1、选修选修44 1.3.1222,tan1(0)cos,sin.极极坐坐标标与与直直角角坐坐标标 的的互互化化公公 式式 yxyxxxy 2.(,)0.:(1)(,)0(2)(,)0.在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中，平平面面曲曲线线 可可以以用用二二元元方方程程 表表示示 曲曲线线与与方方程程满满足足如如下下关关系系 曲曲线线 上上点点的的坐坐标标都都是是方方程程 的的解解；以以方方程程 的的解解为为坐坐标标的的点点都都在在曲曲线线 上上Cf x yCf x yf x yC (,)0?那那么么，在在极极坐坐标标系系中中，平平面面曲曲线线是是否否可可以以类类似似的的用用方方程程 来来表表示示
2、呢呢f 探究探究1：如如图，半径为图，半径为a的圆的圆心坐标的圆的圆心坐标C(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标标(,)满足满足的条件？的条件？一、定义一、定义：如果：如果曲线曲线C上上的点与方程的点与方程f(,)=0有如下有如下关系关系:(1)曲线曲线C上任上任一点的坐标（所有坐标中至一点的坐标（所有坐标中至少有一个）满足少有一个）满足方程方程f(,)=0；(2)以方程以方程f(,)=0的的所有解为坐标的点都所有解为坐标的点都在在曲线曲线C上上.则曲线则曲线C的的方程是方程是f(,)=0.根据此定义可知，探究1中，方程=2acos（
3、a0)就是圆心在(a,0),a为半径的圆C的极坐标方程.22222,11).2(cos(411,0),.22方方法法一一：原原方方程程两两边边同同乘乘以以，得得化化为为直直角角坐坐标标方方程程得得：，亦亦即即：故故 所所求求圆圆的的圆圆心心是是 半半径径是是xyyxx (1)求求圆心在圆心在A(2,0),半径是半径是2的圆的极坐标方程的圆的极坐标方程.(2)指出指出极坐标方程极坐标方程=cos所表示的圆的圆心和所表示的圆的圆心和半径半径.=4cos.21,0,21cos212cos.,0,)0(cos21的的圆圆为为半半径径表表示示圆圆心心为为线线因因此此，曲曲的的圆圆半半径径为为）表表示示圆
4、圆心心为为（的的结结论论知知，曲曲线线方方法法二二：由由探探究究aaaa 已知已知圆圆O的半径为的半径为r，建立怎样的极坐标系，可，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程形式更加简单呢？以使圆的极坐标方程形式更加简单呢？探究探究2：这里这里=r应应理解理解为为是是定值，定值，是任意的是任意的.().(,).(1).解解：如如果果以以圆圆心心 为为极极点点，从从出出发发的的一一条条射射线线为为极极轴轴建建立立坐坐标标系系 如如图图，那那么么圆圆上上各各点点的的几几何何特特征征就就是是它它们们的的极极径径都都等等于于半半径径设设 为为圆圆上上任任意意一一点点，则则 即即：显显然然，使使极极点点与
5、与圆圆心心重重合合时时圆圆的的极极坐坐标标方方程程在在形形式式上上比比简简单单OOrMOMrr 探究探究3：)(,2若若圆圆心心为为 半半径径为为 则则圆圆 的的极极坐坐标标方方程程是是什什么么？C aaC 2 sina 反之，方程反之，方程=2asin=2asin（a0)a0)表示圆心表示圆心是是 ，半径为，半径为a a的圆的圆.)2(a,二、求二、求圆的极坐标方程的步骤：圆的极坐标方程的步骤：与直角坐标系里的情况一样与直角坐标系里的情况一样建建系系（适当（适当的极坐标系）的极坐标系）设点设点（设设M(,)为为要求方程的曲线上任意要求方程的曲线上任意一点）一点）列等式列等式（构造三角形，构造
6、三角形，利用三角形边角关利用三角形边角关系的定理列关于系的定理列关于M的坐标的等式的坐标的等式）将等式坐标化将等式坐标化化化简验证简验证（此方程此方程f(,)=0即为曲线的方即为曲线的方程）程）1.请请指出下列圆的圆心及半径指出下列圆的圆心及半径.1(1)4(2)2sin(3)cos.4 ；4sin2曲曲线线的的极极坐坐标标方方程程 化化为为直直角角坐坐标标方方程程是是什什么么？.22(2)4xy (4,)4.23.求求圆圆心心在在 ，半半径径为为 的的圆圆的的极极坐坐标标方方程程 8sin 圆心在圆心在C(1,1)，半径为，半径为r的圆的极的圆的极坐标方程是什么？坐标方程是什么？1 11(,
7、)C (,)P 1 rxO1.圆心在圆心在(a,0)，半径，半径为为a的圆的极坐标方程是什么？的圆的极坐标方程是什么？2 cosa 2.(,)2 圆圆心心在在 ，半半径径为为 的的圆圆的的极极坐坐标标方方程程是是什什么么？aa 2 sina 3.圆圆心心在在极极点点，半半径径为为 的的圆圆的的极极坐坐标标方方程程是是什什么么？rr 121212(152sin,:2 3cos.(1)(2).年年全全国国卷卷试试题题改改编编）已已知知曲曲线线：求求：和和分分别别表表示示怎怎样样的的曲曲线线？判判断断曲曲线线与与有有无无交交点点；若若有有，求求出出交交点点的的直直角角坐坐标标CCCCCC 基础题基础
8、题(1)(1,)14(2)1(1,).2.圆圆心心在在 ，半半径径为为 的的圆圆；圆圆 求求适适合合下下列列条条件件的的圆圆的的极极坐坐心心在在 且且与与极极轴轴的的圆圆标标方方程程：相相切切A 22(1)(1)(2)1;(2)(2cos5sin)40;(3)10cos;(4)2sin2.将将下下列列直直角角坐坐标标方方程程与与 极极坐坐标标 方方程程互互化化：xy 基础题基础题3.1,1),1(A.2cos()B.2sin()44C.2cos(1)D.2sin(1)以以极极坐坐标标系系中中的的点点 为为圆圆心心 为为半半径径的的圆圆的的方方程程是是 中档题中档题(.52,)2写写出出圆圆心心
9、在在点点 处处且且过过极极点点的的圆圆的的极极坐坐标标方方程程，并并把把它它化化成成直直角角坐坐 程程 标标方方A 10cos()34.()圆圆的的圆圆心心坐坐标标是是 C2A.(5,0)B.(5,)C.(5,)D.(5,)333 222224cos()4sin24 sin4(2)4解解：化化为为直直角角坐坐标标系系为为：即即：xyyxy 拔高题拔高题ONMC(4,0)x6.8cos.从从极极点点 作作圆圆：的的弦弦，求求的的中中点点的的轨轨迹迹方方程程OCONON .21,0,21cos212cos.,0,)0(cos21的的圆圆为为半半径径表表示示圆圆心心为为线线因因此此，曲曲的的圆圆半半
10、径径为为）表表示示圆圆心心为为（的的结结论论知知，曲曲线线方方法法二二：由由探探究究aaaa4sin2曲曲线线的的极极坐坐标标方方程程 化化为为直直角角坐坐标标方方程程是是什什么么？.42044sin42222222yxyy xyy x 亦亦即即即即，得得乘乘以以解解：将将原原方方程程两两边边同同时时ONMC(4,0)x(4,0)44cos解解：如如图图，圆圆 的的圆圆心心 半半径径连连结结 是是弦弦的的中中点点 所所以以，动动点点的的轨轨迹迹方方程程是是 CrOCCMMONCMONM 圆心在圆心在C(1,1)，半径为，半径为r的圆的极的圆的极坐标方程是什么？坐标方程是什么？1 11(,)C (,)P 1 rxO12221222111222111,.,2cos2cos2cos0.()()()()()设设 为为圆圆周周上上任任意意一一点点，如如下下图图所所示示，在在中中 由由余余弦弦定定理理 得得：解解即即：亦亦即即这这就就是是圆圆在在极极坐坐标标系系中中的的：一一般般方方程程POCPCPrOCOPCPOCOPOC OPrr 1:,(,8.5),3变变式式 在在极极坐坐标标平平面面上上 求求圆圆心心半半径径为为 的的程程 圆圆的的方方A 216cos()3903 1 11(,)C (,)P 1 rxO
