1、1.（2020凉山州）如图ZT20-1，二次函数y=ax2+bx+c的图象过O(0，0),A(1，0),B 三点（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQx轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标解：解：（1 1）将点）将点O,A,BO,A,B的坐标代入二次函数的解析式，的坐标代入二次函数的解析式，得得 解得解得故二次函数的解析式为故二次函数的解析式为y=y=c=0c=0，a+b+c=0a+b+c=0，（2 2）如答图）如答图Z
2、T20-1,ZT20-1,作出作出OBOB的垂直平分线的垂直平分线CD,CD,垂足为点垂足为点F.F.OO（0,00,0），），B B点点F F的坐标为的坐标为直线直线CDCD垂直平分垂直平分OBOB，且，且AB=OA=1AB=OA=1，直线直线CDCD过点过点A A（1,01,0）.设直线设直线CDCD的解析式为的解析式为y=kx+b.y=kx+b.将点将点F F A A（1,01,0）代入，）代入，得得 解得解得直线直线CDCD的解析式为的解析式为y=-x+y=-x+k+b=0.k+b=0.（3 3）设点）设点P P当当x=x=时，时，PQPQ有最大值为有最大值为此时点此时点P P的坐标为
3、的坐标为2.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点为A（-1，0）和点B，与y轴的交点为C（0，-3），直线L：y=kx-1与抛物线的交点为点A和点D（1）求抛物线和直线L的解析式；（2）如图ZT20-2，点M为抛物线上一动点（不与点A,D重合），当点M在直线L的下方时，过点M作MNx轴交L于点N，求MN的最大值；（3）点M为抛物线上一动点（不与点A，D重合），M为直线AD上一动点，是否存在点M，使得以C，D，M，M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由解：（解：（1 1）将点）将点A A，C C的坐标代入抛物线的解析式，的坐标代入抛物线的解析式，
4、得得 解得解得故抛物线的解析式为故抛物线的解析式为y=xy=x2 2-2x-3.-2x-3.将点将点A(-1,0)A(-1,0)代入直线代入直线L L的解析式，的解析式，得得-k-1=0.-k-1=0.解得解得k=-1.k=-1.故直线故直线L L的解析式为的解析式为y=-x-1.y=-x-1.1 1b+c=0b+c=0，c=c=3.3.b=b=2 2，c=c=3.3.（2 2）设点）设点M M的坐标为（的坐标为（m m，m m2 2-2m-3-2m-3），则点），则点N N的纵坐标为的纵坐标为m m2 2-2m-3.-2m-3.将点将点N N的纵坐标代入的纵坐标代入y=-x-1,y=-x-1
5、,得得m m2 2-2m-3=-x-1.-2m-3=-x-1.解得解得x=-mx=-m2 2+2m+2.+2m+2.故点故点N N（-m-m2 2+2m+2+2m+2，m m2 2-2m-3-2m-3）.则则MN=-mMN=-m2 2+2m+2-m=-m+2m+2-m=-m2 2+m+2=+m+2=-1-10 0，当当m=m=时，时，MNMN有最大值为有最大值为（3 3）联立）联立y=y=解得解得 或或D(2,-3).D(2,-3).设点设点M M（m m，m m2 2-2m-3-2m-3），点），点MM（s s，-s-1-s-1）.x x2 2-2x-3,-2x-3,y=-x-1.y=-x-
6、1.y=-1,y=-1,y=0y=0 x=2,x=2,y=-3.y=-3.当当CDCD为平行四边形的边时，为平行四边形的边时，点点C C向右平移向右平移2 2个单位得到个单位得到D D，同样点，同样点M M（MM）向右平移）向右平移2 2个单位个单位得到得到MM（M M）.mm2=s 2=s,且且m m2 2-2m-3=-s-1-2m-3=-s-1.联立联立,解得解得m=0m=0（舍去）或（舍去）或m=1m=1或或m=m=故点故点M M的坐标为（的坐标为（1 1，-4-4）或）或当当CDCD为平行四边形的对角线时，为平行四边形的对角线时，由中点公式，得由中点公式，得 （0+20+2）=（m+s
7、m+s），），且且 （-3-3-3-3）=（m m2 2-2m-3-s-1-2m-3-s-1）.联立，解得联立，解得m=0m=0（舍去）或（舍去）或m=1.m=1.故点故点M M的坐标为（的坐标为（1 1，-4-4）.综上所述，点综上所述，点M M的坐标为（的坐标为（1 1，-4-4）或）或3.（2020乐山改编）如图ZT20-3，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，且tanCBD=（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EFPE交抛物线于点F，连接FB，F
8、C，求BCF的面积的最大值；连接PB，求 PC+PB的最小值.解：（解：（1 1）根据题意，可设抛物线的解析式为）根据题意，可设抛物线的解析式为y=ay=a（x+1x+1）（x-5x-5）.AA（-1-1，0 0），），B B（5 5，0 0），），抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x=2x=2，即，即D D（2 2，0 0）.tanCBDtanCBD 且且BD=3BD=3，CD=4CD=4，即，即C C（2 2，4 4）.将点将点D D（2,42,4）代入抛物线的解析式，得）代入抛物线的解析式，得4=a4=a（2+12+1）（）（2-52-5）.解得解得 a a二次函数的解析式为二次函
9、数的解析式为 y y (x+1)(x-5)=(x+1)(x-5)=（2 2）设）设P P（2 2，t t），其中），其中0 0t t4.4.设直线设直线BCBC的解析式为的解析式为 y=kx+b y=kx+b，将点将点B B，C C的坐标代入，得的坐标代入，得解得解得直线直线BCBC的解析式为的解析式为y=y=5k+b=0,5k+b=0,2k+b=4.2k+b=4.令令y=ty=t，得，得x x5 5点点E E的坐标为的坐标为把把x x5 t 5 t 代入代入y y (x+1)(x-5)(x+1)(x-5)，得得 y y2t-t2t-t2 2，即，即F FEFEF t-t-BCFBCF的面积为
10、的面积为 EFEFBD=BD=当当t=2t=2时，时，BCFBCF的面积最大，且最大值为的面积最大，且最大值为如答图如答图ZT20-2ZT20-2，过点，过点P P作作PGPGACAC于点于点G.G.由对称性可知由对称性可知ACD=BCDACD=BCD，AC=BC=5AC=BC=5，sinACDsinACD 则在则在RtRtPCGPCG中，中，PGPGPCsinACDPCsinACD PC.PC.PC+PB PC+PBPG+PB.PG+PB.过点过点B B作作BHACBHAC于点于点H H，则，则PG+PBBH.PG+PBBH.当点当点P,B,GP,B,G三点共线，且三点共线，且BGACBGAC时，时，PG+PBPG+PB取最小值，即为取最小值，即为BH.BH.SSABCABC ABABCDCD ACACBHBH，即即 6 64 4 5 5BHBH，BH=BH=PC+PB PC+PB的最小值为的最小值为
