1、二次函数综合题二次函数综合题例例1：如图，已知直线：如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线与抛物线 交于交于A、B两点。两点。212yx（1）直线）直线AB总经过一个定点总经过一个定点C，请直接写出，请直接写出C点的坐标。点的坐标。12k （2）当）当 时，在直线时，在直线AB下方的抛物线下方的抛物线上求点上求点P,使使 的面积等于的面积等于5.ABPyxoAB思路思路分析分析：解：（解：（1）当当x=-2时，时，y=-2k+2k+4=4 定点定点C(-2，4)例例1：如图，已知直线：如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线与抛物线 交于交于A、B两点。两点。212yx（1）直线
2、）直线AB总经过一个定点总经过一个定点C，请直接写出，请直接写出C点的坐标点的坐标思路分析思路分析（2）12k 直线解析式解析式A、B坐标坐标联立联立212yxQNMyxoABP做辅助线则Q、M、N坐标？用含a的式子表示ABP的面积解出 ，得出P点坐标。a设P21(,)2aa怎么表示三角形的面积？怎么表示三角形的面积？请同学们按照思路试着板书！请同学们按照思路试着板书！例例1：如图，已知直线：如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线与抛物线 交于交于A、B两点。两点。212y x12k A B P12k（2）当）当 时，在直线时，在直线AB下方的抛物线下方的抛物线上求点上求点P,使使 的
3、面积等于的面积等于5.A B P212yx试着以三边做底试着以三边做底分割法分割法这种解法的数学思想？这种解法的数学思想？-数形结合思想、方程思想数形结合思想、方程思想。12k 132yx(2)当时，直线AB为：132yx 212yx解方程组92y 解得：x=2y=2或x=-39(3,)2A,B(2，2）过P做PQ/y 轴交AB于Q,分别过A、B作AMPQ于M、BNPQ于N.21(,)2aa1(,3)2aa设P则QSAPQ+SPBQ=SAPB=51()52PQ AMBN2a211322aa而 AM=3a,BN=，PQ=2111(3)55222aa或解得：2a 1a(2 2)P ，或11)2（，
4、11522AMPQBNPQQNMxoyABP例例2：如图，抛物线如图，抛物线C1:经过第一象经过第一象限内的定点限内的定点P 244(0)yaxaa（1）直接写出点）直接写出点P坐标。坐标。（2）若）若 ，点，点M坐标为（坐标为（2,0），），N为抛物线为抛物线C1上的点，上的点，Q为线段为线段MN中点，中点，设点设点N在抛物线在抛物线C1上运动，上运动，Q点运动轨迹为抛物线点运动轨迹为抛物线C2,求抛物线求抛物线C2的解析式。的解析式。1a y0 x例例2：如图：抛物线：如图：抛物线C1:经经过第一象限内的定点过第一象限内的定点P 244(0)yaxaa（1）直接写出点）直接写出点P坐标。坐
5、标。y0 x分析思路（分析思路（1）仿例仿例1第一问写出第一问写出P点坐标。点坐标。解：（解：（1）P(2，4)例例2：如图：抛物线：如图：抛物线C1:经经过第一象限内的定点过第一象限内的定点P 244(0)yaxaa（2）若 ，点M坐标为（2,0），N为抛物线C1上的点，Q为线段MN中点，设点N在抛物线C1上运动。Q点运动轨迹为抛物线C2,求抛物线C2的解析式。1a y0 xMNQ.思路分析：思路分析：1：设Q(x,y);N(XN,yN)2:由题意（中点坐标公式）找出x与XN；y与yN的关系。3：用x,y表示XN,yN，4：将N(XN,yN)代入抛物线C1解析式，化简后即为抛物线C2解析式。
6、请同学们按照思路试着板书！请同学们按照思路试着板书！（2）：时，C1：设Q(x,y);N(XN,yN)M(2，0),且Q是线段MN的中点 20,22NNxyxy22,2NNxxyy28yx 点N(XN,yN)为抛物线C11a 28yx 上的点，28NNyx 22(22)8yx 化简得：2242yxx 即为抛物线C2解析式。例例3：点：点P是直线是直线l l:y=-2x-2上的点。过点上的点。过点P的的另一条直线另一条直线m交抛物线交抛物线y=x2于于A、B两点。两点。（1）若直线m的解析式为 ，求A,B两点坐标。（2）若点P坐标为（-2，t)，当PA=AB时，写出点A坐标。试证明：对于直线l上
7、任意给定的 一点P，在抛物线上都 能找到点A，使得PA=AB成立。PAByx0ml1322yx 解（1）由1322yx 2yx3 9(,),(1,1)2 4AB解得：(2)12(1,1),(3,9)AAPA(B)yx0ml12-2-1y=x2y=-x-12y=x2y=-7x-12-6-416-22-39PABxy-1lm-2-1-2PAByx0mlGH（2）证明：过P、B分别作过点A且平行于x轴的直线的垂线，垂足分别为G、H设2(,22),(,)P aaA m mPAG BAH(AAS)AG=AH,PG=BH2(2,222)Bmama2yx将点B坐标代入抛物线得：2224220mamaa222168(22)8(1)80aaaa 无论a为何值，关于m的方程总有两个不相等的实根。即对于任意给定的定点P,抛物线上总能找到两个满足条件的点A.PGA=BHA=900PAG=BAHPA=AB在PAG和BAH中小结：小结：谈谈这节课的收获!从知识点和数学思想方法再见再见
