1、本章知识框架本章知识框架本章总结提升本章总结提升相等相等 相等相等 重合重合 完全重合完全重合 SSSSASASAAAS1.1.证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法方法2.2.全等三角形，是证明两条全等三角形，是证明两条线段线段或两个或两个角角相等的重要方法之一，证明相等的重要方法之一，证明时时 要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。分析分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。有有公共边公共
2、边的，的，公共边公共边一定是对应边，一定是对应边，有有公共角公共角的，的，公共角公共角一一定是对应角，有定是对应角，有对顶角对顶角，对顶角对顶角也是对应角也是对应角总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。二、挖掘“隐含条件”判全等1.1.如图（如图（1 1），），AB=DCAB=DC，AC=DBAC=DB，则，则ABCABCDCBDCB吗吗?说说理由说说理由ADBC图（1）2.2.如图（如图（2 2），点），点D D在在ABAB上，点上，点E E在在ACAC上，上，CDCD与与BEBE相交于点相交于点O O，且，且AD=AE,AB=AC.AD=A
3、E,AB=AC.若若B=20B=20,CD=5cm,CD=5cm，则，则C=C=,BE=BE=.说说理由说说理由.BCODEA图（2）3.3.如图（如图（3 3），），ACAC与与BDBD相交于相交于o,o,若若OB=ODOB=OD，A=CA=C，若，若AB=3cmAB=3cm，则，则CD=CD=.说说理由说说理由.ADBCO图（3）205cm3cm友情提示：公共边，公共角，友情提示：公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件！对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件！3.3.如图：在如图：在ABCABC中，中，C=90C=900 0，ADAD平分平分 BAC BAC，DEABDEAB交
4、交ABAB于于E E，BC=30BC=30，BDBD：CD=3CD=3：2 2，则，则DE=DE=。12cABDE三、熟练转化“间接条件”判全等4.如图，如图，AE=CF，AFD=CEB，DF=BE;AFD与与 CEB全等吗？为什么？全等吗？为什么？ADBCFE解:AFD与与 CEB全等全等,理由是：理由是：AE=CF AE-EF=CF-EF AF=CE在在AFD与与 CEB中中AF=CEAFD=CEBDF=BE AFD CEB(SAS)解解：BC=DE，理由是：，理由是：CAE=BAD CAE+EAB =BAD+EAB CAB=EAD在在 CAB与与 EAD中中CAB=EADB=D AC=A
5、E CAB EAD（AAS)ED=CB5.如图在如图在 ABC、ADE中中B=D，AC=AE,且CAE=BAD，则则BC=DE 吗？为什么？吗？为什么？ACEBD等量加等量和相等，等量减等量差相等，都是用来间接等量加等量和相等，等量减等量差相等，都是用来间接找边和角相等的方法！找边和角相等的方法！6、已知，如图、已知，如图,AB=AC,DB=DC,F是是AD的延长线上的一的延长线上的一点点,试说明试说明:BF=CF.证明：在ABD和ACD中 AB=AC BD=CD AD=AD ABD ACD(SSS)BAD=CAD又F是是AD延长线上一点，延长线上一点，BAF=CAF在ABF和ACF中 AB=
6、AC BAF=CAF AF=AF ABF ACF(SAS）BF=CF例例2 2：如图，已知：如图，已知ABCABC中，中，BEBE和和CDCD分别为分别为 ABCABC和和ACBACB的平分线，且的平分线，且BD=CEBD=CE，1=21=2。说明。说明BE=BE=CDCD的理由。的理由。A AB BC CE ED D1 12 2解解：DBC=21DBC=21，ECB=22ECB=22 （角平分线的定义）（角平分线的定义）1=2DBC=ECB1=2DBC=ECB 在在DBCDBC和和ECBECB中中 BD=CEBD=CE（已知）（已知）DBC=ECBDBC=ECB BC=CB BC=CB（公共
7、边）（公共边）DBCDBCECBECB（SASSAS）BE=CDBE=CD（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）5：如图，已知：如图，已知E在在AB上，上，1=2，3=4，那么，那么AC等等于于AD吗？为什么？吗？为什么？4321EDCBA解：解：AC=AD理由：在理由：在EBC和和EBD中中 1=2 3=4 EB=EB EBC EBD (AAS)BC=BD 在在ABC和和ABD中中 AB=AB 1=2 BC=BD ABC ABD (SAS)AC=AD6：如图，已知，如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。请问图中有。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。那几对全
8、等三角形？请任选一对给予证明。FEDCBA答：答：ABC DEF证明：ABDE A=D AF=DC AF+FC=DC+FC AC=DF在在ABC和和DEF中中 AC=DF A=D AB=DE ABC DEF （SAS）17。如图在三角形。如图在三角形ABC中，中，BAC=90，AB=AC，AE是过点是过点A的一条直线，且的一条直线，且BC两点在两点在AE的异侧，的异侧，BDAE于于D，CEAE于点于点E求证：（）求证：（）=DE+CECBAED提示证明：提示证明：ABD ACE（AAS）证明：证明：7：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的
9、一半。已知：如图，已知：如图，AD是是ABC 的中线，求证：的中线，求证：)(21ACABADABCDE证明：倍倍长长中线中线3.如图如图,已知已知ACBD，EA、EB分别平分分别平分CAB和和DBA，CD过点过点E，则，则AB与与AC+BD相等吗？请说明理由。相等吗？请说明理由。ACEBD要证明要证明两条线段的和与一条线两条线段的和与一条线段相等段相等时常用的两种方法：时常用的两种方法：1、可在、可在长线段上截取长线段上截取与与两条线段两条线段中一条相等的一段中一条相等的一段，然后证明剩余，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。的线段与另一条线段相等。2、把一个三角形、把一个三角形移到移到另一
10、位置，另一位置，使使两线段补成一条线段两线段补成一条线段，再证明，再证明它与它与长线段相等长线段相等。（补）。（补）截长补短截长补短E证明：在证明：在DC上截取上截取DEDB，连接，连接AEACDB。如图在三角形。如图在三角形ABC中，中，BC上的高为上的高为AD，且，且B=2C求证：求证：CD=ABBD4.4.已知，已知，ABCABC和和ECDECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B B，C C，D D在一条直线在一条直线上求证：上求证：BE=ADBE=AD EDCAB证明证明：ABC和和ECD都是等边三角形都是等边三角形 AC=BC DC=EC BCA=DCE=60 BCA+ACE
11、=DCE+ACE即即BCE=DCA在在ACD和和BCE中中 AC=BC BCE=DCA DC=EC ACD BCE (SAS)BE=AD EDCAB3.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线在一条直线上求证：上求证：BE=AD变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将ABC绕点绕点C顺时针旋转一定角度，以上顺时针旋转一定角度，以上的结论还成立吗？的结论还成立吗？当顺时针旋转当顺时针旋转10时，时，4.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，当都是等边三角形，当ABC绕点绕点C顺时针旋顺时针旋转转时，连接时，连接BE，DA；结论；结论BE=
12、AD还成立吗？若成立请加以证明。还成立吗？若成立请加以证明。EDCABEDCAB引申：引申：.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条在一条直线上，直线上，AC与与BE相交于相交于M，CE与与AD相交于相交于N，试判定，试判定的形的形状状 EDCABMN解：解：是等边三角形是等边三角形证明：证明：（）先证（）先证ACE（）证明（）证明BCE ACDBECADC（）在证（）在证MCE NCDCM=CN8.如图，在等边如图，在等边ABC中，中，D，E，F分别为分别为AB，BC，CA上上的点，（不是中点）且的点，（不是中点）且ADBECF，图中全等三角形有
13、那，图中全等三角形有那些？些？解：解：AFEDCBGIH BEH CFIBH BCI CAGBE BCF CADHF BID CGEBF BCD CAE8引申如图，在等边引申如图，在等边ABC中，中，D，E，F分别为分别为AB，BC，CA上的点，（不是中点）且上的点，（不是中点）且DEF也是等边三角形，也是等边三角形，图中（）除已知相等的边外，还有那些相等的线段？（）你所证明的相等的线段，可以通过怎样的变化图中（）除已知相等的边外，还有那些相等的线段？（）你所证明的相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程相互得到？写出变化过程解：（）解：（）AE=BF=CDAF=BD=CE（2）这些相等的线段可以看出平移）这些相等的线段可以看出平移 旋转而得到，如旋转而得到，如AE和和BF，把，把AE绕这绕这A点沿顺时针方向选旋转点沿顺时针方向选旋转，再沿着，再沿着AB方向平移使点方向平移使点A至点至点F即可得到即可得到BF，其余类同，其余类同AFEDCB
