1、数学试题答案 第 1 页，共 14 页 惠州市惠州市 20232023 届高三第二次调研考试届高三第二次调研考试 数学试题参考答案与评分细则数学试题参考答案与评分细则 一、单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 40 分分 1【解析】由51x 解得6x，6Mx x=，又0Nx x=，06MNxx=，故选 C 2【解析】复数()(1)(1)(1)1(1)(1)22aiaiiaaiiii+=+在复平面内对应的点位于实轴上，10a+=，即1a=故选 B【另解另解】复数对应点在实轴上，则()(1)aii+必须是平方差的形式，所以1a=3【解析】从2
2、,4,6,8中任取 2 个不同的数，设样本空间为，则()=4 3=12n，共 12 个样本点，取出 2 个数之差的绝对值为 4 的事件()()()()2,6,4,8,6,2,8,4A=有 4 个样本点，所求概率为()41123P A=，故选 B 4【解析】b在a上的投影向量为2a baa，故22a baaa=，则=2 4=8a b 【另解】【另解】本题由数形结合可知=2 4 cos=8a b，故选 C 5【解析】底面积29r=，底面圆的半径3r=，底面圆周长为236=，扇形半径6923R=，则圆锥的高22726 2hRr=，则圆锥的体积2136 218 23V=，故选 D 6【解析】由223，
3、解得23，又函数图象关于点3,22对称，3,24kkZ+=，且2b=，12,63k kZ=+，且23，52=，则5()sin224f xx=+，5sin21244f=+=，故选 A 7【解析】当0 x 时，0 x，则()1()1aafxxf xxxx=+=+，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B C D A D D 数学试题答案 第 2 页，共 14 页 当1x 时，()1af xxx=+，由选项知1a，则21a，由数形结合可知当xa=时，函数取得最小值()213faa=，解得4a=，故选 D 8【解析】如图，两图形绕 y 轴旋转所得的旋转体夹在两个相距为 8 的平行平面之间
4、，用任意一个与 y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y，所截面积21(44|)Sy=，22222(4)4(2|)(44|)Syyy=12SS=，由祖暅原理知，两个几何体的体积相等，即12VV=【注】本题作出图形后结合题意估算可得答案，但风险巨大 二、多二、多项选择题项选择题：本题共本题共 4 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的四个选项中，有多项符合在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求题目要求全部选对得全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9【解析】12nnnaa+=，即12nn
5、naa+=，则2342,2,4aaa=，所以 A 正确；显然有4324aa=，所以 B 不正确；亦有1 11232aa+=，所以 D 不正确；又1122nnnaa+=，相除得22nnaa+=，因此数列21na，2na分别是以 1，2 为首项，2 为公比的等比数列，故 C 正确；所以选 AC 10【解析】由题意得4p=，则焦点()2,0F，准线l的方程是22px=，故 A 正确；()()22321 02MEMFEF=+=，当点M在线段EF的延长线上时等号成立，MEMF的最大值为2，故 B 错误；题号 9 10 11 12 全部正确选项 AC AD BC BC 数学试题答案 第 3 页，共 14
6、页 如图所示，过点M，E分别作准线l的垂线，垂足分别为A，B，则5MEMFMEMAEB+=+=，当点M在线段EB上时等号成立，MEMF+的最小值为 5，故 C 不正确；设点()00,M xy，线段MF的中点为D，则0222DMFxx+=，以线段MF为直径的圆与y轴相切，D 正确，所以选 AD 11【解析】对于 A，8 75%6=，所以第 75 百分位数为787.52+=，故A错误；对于 B，对称轴为1X=，则(01)(12)30(2)0.5PXPXP X=，故 B 正确；对于 C，由(|)()1P M NP M+=，可得(|)1()P M NP M=，即()()()P MNP MP N=，()
7、()()P MNP MP N=，故,M N相互独立，故 C 正确；对于 D，因为3.7123.841，所以不能根据0.053.841=作出判断，故 D 错误；故选：BC 12【解析】由题意，可得()1311e40 xf xx=+=，()222ln0g xxmx=，易知13x=，则231x，224x，则22ln xmx=在224x有解，求导得：2221 ln xmx=，令0m=，解得2ex=，可得下表：2x()2,e e()e,4 m+0 m 极大值 则当2ex=时，m取得最大值为1e，当22x=时，ln22m=，当24x=时，ln4ln242m=，则m的取值范围为ln2 1,2e，也即ln4
8、1,4e；故选 BC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分，其中，其中 16 题第一空题第一空 3 分，第二空分，第二空 2 分。分。13256；142xy+0=；15(3,6)；162（3 分），2213yx=（2 分）【注注】第第 14 题题直线直线写成其它等价写成其它等价形式形式亦亦可可；第；第 15 题结果题结果也也可以写可以写成不等式的形式成不等式的形式。数学试题答案 第 4 页，共 14 页 13【解析】()62x展开式的通项公式为：()616C2rrrrTx+=，()61(2)xx展开式中含x项为：()()5656 56
9、66C2C219264256xxxxx=，展开式中含2x项的系数为256 14【解析】数形结合可知切点分别为()0,2A、()2,0B，直线AB的截距式方程为122xy+=，即20 xy+=15【解析】函数()()()241ln11xxaxf xxx+=+，当1x 时，方程ln12x+=解得ex=，函数有一个零点，则当1x 时，函数须有两个零点，即242xxa+=，在1x 时有两个解设2()42g xxxa=+，数形结合可知，对称轴为2x=，()g x在(,2)上单调递减，在(2,)+上单调递增，(1)0g，且(2)0g，解得36a 16【解析】设直线():2 2l yxc=的倾斜角为，则22
10、sintan2 2cossincos1=+=且cos0，可得1cos3=设双曲线C的左焦点为1F，连接1AF、1BF，设BFm=，则5AFm=，根据双曲线的定义得152AFma=+，12BFma=+，分别在1AFF、1BFF中利用余弦定理得()2221112cosAFAFFFAFFF=+，2221112cosBFBFFFBFFF=+，结合222bca=化简得25533mcmcbmama=+，可得2ca=，故双曲线C的离心率为2cea=设双曲线的两条渐近线为1:blyxa=，2:blyxa=，故可设点()11,M at bt、()22,N atbt，将点M、N的坐标分别代入直线l的方程 得001
11、00211xytabxytab=+=，两式相乘得22001 2221xyt tab=，点()00,P xy是双曲线C上的点，可得2200221xyab=，则1 21t t=()22221 22OM ONabt tab=，又2ca=，则21a=，23b=，双曲线C的方程为2213yx=数学试题答案 第 5 页，共 14 页 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10 分，其中第一小问 6 分，第二小问 4 分）【解析】（1）（法法 1）1nnaa+是公差为 2 的等差数
12、列，()()32212aaaa=，即29212a+=，24a=，1 分 则213aa=，2 分()1312nnaan+=+，即121nnaan+=+，3 分 则213aa=，325aa=，437aa=，121nnaan=，4 分 当2n 时，累加得()()()211 321352112nnnaann+=+=，2(2)nan n=；5 分【注：有累加的思想可得这【注：有累加的思想可得这 1 分】分】当1n=时，11a=满足上式，2*()nan nN=；6 分【注：【注：无验证不无验证不得这得这 1 分】分】（法法 2）1nnaa+是公差为 2 的等差数列，()()32212aaaa=，即2921
13、2a+=，24a=，1 分()()43322aaaa=，416a=，猜想：2*()nan nN=2 分 下面用数学归纳法证明：当1=n时，2111a=，显然成立.3 分 假设当()1,nkkkN=时成立，即2kak=.4 分 则当1+=kn时，112kkkkaaaa+=+5 分 得1122kkkaaa+=+()22212kk=+221kk=+()21k=+成立.6 分【注：【注：不是完全平方式不不是完全平方式不得这得这 1 分】分】综上，2*()nan nN=.数学试题答案 第 6 页，共 14 页（2）（法法 1）()212221loglognnnnaban+=1 分()222 log1lo
14、gnn=+()222loglog1nn=+2 分 则()2222222log 1 log 2log 2log 3loglog1nSnn=+3 分 所以()22log1nSn=+.4 分（法法 2）()212221loglognnnnaban+=1 分 则()222222222123logloglog12nnSn+=+2 分()2222222123log12nn+=3 分 所以()22log1nSn=+.4 分 18（本小题满分 12 分，其中第一小问 5 分，第二小问 7 分）【解析】（1）选择条件GEFHP=连接11,CD BD PN，（如图）因为四边形11CDDC为矩形，则四边形EFGH为
15、平行四边形，1 分 则P分别是1CD，GE的中点，2 分 且N是BC中点，1/PNBD .3 分 PN 面11BDD B，1BD 面11BDD B4 分【注：【注：无无写全写全这这两个条件两个条件，不，不得这得这 1 分】分】/PN面11BDD B 5 分 （1）选条件PFH 连接,HN PN，（如图）F、H、N 分别是棱11C D、CD、CB的中点，1/FHDD.1 分 FH 面11BDD B，1DD 面11BDD B，2 分【注：【注：无无写全写全这这两个条件两个条件，不，不得这得这 1 分】分】/FH面11BDD B3 分 P P 数学试题答案 第 7 页，共 14 页 同理可证：/HN
16、面11BDD B 【注：【注：完整证明出上述线面平行的其中一个可完整证明出上述线面平行的其中一个可得得 3 分】分】又FH 面FHN，HN 面FHN，FHHNH=，面/FHN面11BDD B.4 分 PN 面FHN，/PN平面11BDD B 5 分【注：【注：选条件选条件不能不能得出得出结论，故选条件结论，故选条件不得分不得分】（2）（法（法 1）ABCD为菱形，且3DAB=，DNBC，则以D为原点，1,DA DN DD为x、y、z轴正方向建立如图 空间直角坐标系.1 分()0,0,0D，()12,0,0A，()10,0,2 3D，()0,0,3G，()0,3,0N，13,2 322F，()1
17、30,3,3,322GNGF=.2 分 设(),mx y z=为平面FGN的一个法向量，00GN mGF m=330133022yzxyz=+=3 分【注：【注：写出方程组可写出方程组可得得 1 分】分】不妨令3y=，则()3 3,1,1m=.4 分 可取()0,1,0n=是平面11ADD A的一个法向量.5 分 129cos,2927 1 1 1m nm nmn=+6 分 平面FGN与平面11ADD A夹角的余弦值为2929.7 分（法（法 2）ABCD为菱形，ACBD，设ACBDO=，取11D B的中点为1O，则1OO 面ABCD 以O为原点，1,OB OC OO为x、y、z轴正方向建立如
18、图 空间直角坐标系.1 分 ABD为等边三角形，sin33OAAB=()0,3,0A，()1,0,0D，()10,3,2 3A，z y x 数学试题答案 第 8 页，共 14 页 13,2 322F，()1,0,3G，13,022N ()13,3,1,0,2 322GFFN=.2 分 设(),mx y z=为平面FGN的一个法向量，00GF mFN m=1330222 30 xyzxz+=，.3 分【注：【注：写出方程组可写出方程组可得得 1 分】分】不妨令 z=1，则()2 3,4,1m=.4 分 同理可得：()3,1,0n=是平面11ADD A的一个法向量.5 分 2 334029cos,
19、2912 16 13 1 0m nm nmn+=+.6 分 平面FGN与平面11ADD A夹角的余弦值为2929.7 分 19（本小题满分 12 分，其中第一小问 6 分，第二小问 6 分）【解析】（1）（法（法 1）由正弦定理sinsinsinabcABC=，得(2sinsin)cossincosACBBC=，1 分 即2sincoscossinsincosABBCBC=+，2sincossin()ABBC=+，2 分 ABC+=，sin()sinBCA+=，即2sincossinABA=，3 分 A为三角形内角，故sin0A，1cos2B=，4 分 0B，5 分【注：【注：无此步骤，不无此
20、步骤，不得得这这 1 分】分】3B=.6 分（法（法 2）由余弦定理222cos2acbBac+=，代入得222222(2)22acbabcacbacab+=1 分 化简得32220aacaba c+=2 分 0a，222acbac+=3 分 所以2221cos222acbacBacac+=4 分 数学试题答案 第 9 页，共 14 页 0B，5 分【注：【注：无此步骤，不无此步骤，不得得这这 1 分】分】3B=.6 分（2）（法一法一）由（1）得133 3sin242ABCSacBac=，解得6ac=，1 分()212333BMBAAMBABCBABABC=+=+=+，2 分 2222212
21、1441|42339993BMBABCBABA BCBCcaac=+=+=+1423acac+1623=，3 分 当且仅当2ca=，|BM取得最小值 2，此时3,2 3ac=，4 分 ABC中，由余弦定理2222cosbacacB=+，得222cos3bacacB=+=5 分 222abc+=，ABC是直角三角形.6 分 （法法二二）由（1）得133 3sin242ABCSacBac=，解得6ac=，1 分 2AMMC=，23AMb=，13MCb=BMCBMA+=，coscos0BMCBMA+=结合余弦定理可得2222222()()33022233bbBMaBMcbbBMBM+=2 分 化简得
22、2222212339BMacb=+ABC中，由余弦定理2222cosbacacB=+，得222bacac=+BM2241421422993333acac=+=3 分 当且仅当233ac=时取等号，即|BM取得最小值 2，又6ac=，所以3,2 3ac=，4 分 此时223bacac=+=.5 分 222abc+=，ABC是直角三角形.6 分 数学试题答案 第 10 页，共 14 页 20（本小题满分 12 分，其中第一小问 3 分，第二小问 6 分，第三小问 3 分）【解析】（1）样本中仅参加某一类课后服务的学生共有25 18 1659+=（人）1 分 故样本中上个月至少参加了两类课后服务活动
23、的学生共有10059 1427=（人）2 分 由此，可估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率270.27100P=3 分（2）（法一法一）从全校学生中随机抽取 1 人，上个月仅参加学业辅导的概率为2511004=，1 分 X 的可能取值为 0，1，2，3，2 分 03033127(0)C()()4464P X=，12133127(1)C()()4464P X=2123319(2)C()()4464P X=，3033311(3)C()()4464P X=4 分【注：【注：求出四个概率共求出四个概率共 2 分，任意一个正确可给分，任意一个正确可给 1 分分，全部正确才给，全部正确才给 2
24、 分分】X 的分布列为：X 0 1 2 3 P 2764 2764 964 164 5 分 所以 X 的数学期望2727913()0123646464644E X=+=6 分（法法二二）从全校学生中随机抽取 1 人，上个月仅参加学业辅导的概率为2511004=，1 分 由题意可知随机变量 X 服从二项分布，故13,4XB，3 分 X 的分布列为3331()(0,1,2,3)44kkkP XkCk=5 分【注：【注：表达式表达式 1 分，范围分，范围 1 分】分】X 的数学期望13()344E Xnp=6 分（3）由题意可知139()(1)34416D Xnpp=.1 分 随机变量 Y 服从二项
25、分布，即253,100nYB+故25 75()3(1)3100100nnD Ypp+=()014,nnN，2 分()()D YD X 3 分 数学试题答案 第 11 页，共 14 页 21（本小题满分 12 分，其中第一小问 4 分，第二小问 8 分）【解析】（1）由230OHF=，得3bc=（c为半焦距），1 分 点31,2在椭圆 E 上，则221914ab+=2 分 又222abc=+，解得2a=，3b=，1c=3 分 椭圆 E 的方程为22143xy+=4 分（2）（法法一一）由（1）知)0,1(2F，当直线l的斜率存在时，设直线l：)1(=xky，1 分 由=+=134)1(22yxx
26、ky消去y，得01248)34(2222=+kxkxk2 分 显然0，设()11,A x y，()22,B xy 则34124,34822212221+=+=+kkxxkkxx 3 分 则4)(2534)34(482534124212222221+=+=+=xxkkkkkxx 4 分 由()2,0P，得直线AP为11112(2)(0,)22yyyxMxx=+5 分 同理可得直线BQ为22222(2)(0,)22yyyxNxx=1212121212122121121222(2)(1)(2)2222(2)(1)(2)22OMyxy xxxx xxxONxyy xxxx xxx+=+12121212
27、1212513()422212225393()4226222xxxxxxxxxxxx+=+6 分 312121=ONOMONPQOMPQSSNPQMPQ7 分 当直线l的斜率不存在时，(0,1)M，(0,3)N，31=ONOMSSNPQMPQ8 分 数学试题答案 第 12 页，共 14 页 综上所述，31=NPQMPQSS （法法二二）由（1）知()21,0F设直线:1l xmy=+，1 分 由221143xmyxy=+=消去x，整理得()2234690mymy+=2 分 显然()214410m=+，设()11,A x y，()22,B xy 则122634myym+=+，122934y ym
28、=+3 分()121232my yyy=+4 分 直线AP的斜率1112ykx=+，直线BQ的斜率2222ykx=5 分()()()()121211212121212221233yxymykmy yykxymyymy yy=+()()1211212212313122233933222yyyyyyyyyy+=+6 分 又1OMkOP=，2ONkOQ=，2OPOQ=，12OMkONk=7 分 121212MPQNPQPQ OMSOMkSONkPQ ON=13=8 分（法法三三）由（1）知()21,0F设直线:1l xmy=+，1 分 由221143xmyxy=+=消去x，整理得()2234690m
29、ymy+=2 分 显然()214410m=+，设()11,A x y，()22,B xy 则122634myym+=+，122934y ym=+3 分()121232my yyy=+4 分 数学试题答案 第 13 页，共 14 页 由()2,0P，得直线AP为11112(2)(0,)22yyyxMxx=+5 分 同理可得直线BQ为22222(2)(0,)22yyyxNxx=6 分 1212122122(2)|22(2)OMyxy xONxyy x=+()()1212112122133ymymy yymyymy yy=+()()1211212212313122233933222yyyyyyyyy
30、y+=+7 分 1212MPQNPQPQ OMSOMSONPQ ON=13=8 分 22（本小题满分 12 分，其中第一小问 5 分，第二小问 7 分）【解析】（1）函数()fx的定义域为(0,)+，且()244axafxxxx+=+=.1 分 当0a 时，()0fx恒成立，则函数()fx在(0,)+上单调递增；2 分 当0a 时，令()0fx=，解得2ax=，由()0fx，解得02ax；由()0fx，解得2ax，3 分 则函数()fx单调递减区间为0,2a，单调递增区间为,2a+.4 分 综上，当0a 时，函数()fx在()0,+上单调递增；当0a 时，函数()fx在0,2a上单调递减，在,
31、2a+上单调递增.5 分（2）由（1）知()148fa=+=，解得4a=.1 分()24ln22f xxx=+对于任意实数1,2 时，存在正实数12,x x，使得()()()1212xxf xf x+=+，()()()221212124ln24x xxxxx+=+即()()()2121212122444lnxxxxx xx x+=，2 分 数学试题答案 第 14 页，共 14 页 设120 x xt=，构造函数()44lnh ttt=，则44(1)()4th ttt=，3 分 当(0,1)t时，()0,()h th t单调递减；当(1,)t+时，()0h t，()h t单调递增，故()(1)4h th=，4 分 则()()21212min24()4xxxxh t+=，故()()2121228xxxx+.设函数()()21212()820gxxxx=+，5 分 120 xx+，可知函数()g在1,2上单调递减，故()()21212()(2)2820ggxxxx=+，6 分 解得121172xx+或121172xx+(舍去)，故12xx+的最小正整数值为 3.7 分
