1、3 微分方程建模方法当事物的某些特性随时间或空间而演变时，我们通常建立微分方程模型微分方程模型来描述它的变化过程，以分析它的变化规律、预测它的未来性态。微分方程建模思想和方法净变化率输入率输出率守恒原理例1 死亡时间的确定在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度是29oC,当时环境的温度是21oC.1小时后尸体温度下降到27oC,试估计死者的死亡时间.模型假设1.设环境的温度为常数TE,人体正常温度为TP.2.t时刻尸体的温度为T(t).3.t1时刻测量时尸体温度为T1,t2测量温度为T2.根据热传导定律：1.热量总是由高温的物体传向低温物体.2.单位时间的热传导量与温差成正比.有tTttTk
2、QQttt)(EtTttTkTttTt)()(E)()(ETttTktTttTt模型建立令 得到0t)(ddETtTktT微分方程模型模型求解这是一个比较简单的微分方程方程模型,可以求得其通解为其中C,k 为参数,可通过测量数据确定其值.Ee)(TCtTtk由假设1,3有T(0)=Tp,T(t2)=T2,即解得2EPE2e,TCTTCTtk2PE2EEPln,tTTTTkTTC又由t2=t1+1,有其中E11eTCTtk1ln,1PE2EEPtTTTTkTTC1E2EPE1E1lnlnTTTTTTTTtTE=21,TP=37,T1=29,T2=274094.2)4/3ln(2ln1t进一步讨论
3、如果只测量一次尸体的温度,你能估计出死亡的时间吗?例2 湖水污染浓度有一个小湖,水容量为2000m3,分别有一入水口和出水口,水流量都为0.1m3/s.在上午11:05时,因交通事故一个盛有毒性化学物质Z的容器倾翻,在入口处注入湖中.于11:35时事故得到控制,但已有数量不详的化学物质泻入湖中,初步估计为520m3.建立一个模型,估计湖水污染程度随时间的变化规律,并估计1.湖水何时到达污染高峰;2.何时污染程序可降至安全水平(T时令c(t)k,解得.,1)e-(e,0),e-(1)(tTrTzTtrTztcVrtVrTVrt)e-(1)(VrTrTzTc)e1(lnVrTzcrTrVTt 例3
4、 池水有一定体积的盐水，从池的一端注入一定浓度的盐水。混合的盐水从另一端流出。试建立数学模型来描述池中盐水浓度的动态过程。模型假设注入池中的盐水迅速与池中盐水均匀地混合，从而改变了池中的盐水浓度。盐水注入的速度为r1(t),浓度为p1(t).盐水流出的速度为r2(t),浓度为p2(t).池中盐水总体积为V(t),浓度为p(t).其中t为时间.V0=V(0)，p0=p(0).模型建立 考虑在一段较短时间t内,池中盐量的变化，有由积分中值定理，存在(t,t+t),使得两边除以t,并令t0,得d)()(d)()()()()()(2211ttttttrprptVtpttVttptttrttpttrtt
5、ptVtpttVttp)()()()()()()()(2211)()()()()()(dd2211trtptrtptVtpt下面讨论池中盐水体积的变化。由积分中值定理，存在(t,t+t),使得于是有d)(d)()()(21ttttttrrtVttVtttrttrtVttV)()()()(21)()()(dd21trtrtVttrrVtV0210d)()()()()()(dd)()()()()()(dd212211trtrtVttrtptrtptVtpt)()()()()(dd211tVtptptrtpt所以)()()()()(dd11tVtptptrtpt微分方程模型)()(2tptp因为tr
6、rVtV0210d)()()(其中若r1(t)=r1,r2(t)=r2,p1(t)=p1为常量，则有其中再利用p(0)=p0,解得)()()(dd11tVtpprtpttrrVtV)()(210)()()(1001211211ppVtVptprrrrrr取r1=1,r2=1/2,p0=0,V0=10,p1=5,得到的解的图像如下例4 最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源(如渔业，林业资源)的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对鳀鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称为1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼。各年龄组每条鱼
7、的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99(克)，各年龄组的自然死亡率为0.8(/年)，这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109105(个)，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成 活 为 1 龄 鱼，成 活 率(1 龄 鱼 条 数 与 产 卵 量 n 之 比)为1.221011/(1.221011+n)。渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力(如渔船数，下网次数等)固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数。通常
8、使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。请建立数学模型分析如何实现可持续捕捞(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变)，并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量)。假设1.鱼群总量的增加虽然是离散的,但对大规模鱼群而言,我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的,设t时刻i龄鱼的数目为xi(t),时间以年为单位.2.假设鳀鱼每年只在8月份产生卵,12月底孵化完成.每只 4龄鱼每年的产卵量为N,每只 3龄鱼每年的产卵量为N/2.卵的成活率(1龄鱼条数与产卵量n之比)为r.3.i龄鱼到来年分别长一岁成为i+
9、1龄鱼,i=1,2,3.4.i龄鱼的重量为gi.5.对i龄鱼捕捞强度系数为ki.6.鱼群的自然死亡率为常数d.4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可不予考虑。7.连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化,周期为1年,可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况.模型建立考虑在t,t+t时间内(未跨年)i龄鱼的数量变化.鱼群数量的变化是由于自然死亡和被捕捞而导致的，所以有令t 0,得到.112/8,)()()(.12/80,)()()()(tttdxtxttxtttxdktxttxiiiiiii.112/8),(.12/80),()(d)(dttdxttxdkttxiiii模型求解求解得到其
10、中i=1,2,3,4.如何求xi(0)?.112/8,(0)e,12/80,(0)e)()32()(txtxtxdtkitdkiiii因为每年末i龄鱼到下一年初时会变为i+1龄鱼，所以即.4,3,2),1()0(1ixxii.e)0(e)0()0(,e)0(e)0()0(,e)0()0(3321323421231233dkdkdddxxxxxxxx又由每年产卵总量)e)0(e)0(21()e)0(e)0(21()128()128(21(311323213832132324323234343343dkkdkdkdkxxNxxNxxNn又因为每年初1龄鱼的数量为其中q=1.221011.求解可得.)0(1nqqnx于是有捕捞量为再利用k3=0.42k4,捕捞量就是关于k4的一元函数.通过求其极大值可得到最大捕捞量.当N=1.109105,g3=17.86,g4=22.99,d=0.8,q=1.221011时,求得结果为k4=17.36292602,f=3.8870755181011.d)(d)(),(32044432033343ttxkgttxkgkkf小结本章主要介绍微分方程建模方法,主要利用率物质或能量的守恒原理进行建模.模型的求解方法有解析解法和数值解法.
