1、第二十四章第二十四章 圆圆圆周角圆周角24.1圆的有关性质圆的有关性质九年级数学九年级数学上上 新课标新课标 人人解析欲证AF=CF，只需证明ACF=CAF，其中CAF是 所对的圆周角.而由条件可知 ，因此只需找出 所对的圆周角是否与ACF相等即可.而构造 所对的圆周角需要连接BC，此时恰好构造了直径所对的圆周角ACB,也可以延长CD交圆于点H,由垂径定理可得 ，则问题得解;还可以连接OC，根据CDAO，COAE得到DCO=DAE，进而得到FCA=CAF，则可得AF=CF.圆周角定理的综合应用圆周角定理的综合应用考查角度考查角度1利用圆周角定理证明两线段利用圆周角定理证明两线段(或两弧或两弧)
2、相等相等如图24-47所示，AB是O的直径,C是 的中点，CDAB于点D，交AE于点F，连接AC.求证AF=CF.证法1:连接BC,如图24-48 所示.AB是O的直径，ACB=90,即ACF+BCD=90.CDAB，B+BCD=90，B=ACF.又点C是 的中点,B=CAE，ACF=CAE，AF=CF.证法2:如图24-49所示，延长CD交O于点H.AB是直径,CDAB,又点C是 的中点,，ACF=CAF，AF=CF.证法3:连接OC，如图24-50所示.，OC过圆心，COAE，COD+OAE=90.CDOA，DOC+DCO=90，DCO=DAE.OC=OA，OCA=OAC，FCA=CAF，
3、AF=CF.【解题归纳】(1)在圆中通过“连接”构造同弧或等弧所对的圆周角是常用的辅助线作法.(2)在已知条件中,若有与半径或直径垂直的线段,常延长此线段与圆相交,这样可利用垂径定理得线段相等或弧相等.证明:(1)AD为直径，ADBC，由垂径定理得 ，BD=CD.1.如图所示，AD为ABC外接圆的直径，ADBC，垂足为点F，ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD.(1)求证BD=CD；(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上，并说明理由.解:(2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.理由如下:如图67所示，由(1)知 ，1=2，又2=3，1=3，BE是AB
4、C的平分线，4=5，DBE=3+4，DEB=1+5，DBE=DEB，DB=DE.由(1)知BD=CD，DB=DE=DC.B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.考查角度考查角度2圆周角与平面直角圆周角与平面直角 坐标系的综合应用坐标系的综合应用例2如图24-51所示,已知CO,CB是O的弦，O与平面直角坐标系的x轴、y轴分别相交于点B,O和A，O，若COB=45，OBC=75,点A的坐标为(0，2)，求O的直径.解析解析连接AB,由平面直角坐标系的性质可知AOB=90,所以AB是圆的直径,利用三角形的内角和定理易求得C=60,再根据圆周角定理可得OAB=OCB=60,从而可以在RtAO
5、B中求出AB的长.解:连接AB，如图24-51所示.AOB=90，AB是圆的直径，BOC=45，OBC=75,OCB=60，OAB=OCB=60,A点坐标为(0，2)，AO=2.在RtAOB中，AB=2OA=4，O的直径AB的长度为4.【解题归纳解题归纳】本题考查了三角形的内角和定理和圆周角定理的运用,解题的关键是添加辅助线构造直角三角形,并且利用圆周角定理确定AB是圆的直径.提示:如图68所示,连接BC，B(8，0),C(0,6)，OB=8，OC=6.BOC=90，=10，且BC为直径，则A的半径为5.2.(自贡中考)如图所示，在平面直角坐标系中，A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B，C
6、两点，已知B(8，0)，C(0，6)，则A 的半径为()A.3B.4C.5D.822BCOBOCC圆内接四边形与垂径定理的综合应用圆内接四边形与垂径定理的综合应用例3 如图24-52所示，四边形ABCD的四个顶点都在O上，ACBD于E，OFAB于F，求证2OF=CD.解析解析作直径AG,再连接BG,利用三角形中位线定理可得2OF=BG,只需证明BG=CD.证明证明:如图24-52所示，过A点作直径AG，连接BG，CG.AG为O的直径，ACG=90，CGAC.BDAC，BDCG，DBC=BCG，DC=BG.OFAB，AF=BF.又AO=OG，OF是ABG的一条中位线，2OF=BG.2OF=CD.
7、【解题归纳】在圆中遇到中点,且要证一条线段的长度是另一条线段长度的2倍时,常作的辅助线是三角形的中位线.证明证明:(1)AI平分BAC，BAD=DAC，BD=DC.BI平分ABC，ABI=CBI.BAD=DAC,DBC=DAC，BAD=DBC.又DBI=DBC+CBI，DIB=ABI+BAD，DBI=DIB，BD=ID.BD=DC=DI.3.如图所示，点A，B，C都在O上，BAC与ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD，DC.(1)求证BD=DC=DI；(2)若圆O的半径为10 cm，BAC=120，求BDC的面积.又由圆的对称性可知OBD=CBD=30.延长CO交BD于E，
8、则CEBD.由题意知OB=10 cm，又OBE=30，1212在RtOBE中，OE=OB=10=5(cm)，1222221055 3OBOCBE=(cm)，BD=2BE=10 cm.又CE=CO+OE=10+5=15(cm)，3SBDC=BDCE=10 15=75 (cm2).331212解:(2)当BAC=120时，ABC为钝角三角形，圆心O在ABC外，连接OB,OD,OC，则DOC=BOD=BOC=120，DBC=DCB=BDC=60，BDC为正三角形.如图24-53所示，在O中，AB是直径，CD是弦，ABCD.(1)P是 上一点(不与C,D重合),求证CPD=COB；(2)点P在劣弧CD
9、上(不与C,D重合)时，CPD与COB有什么数量关系?请证明你的结论.运用圆心角、圆周角的性质探究角的关系运用圆心角、圆周角的性质探究角的关系例例4解析解析本题两个需证明的结论都是圆心角与圆周角的关系,故可考虑应用同弧(等弧)所对的圆心角、圆周角关系进行证明.证明:(1)连接OD，如图(1)所示.AB是直径，ABCD，.12COB=DOB=COD.又CPD=COD，CPD=COB.12解:(2)CPD+COB=180.理由如下:如图(2)所示，连接OD.CPD+CPD=180，COB=DOB=COD，1212又CPD=COD，COB=CPD，CPD+COB=180.4.圆上两条弦AB,CD所在
10、直线交于点P,则AB,CD之间夹的弧为 ,.若 所对的圆周角为m,所对的圆周角为n,如图所示三种情况,AB,CD的夹角APC与m,n之间的关系式是什么?解解:如图69所示，当AB，CD的交点P在圆内时,连接BC，则有APC=ABC+DCB=m+n.当AB,CD的交点P在圆上时，点B与点D重合，所对的圆周角的度数变成0，即n=0，则APC=m.如图70所示，当AB,CD的交点P在圆外时，连接BC(不妨认为mn)，则有ABC=APC+DCB，APC=ABC-BCD=m-n.圆周角定理及其推论的综合运用圆周角定理及其推论的综合运用例5 如图24-55所示,已知AB是O的一条弦,点C为 的中点,CD是
11、O的直径,过点C的直线l交AB所在直线于点E,交O于点F.(1)判断图中CEB与FDC的数量关系,并写出结论;(2)将直线l绕C点旋转(与CD不重合),在旋转过程中,点E、点F的位置也随之变化,请你在图24-55的两个备用图中分别画出在不同位置时,使(1)的结论仍然成立的图形,标上相应字母,选其中一个图形给予证明.解析解析直线l与直线AB的交点E的位置可以分为三类:(1)点E在线段AB上.(2)点E在线段BA的延长线上；(3)点E在线段AB的延长线上.解:(1)CEB=FDC.理由如下:CD是O的直径，点C为 的中点，CDAB，CEB+ECD=90，CD是O的直径，CFD=90.FDC+ECD
12、=90.CEB=FDC.(2)如图24-56所示.答案不唯一.选择图(2)证明如下:CD是O的直径，点C为 的中点，CDAB，CEB+ECD=90，CD是O的直径,CFD=90.FDC+ECD=90.CEB=FDC.5.如图所示，ABC的三个顶点在O上，ADBC，D为垂足，E是 的中点，求证OAE=EAD.(写出两种以上的证明方法)1212证法1:如图71所示,连接OB，则AOB=2ACB，OAB=OBA，ADBC,OAB=(180-AOB)=90-AOB=90-ACB=DAC.E是 的中点，EAB=EAC，EAO=EAB-OAB=EAC-DAC=EAD.证法2:如图72所示，连接OE，E是 的中点，OEBC.ADBC，OEAD，OEA=EAD.OE=OA，OAE=OEA，OAE=EAD.
