00 m gz kTnn e 0000m gz kTm gz kTpnkTn kTep e等温大气压强公式（近似成立）等温大气压强公式（近似成立）000lnlnppkTRTzm gpMgp（3）等温高度公式）等温高度公式00lnm gzppkT （高度计原理）（高度计原理）000m
43、gz kTMgz RTNnn en eV d dd d7.5.2 重力场中大气密度与压强按高度的分布重力场中大气密度与压强按高度的分布 z=0处，处，Ep=0。分子势能为。分子势能为Ep=m0gz，则则7.6 气体分子的平均碰撞频率和平均自由程气体分子的平均碰撞频率和平均自由程一、一、分子的平均碰撞频率分子的平均碰撞频率d 称为称为分子的有效直径，分子的有效直径，数量级为数量级为10-10m。分子在运动中相互靠近，并在分子力作用下发生短时分子在运动中相互靠近，并在分子力作用下发生短时间相互作用。若用间相互作用。若用 d 表示两个分子质心距离的平均值，分表示两个分子质心距离的平均值，分子的碰撞相
44、当于两个直径为子的碰撞相当于两个直径为d 的弹性球相碰撞的弹性球相碰撞。1、分子碰撞实质分子碰撞实质2、分子的平均碰撞频率：、分子的平均碰撞频率：平均碰撞频率：平均碰撞频率：一个分子在一个分子在单位时间单位时间内与其它分子碰撞的内与其它分子碰撞的平均平均 次数次数称为分子的平均碰撞频率，称为分子的平均碰撞频率，表表示示。用用Z 3）两个）两个分子碰撞等效于两个直径为分子碰撞等效于两个直径为分子有效直径分子有效直径d 的的弹性球相碰撞弹性球相碰撞。1）假设其它分子都不假设其它分子都不动，只有一个分子动，只有一个分子A 以平均以平均相对速率相对速率 运动。运动。uA 2）分子）分子A与其它分子碰与
45、其它分子碰撞后其速度方向改变，相邻撞后其速度方向改变，相邻两次碰撞之间沿直线运动。两次碰撞之间沿直线运动。简化模型简化模型圆柱体的截面积圆柱体的截面积 :nudunZ2 单位时间内分子单位时间内分子 A 走走 ,相应的相应的 圆柱体体积为：圆柱体体积为：u考虑到其它分子在运动，且速率不同，上式需要修正。考虑到其它分子在运动，且速率不同，上式需要修正。2d 设想以分子设想以分子A的中心的轨迹为轴线，以的中心的轨迹为轴线，以d为半径作一个曲折为半径作一个曲折的圆柱体。的圆柱体。Ad2ud2 凡中心位于圆柱体内的分子，凡中心位于圆柱体内的分子，都将与分子都将与分子A相碰撞一次。相碰撞一次。若气体分子
46、的数密度为若气体分子的数密度为n，则，则圆柱体内的分子数，即分子圆柱体内的分子数，即分子单位时间内与其它分子的碰撞次数为单位时间内与其它分子的碰撞次数为 vu2 平均相对速率平均相对速率与平均速率之间的关系：与平均速率之间的关系：nvdZ22 分子的平均碰撞频率分子的平均碰撞频率二、分子的平均自由程：二、分子的平均自由程：自由程：自由程：分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程 .平均自由程平均自由程：分子连续两次碰撞之间自由运动路程的平均值，分子连续两次碰撞之间自由运动路程的平均值，表示。表示。用用 vvtz 代代入入得得将将nvdZ22 kTpnnkTp 由由分
47、子连续两次碰撞所需的时间的平均值即分子连续两次碰撞所需的时间的平均值即平均碰撞频率平均碰撞频率的倒数。的倒数。平均速率平均速率：单位时间内分子运动的平均路程单位时间内分子运动的平均路程，表表示示。用用vn2d21 根据平均自由程、平均速率和平均碰撞频率的定义，可得根据平均自由程、平均速率和平均碰撞频率的定义，可得 即即 气体分子的平均自由程与分子气体分子的平均自由程与分子有效直径有效直径 d 的平方的平方及及分子数密度分子数密度 n 成反比，而与分子的成反比，而与分子的平均速率平均速率无关。无关。当温度一定时，平均自由程当温度一定时，平均自由程与与p成反比。压强越小，气体越成反比。压强越小，气
48、体越稀薄，平均自由程越大。压强越大时，平均自由程越小。稀薄，平均自由程越大。压强越大时，平均自由程越小。pkT2d2 例题例题7-10 求在标准状况下，氢分子的平均碰撞频率与平均求在标准状况下，氢分子的平均碰撞频率与平均自由程，氢分子的有效直径为自由程，氢分子的有效直径为210-10 m。解解 分子的平均速率为：分子的平均速率为：3388.31 2731.61.62 101.7 10 m/sRTRTvMM 325235m1069.22731038.110013.1 kTPnm1009.27 zv 192s1013.82 dvnz 由气体的压强公式可求得气体分子的数密度由气体的压强公式可求得气体
49、分子的数密度气体分子的平均自由程为气体分子的平均自由程为气体分子的平均碰撞频率为气体分子的平均碰撞频率为小小 结结2、理想气体的压强、理想气体的压强201233pnm vnw 3、理想气体的温度和平均平动动能、理想气体的温度和平均平动动能kwTkTw3223 4、能量均分原理、能量均分原理kT21每一个自由度的平均动能为每一个自由度的平均动能为2kikT 一个分子的总平均动能为一个分子的总平均动能为RTiE 2 摩尔理想气体内能摩尔理想气体内能 1、理想气体的状态方程、理想气体的状态方程 pVRT ，pnkT 5、麦克斯韦速率分布函数、麦克斯韦速率分布函数2032202()4e2mvkTmf
50、vvkT 三种速率：三种速率：0221.41pkTRTRTvmMM 最概然速率最概然速率0881.60kTRTRTvmMM 算术平均速率算术平均速率20331.73kTRTRTvmMM 方均根速率方均根速率6、麦克斯韦速度分布函数、麦克斯韦速度分布函数22203()202(,)e2xyzmvvvkTxyzmf vvvkT 7、玻耳兹曼分布律、玻耳兹曼分布律00em gzkTnn 重力场中粒子按高度的分布重力场中粒子按高度的分布00em gzkTpp 大气压强随高度的变化大气压强随高度的变化8、气体分子的平均碰撞频率和平均自由程、气体分子的平均碰撞频率和平均自由程nvdZ22 平均碰撞频率平均碰
