1、第第7节函数的图象节函数的图象最新考纲1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.知 识 梳 理1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换f(x)-k(2)对称变换f(x)f(x)f(x)logax(3)伸缩变换|f(x)|f(|x|)微点提醒记住几个重要
2、结论(1)函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称.(2)函数yf(x)与y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数yf(x)对定义域内任意自变量x满足：f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)函数yf(1x)的图象，可由yf(x)的图象向左平移1个单位得到.()(2)函数yf(x)的图象关于y轴对称即函数yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称.()(3)当x(0，)时，函数yf(|x|)的图象与y|f(x)|的图象相同.()(4)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则
3、函数f(x)的图象关于直线x1对称.()解析(1)yf(x)的图象向左平移1个单位得到yf(1x)，故(1)错.(2)两种说法有本质不同，前者为函数的图象自身关于y轴对称，后者是两个函数的图象关于y轴对称，故(2)错.(3)令f(x)x，当x(0，)时，y|f(x)|x，yf(|x|)x，两函数图象不同，故(3)错.答案(1)(2)(3)(4)解析其图象是由yx2图象中x2，排除A，C；又当x时，y，排除B，而D满足.(2)f(x)2x2e|x|，x2，2是偶函数，又f(2)8e2(0，1)，排除选项A，B；当x0时，f(x)2x2ex，f(x)4xex，所以f(0)10，所以函数f(x)在(
4、0，2)上有解，故函数f(x)在0，2上不单调，排除C，故选D.答案(1)D(2)D规律方法1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.【训练2】(2018浙江卷)函数y2|x|sin 2x的图象可能是()解析设f(x)2|x|sin 2x，其定义域为R且关于坐标原点对称，又f(x)2|x|sin(2x)f(x)，所以yf(x)是奇函
5、数，故排除选项A，B；答案D考点三函数图象的应用 多维探究角度1研究函数的性质【例31】已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，)B.f(x)是偶函数，递减区间是(，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(1，1)D.f(x)是奇函数，递增区间是(，0)答案C角度2求不等式的解集【例32】已知函数yf(x)的图象是如图所示的折线ACB，且函数g(x)log2(x1)”，则不等式f(x)g(x)的解集是()A.x|1x0B.x|1x1C.x|1x1D.x|1m时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又
6、m0，解得m3.答案(3，)规律方法1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.【训练3】(1)(2019昆明检测)已知f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h
7、(x)g(x)，则h(x)()A.有最小值1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值1，无最大值D.有最大值1，无最小值(2)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_.解析(1)画出y|f(x)|2x1|与yg(x)1x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|g(x)，故h(x)|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|g(x)，故h(x)g(x).综上可知，yh(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值1，无最大值.思维升华1.识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋
8、势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.2.用图借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程f(x)g(x)的解的个数，求不等式的解集等.易错防范2.明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.3.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.直观想象函数图象的活用类型1根据函数图象特征，确定函数解析式函数解析式与函数图象是函数的两种重要表示法，图象形象直观，解析式易于研究函
9、数性质，可根据需要，相互转化.直观想象是发现和提出问题，分析和解决问题的重要手段，在数学研究的探索中，通过直观手段的运用以及借助直观展开想象，从而发现问题、解决问题的例子比比皆是，并贯穿于数学研究过程的始终，而数形结合思想是典型的直观想象范例.【例1】已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()答案A类型2利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.【例2】(2019安徽江淮十校联考)已知maxa，b表示a，b两数中的最大值.若f(x)maxe|x
10、|，e|x2|，则f(x)的最小值为_.答案eA.0 B.m C.2m D.4m答案B评析1.由函数图象对称性，函数yf(x)与y|x22x3|图象分别关于直线x1对称，则两图象的交点关于x1对称.2.解此类求图象交点横、纵坐标之和的问题，常利用图象的对称性求解，即找出两图象的公共对称轴或对称中心，从而得出各交点的公共对称轴或对称中心，由此得出定值求解.类型3利用函数的图象求解方程或不等式若研究的方程(不等式)不能用代数法求解，但其与基本初等函数有关，常将方程(不等式)问题转化为两函数图象的交点或图象的上下位置关系，然后由图象的几何直观数形结合求解.解析(1)f(x)2sin xcos xx2sin 2xx2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1sin 2x与y2x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1sin 2x与y2x2的图象如图所示：由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.答案(1)2(2)A
