1、代数：以“函数”为核心，由此辐射和联系数、式、方程、不等式等相关知识；几何：以“三角形”（特别是三角形的全等和相似）为核心，由此辐射和联系四边形、相似形、解直角三角形、圆等相关知识“详略得当”强化支撑学科知识体系的主干内容设计建议一设计建议一 突出知识主干的一个有效方式是，要在复习过程中对知识结构进行必要的整合，透过大量庞杂琐碎的知识点有效地抓住知识的共性，抽取出数学的本质 专题一：应用性问题专题一：应用性问题1 专题二：应用性问题专题二：应用性问题2 专题三：分类讨论问题专题三：分类讨论问题1 专题四：分类讨论问题专题四：分类讨论问题2 专题五：质点运动问题专题五：质点运动问题1 专题六：质
2、点运动问题专题六：质点运动问题2 专题七：图形操作问题专题七：图形操作问题1 专题八：图形操作问题专题八：图形操作问题2 专题九：开放型问题专题九：开放型问题 专题十：函数综合型问题专题十：函数综合型问题 专题十一：方案设计型问题专题十一：方案设计型问题 专题十二：阅读理解型问题专题十二：阅读理解型问题 专题十三：填空题专项训练专题十三：填空题专项训练 专题十四：选择题专项训练专题十四：选择题专项训练关键词：关键词：思想、方法、渗透、思想、方法、渗透、归纳、形成体系归纳、形成体系“庖丁解牛”重要题型的思想方法宜分步落实设计建议二设计建议二u【案例案例1】在分类讨论思想的专题复习中，在分类讨论思
3、想的专题复习中，首先用数钱问题引导学生进行方法论层次首先用数钱问题引导学生进行方法论层次 的问题解决，再进行实证层次的问题解决。的问题解决，再进行实证层次的问题解决。u 问题问题1 面对一堆人民币，其中有面对一堆人民币，其中有100元、元、50元、元、20元、元、10元、元、5元、元、1元面值，你元面值，你 怎样用最快的速度清点出一共有多少钱？怎样用最快的速度清点出一共有多少钱？u问题问题2 函数函数y=ax2-ax+3x+1与与x轴只有一个交点，轴只有一个交点，求求a的值与交点坐标。的值与交点坐标。当当a=0时时,为一次函数为一次函数y=3x+1,交点为（交点为（-，0）；）；当当a不为不为
4、0时时,为二次函数为二次函数y=ax2+(3-a)x+1,=a2-10a+9=0.解得解得a=1或或 a=9,交点为（交点为（-1，0）或（）或（，0）3131为什么要分类？怎样分类？为什么要分类？怎样分类？问题由问题由函数二字函数二字而生。而生。u问题问题3 在平面直角坐标系中，已知点在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）.xy0.P为对角线以情况一OP:)0,2(1T)2,2(2TA)0,2(3T为对角线以情况二PA:为对角线以情况三OA:(1)过过P作作y轴的垂线轴的垂线PA,垂足为垂足为A.点点T为坐标系中的一点。以点为坐标系中的一点。以点A.O.P.T为顶点的四边形为平行为顶点的四边
5、形为平行四边形四边形,请写出点请写出点T的坐标的坐标?xy0.P时当情况一090:PTO时当情况二090:TPO不存在符合条件的点如图若T时90为POT0)0,2(1T)0,25(2TA)5,0(3T(2)过过P作作y轴的垂线轴的垂线PA,垂足为垂足为A.点点T为坐标轴上的一点。以为坐标轴上的一点。以P.O.T 为顶点的三角形与为顶点的三角形与AOP相似相似,请写出点请写出点T的坐标的坐标?运用分类讨论思想解决问题的解题程序：运用分类讨论思想解决问题的解题程序：确定分类对象与标准确定分类对象与标准合理分类（不重不漏）合理分类（不重不漏）分类讨论分类讨论归纳汇总归纳汇总关键词：关键词：混搭、跨界
6、混搭、跨界ACO 在对称轴上是否存在点在对称轴上是否存在点P，使，使PAC为直角三角形？若存为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；Y=x2-x-2时当情况一090:PCA时当情况二090:PAC)43,21(2P时时当当情情况况三三090 APC:)47,21(1P相似三角形相似三角形ACO 在对称轴上是否存在点在对称轴上是否存在点P，使，使PAC为直角三角形？若存为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；Y=x2-x-
7、2时当情况一090:PCA时当情况二090:PAC)43,21(2P时当情况三090:APC)47,21(1P两三角形相似得两三角形相似得:)23,21()21,21(43PP化归到基本图形化归到基本图形“授之以渔”万变不离本质，殊途终需同归设计建议三设计建议三实践一：立足于教材，抓习题的变换实践一：立足于教材，抓习题的变换 在复习中要立足于课本，离开了课本的复习必然是无源之水，特别是教师，要充分挖掘和发挥课本中的例题、习题的潜在的功能，教给学生通过类比、延伸，拓展出一些新颖的变式题，并加以解决，从中归纳整理出基础知识、基本技能、基本方法、掌握教材中的通性通法。【案例案例2】课本原题（八上课本
8、原题（八上P35页作业题第页作业题第3题）题）将一张长方形纸片按图示方法折叠，得到的将一张长方形纸片按图示方法折叠，得到的ABC是等腰直角三角形。请说明理由。是等腰直角三角形。请说明理由。讲一题、得一法、会一类、通一片关键词：关键词：变式变式1：四边形四边形ABCD是矩形纸片，是矩形纸片，AB=4cm，AD=3cm，把矩形沿直线，把矩形沿直线AC折叠，点折叠，点B落在落在E处，处，连接连接DE。猜想重叠部分猜想重叠部分AOCAOC是什么图形？是什么图形？求重叠部分求重叠部分AOCAOC的面积。的面积。求四边形求四边形ACEDACED的面积和周长。的面积和周长。使学生经历观察、猜想、验证、推理、
9、交流等数学活动，综使学生经历观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动，综合复习矩形的性质，三角形全等的知识，求线段合复习矩形的性质，三角形全等的知识，求线段CO时需要时需要AOD中利用勾股定理构造方程（方程思想），求线段中利用勾股定理构造方程（方程思想），求线段DE时需要用到相似三角形的性质。时需要用到相似三角形的性质。O变式变式2：如图如图2，矩形纸片，矩形纸片ABCD，AD=4cm，把矩形把矩形ABCD折叠，使点折叠，使点B恰好落在恰好落在AD边的边的中点中点F处，折痕为处，折痕为CE，则折痕的长为多少？，则折痕的长为多少？意图说明：变换折叠的方式，点意图说明：变换折叠的方式，点B落在落在A
10、D中中点点F上。难度逐渐加深，激发学生探究欲望，上。难度逐渐加深，激发学生探究欲望，发现发现30角，角，锐角三角函数的应用。锐角三角函数的应用。变式变式3：如图：如图3，在矩形纸片，在矩形纸片ABCD中，中，AB=3，AD=5，折叠纸片，使点折叠纸片，使点A落在落在BC边上的点边上的点A/处，折痕为处，折痕为PQ。当点当点A在在BC边上移动时，折痕的端点边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移也随之移动。若限定点动。若限定点P、Q分别在分别在AB、AD上移动，则点上移动，则点A/在在BC上可移动的最大距离为上可移动的最大距离为 。意图说明：折叠时，折痕不确定，则点意图说明：折叠时，折痕不确定，则点
11、A 的落点的落点A/也不定，探求点也不定，探求点A/在在BC上可上可移动的最大距离，难度增加，引导动手移动的最大距离，难度增加，引导动手操作，找到操作，找到“精彩瞬间精彩瞬间”（极端思想）（极端思想）化动为静，量化图形。化动为静，量化图形。根据点根据点P、Q分别在分别在AB、AD上移动，画上移动，画出两个极限位置时的出两个极限位置时的图形。图形。554333变式变式4：将一矩形纸片：将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中放在直角坐标系中,O为原为原点点,C在在x轴上轴上,OA=6,OC=10.（1）如图，在）如图，在OA上取一点上取一点E，将，将EOC沿沿EC折叠折叠，使，使O落在落在AB边上的
12、边上的D点，求点，求E点的坐标。点的坐标。ABCDEOxy勾股定理与勾股定理与方程思想方程思想222261 031 003R tA E DO EO EO EE在中 有：（）解 得：，所 以（，）10106862（2）如图）如图，在，在OA、OC 边上选取适当的点边上选取适当的点E、F，将，将E OF沿沿E/F折叠，使折叠，使O点落在点落在A B 边上边上的的D 点，过点，过D 作作D GA O交交E F于于T点，交点，交OC 于于G点，求证点，求证TG=A E OxyABCDEFGT由折叠可得由折叠可得2 DGAO323DT=DE=OE 又又A=DGTG=AE32证明线段相等的方法有全等，证明
13、线段相等的方法有全等，等角对等边，平行四边形，等角对等边，平行四边形，等量线段的和差等量线段的和差3）在（在（2）的条件下）的条件下设设T（x,y），探求），探求y与与x之间之间的函数关系式，并指出自变量的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。的取值范围。OxyABCDEFGTRtGOT中中由勾股定理，得由勾股定理，得:整理，得整理，得:)62(31212xxy2226xyy=（）T（X，Y）函数思想函数思想6-y因为点因为点E/、F在在OA、OC边上边上所以考虑极限位置所以考虑极限位置：E/与与A/重合时，重合时，X=6F与与C/重合时，重合时，X=2(4)如图如图,如果将矩形如果将矩形OA
14、BC变为变为平行四边形平行四边形OA/B/C/,使使OC/=10,OC/边上的高等于边上的高等于6,其其它条件不变它条件不变,探求探求:这时这时T/(x,y)的坐标的坐标y与与x之之间间是否是否仍然满足仍然满足(3)中所得的函数关系中所得的函数关系,若满若满足足,请说明理由请说明理由;若不满足若不满足,写出你认为正确的写出你认为正确的函数关系式函数关系式.OxyABCDEFTG解解:将平行四边形将平行四边形OA“B”C“可以割补为下图中可以割补为下图中的矩形的矩形O MBC当当X6时，仍然满足时，仍然满足当当X6时，点时，点T不存在不存在21312yx 图形图形化归化归 T/(x,y)运用化归
15、思想，将变化后的图形还原成已知图运用化归思想，将变化后的图形还原成已知图形，寻找形，寻找“变变”中的中的“不变不变”。这也是我们验。这也是我们验证图形发生变化时，结论是否改变的一种常用证图形发生变化时，结论是否改变的一种常用方法。方法。讲一题、得一法、会一类、通一片实践二：立足于反思，抓解题的本质实践二：立足于反思，抓解题的本质 中考数学试题形式和知识背景千变万化，但其中考数学试题形式和知识背景千变万化，但其中运用的数学思想方法却往往是相通的。要处理好中运用的数学思想方法却往往是相通的。要处理好“通法通法”和技巧的关系，在学习中不应过分地追求和技巧的关系，在学习中不应过分地追求特殊方法、技巧，
16、不必将力气花在钻难题、怪题上。特殊方法、技巧，不必将力气花在钻难题、怪题上。应抓住数学知识的主干部分与通性通法，在此基础应抓住数学知识的主干部分与通性通法，在此基础上通过寻求不同解题途径与思维方式，培养思维的上通过寻求不同解题途径与思维方式，培养思维的广阔性、灵活性和敏捷性。广阔性、灵活性和敏捷性。1(0)yxx5151()22，35 35()22，5151()22，35 35()22，已知：如图，正方形已知：如图，正方形OABCOABC，ADEFADEF的的顶点顶点A A，D D，C C在坐标轴上，点在坐标轴上，点F F在在ABAB上，点上，点B B，E E在函数在函数 的图象上，则点的图象
17、上，则点E E的坐标是（的坐标是（）ABCD【案例3】：GHI I分析分析 显然显然B(1,1),设正方形设正方形ADEF的边长的边长为为a,则点则点E的坐标为的坐标为(a+1,a)建立方程建立方程(a+1)a=1 (a0)求解方程求解方程 a=5125151()22，E 设正方形设正方形DGHI的边长为的边长为b,则则点点H的坐标为的坐标为(+b,b)512512建立方程建立方程(b+)b=1 (ba)GHI I结论结论 沿沿x轴正半轴继续向右作正方形，其在反轴正半轴继续向右作正方形，其在反比例函数图象上的顶点坐标无规律可循比例函数图象上的顶点坐标无规律可循1(0)yxx探索一：探索一：将反
18、比例函数改为一次函数的情形，将反比例函数改为一次函数的情形，类似地在类似地在x x轴正半轴作序列正方形，其在函数图轴正半轴作序列正方形，其在函数图象上的顶点坐标是否有其规律可循？象上的顶点坐标是否有其规律可循？探索：探索：设第设第1 1个正方形的边长为个正方形的边长为a，则，则P1(a,a)代入函数解析式得代入函数解析式得 a=a+1，所以，所以即即12a 设第设第2 2个和第个和第3 3个正方形的边长为个正方形的边长为b和和c，求得，求得11 1(,)2 2P，233 17 1(,)(,)4 48 8PP，发现：发现：由由 可以发现，后一可以发现，后一个正方形的边长为前一个的个正方形的边长为
19、前一个的111248abc，11(1,)22nnnP23 1(,)4 4P11 1(,)2 2P37 1(,)8 8P12探索二：探索二：将正方形系列改成作相似的等腰三角将正方形系列改成作相似的等腰三角形系列，其在函数图象上的顶点坐标是否有其形系列，其在函数图象上的顶点坐标是否有其规律可循？规律可循？112OA ，取B1则11 3)4 4P(，B2如何求点P2的坐标？设A1B2=a，则P2的坐标可表示为 1(,3)2a a如何构建关于a的方程？113128aaa由，求得则25 3)8 8P(，再求得313 3)16 16P(，B1B21133(1,)22nnnP25 3(,)8 8P11 3(
20、,)4 4P313 3(,)16 16P探索三：探索三：将相似等腰三角形系列改成交错放置将相似等腰三角形系列改成交错放置的等底的等腰三角形系列，则交错形成的交点的等底的等腰三角形系列，则交错形成的交点坐标是否有其规律可循？坐标是否有其规律可循？12yx 如图，已知A1，A2，A3，An是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=AnAn+1=1，分别过点A1，A2，A 3，A n+1作x轴的垂线交一次函数的图象于点B1，B2，B3，Bn+1，连结A1B2，B1A2，A2B3，B2A3，AnB n+1，BnA n+1依次产生交点P1，P2，P3，Pn，则Pn的横坐标是 问题设计问题设计:1111
21、22PABPA B1111122212PMABOAPNA BOA111213PMPMMNA A113PM即P1的横坐标为 14133222233P A BP A B225PM2222233323PMA BOAP NA BOA222325PMPMMNA A即P2的横坐标为 212255P1的横坐标为 14133P2的横坐标为 212255Pn的横坐标为 2222121nnnnnnPn的纵坐标可否用n的代数式来表示?1112112111121121PCPBPDA PABABABA B，1111PCPD2222PCP D同理，nnnnPCP D，Pn的纵坐标为221122()222142nnnnnn
22、 小结：一个综合问题的解决，我们一定要给学生充分思考回味的过程。也就是让学生有个反思的过程，体会解决问题的本质，从而得到真正的方法。量不在多，典型就行；题不在难，有思想就灵。量不在多，典型就行；题不在难，有思想就灵。关键词：关键词：总言之，教无定法，我们要从大量的题海中为自己的学生选取合适的试题，选择合适的教学方法，让学生从题海中走出来，从更深层次的思考中获得真正的数学方法与数学思想。在知识生长点处引入在知识生长点处引入 在知识结合点处展开；在知识结合点处展开；在知识关键点处引伸在知识关键点处引伸 在能力提高点处设疑；在能力提高点处设疑；在有价值处思考讨论在有价值处思考讨论 在困难处点拨与分析。在困难处点拨与分析。
