1、八年级八年级 上册上册第十三章第十三章 轴对称小结与复习轴对称小结与复习归纳与整理归纳与整理生生活活中中的的轴轴对对称称轴对称轴对称性质性质等腰三角形等腰三角形轴对称图形轴对称图形两个图形关于某条直线对称两个图形关于某条直线对称性质性质判定判定等边三角形等边三角形用坐标表示轴对称用坐标表示轴对称专题一：轴对称专题一：轴对称一、知识要点：一、知识要点：1、轴对称：、轴对称：（1）轴对称图形：）轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够能够互相重合互相重合，这个图形就叫做，这个图形就叫做轴对称图形轴对称图形，这条直，这条直线就是它的
2、线就是它的对称轴对称轴。（2）轴对称：）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形个图形重合重合，那么就说这两个图形，那么就说这两个图形关于这条直线（成关于这条直线（成轴）对称轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。对应点，叫做对称点。(3)(3)轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形轴对称图形轴对称轴对称 区别区别联系联系图形图形 (1)(1)轴对称图形是指轴对称图形是指()()具有特殊形状的图形具有特殊形状的图形,只对只对()()
3、图形而言图形而言;(2)(2)对称轴对称轴()()只有一条只有一条(1)(1)轴对称是指轴对称是指()()图形图形 的位置关系的位置关系,必须涉及必须涉及 ()()图形图形;(2)(2)只有只有()()对称轴对称轴.如果把轴对称图形沿对称轴如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分分成两部分,那么这两个图形那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称就关于这条直线成轴对称.如果把两个成轴对称的图形如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体拼在一起看成一个整体,那那么它就是一个轴对称图形么它就是一个轴对称图形.B C A C B A A B C一个一个一个一个不一定不一定两个两个两个两个一条一条知识回顾
4、：（4）图形轴对称的性质：）图形轴对称的性质：如果两个图形关干某条直线对称那么对称轴是任何如果两个图形关干某条直线对称那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。一对对应点所连线段的垂直平分线。（5）轴对称图形的性质：）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对应点所连线段的垂轴对称图形的对称轴，是任何一对应点所连线段的垂直平分线。直平分线。（6）图形对称轴的做法）图形对称轴的做法要作两个图形的对称轴，只要找到这两个图形的一要作两个图形的对称轴，只要找到这两个图形的一对对应点，然后连接它们，得到一条直线，在作出对对应点，然后连接它们，得到一条直线，在作出这条线段的垂直平分线，这条垂直
5、平分线就是这两这条线段的垂直平分线，这条垂直平分线就是这两个图形的对称轴。个图形的对称轴。2、线段的垂直平分线：、线段的垂直平分线：（1）经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫）经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的惫直平分线。做这条线段的惫直平分线。（2）线段的垂直平分线的性质：）线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的等；与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。垂直平分线上。正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯形和圆都是正方形、长方形、等腰
6、三角形、等腰梯形和圆都是轴对称图形。有的轴对称图形有不止一条对称轴。轴对称图形。有的轴对称图形有不止一条对称轴。二、题目的特点：二、题目的特点：1、判断轴对称图形或对称轴的条数；、判断轴对称图形或对称轴的条数；2、根据轴对称图形的性质作对称轴；、根据轴对称图形的性质作对称轴；3、用线段垂直平分线的性质解决计算题或进行证明、用线段垂直平分线的性质解决计算题或进行证明说理。说理。三、解题切入点：三、解题切入点：熟练掌握轴对称图形概念、性质以及线段垂直平分线熟练掌握轴对称图形概念、性质以及线段垂直平分线的性质是解决有关问题的关键。的性质是解决有关问题的关键。(3)逆定理：与一条线段两个端点距离相等的
7、点，都在线段的垂直平分线上。（完备性）(4)线段垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等与线段两个端点距离相等的所的所有点的集合。有点的集合。mABCFDE例例1、下列图形是轴对称图形吗？如果是，找出它们、下列图形是轴对称图形吗？如果是，找出它们的对称轴。的对称轴。（1）（2）（3）（4）（5）（6）除了（除了（3）不是外，其余都是。）不是外，其余都是。例例2：画出下列轴对称图形的对称轴。：画出下列轴对称图形的对称轴。（1）（2）（3）（4）例例3、小明照镜子的时候，发现、小明照镜子的时候，发现T恤上英文单词在镜子恤上英文单词在镜子中呈现
8、中呈现“”样子，请你判断这个英文单词样子，请你判断这个英文单词是是 。APPLE注意观察，照镜子看到的字母是左注意观察，照镜子看到的字母是左右颠倒。右颠倒。例例3 3、ABCABC与与DEFDEF关于直线关于直线L L成成轴对称，则轴对称，则C C是多少度？是多少度？65 40 FEDCBAL650750例例4、如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区、如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建什么地方？提供牛奶，奶站应建什么地方？（1）使从）使从A、B到它的距离相等。到它的距离相等。（2）使从）使从A、B到它的距离之和最短。到它的距离之和最短。AB街道街道解：如图解：如图1
9、所示，点所示，点P即为所求。即为所求。如图如图2所示，点所示，点M即为所求。即为所求。例例5、ABC中，中，BAC=120，若，若DE、FG分别垂分别垂直平分直平分AB、AC，AEF的周长为的周长为10 cm，求，求EAF的度数及的度数及BC长。长。ABCEFDG例例6、如图，、如图，ABC中，中，AB=AC，A=50，AB的的垂直平分线交垂直平分线交AC于于D，求，求FBC的度数。的度数。ABCDF专题二专题二 画轴对称图形画轴对称图形(用坐标表示轴对称用坐标表示轴对称)1、以坐标轴为对称轴作轴对称图形：、以坐标轴为对称轴作轴对称图形：（2）作一个图形关于坐标轴对称的图形，一般先作）作一个图
10、形关于坐标轴对称的图形，一般先作图形上关键点关于坐标轴的对称点，然后连接对称图形上关键点关于坐标轴的对称点，然后连接对称点即可。点即可。二、题型特点：二、题型特点：一、知识要点：一、知识要点：（1）作一个平面图形关于已知直线的对称图形；）作一个平面图形关于已知直线的对称图形；（2）求已知点关于坐标轴对称的对称点的坐标。）求已知点关于坐标轴对称的对称点的坐标。点（点（x,y）关于关于x轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为_.点（点（x,y）关于关于y轴对称的点轴对称的点的坐标为的坐标为_.(x,y)(x,y)三、解题切入点：三、解题切入点：作一个平面图形的轴对称图形，关键是确定原图作一个平面图形
11、的轴对称图形，关键是确定原图形上的关键点，只要作出这些关键点之间的对称点，形上的关键点，只要作出这些关键点之间的对称点，然后按原图形顺序连接即可；然后按原图形顺序连接即可；求一个点关于坐标轴对称点的坐标，关键是熟练求一个点关于坐标轴对称点的坐标，关键是熟练掌握对称点之间的坐标特征。掌握对称点之间的坐标特征。例例1、已知点、已知点A（x，4）与点）与点B（3，y）关于）关于x轴对轴对称，那么称，那么xy的值为的值为_.7例例1、完成下表、完成下表.已知点(2,-3)(-1,2)(-6,-5)(0,-1.6)(4,0)关于x轴的对称点关于y轴的对称点(-2,-3)(2,3)(-1,-2)(1,2)
12、(6,-5)(-6,5)(0,-1.6)(0,1.6)(-4,0)(4,0)2、已知点、已知点P(2a+b，3a)与点与点P(8，b+2)。若点若点p与点与点p关于关于x轴对称，则轴对称，则a=_ b=_.若点若点p与点与点p关于关于y轴对称，则轴对称，则a=_ b=_.练 习24620(抢答抢答)例2：已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5),B(-4，1),C(-1，3)，作出ABC关于y轴对称的图形。解：点解：点A(-3，5)，B(4，1),C(1，3)，关于，关于y轴对称轴对称点的坐标分别为点的坐标分别为A(3，5),B(4，1)，C(1，3)。依次连接。依次连接AB，BC，CA
13、,就得到就得到ABC关于关于y轴对称的轴对称的ABC。A31425-2-4-1-3O1 2 3 4 5-4-3-2-1cBBAC 归纳归纳:先求出已知图形中的先求出已知图形中的 特殊特殊点点(如多边形的顶点或端点如多边形的顶点或端点)的对应的对应点的坐标点的坐标,描出并连接这些点描出并连接这些点,就可就可 得到这个图形的得到这个图形的轴对称图形轴对称图形.y 解：点解：点A和点和点B关于关于x轴对称；点轴对称；点B和点和点E关于关于y轴对称；点轴对称；点C和点和点E不是关于不是关于x轴对称。轴对称。因为它们到对称轴的距离相等，并且被对称轴垂因为它们到对称轴的距离相等，并且被对称轴垂直平分。直平
14、分。4.利用轴对称变换作图：如图：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管道线最短？ABLP1.有A、B、C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置。ABC利用轴对称变换作图：利用轴对称变换作图：O点点O为所求。为所求。解：解：3、4、5、6、8一个正一个正 n 边形有边形有 n 条对称轴。条对称轴。（1）关于）关于y轴对称。轴对称。（2）将图形）将图形先向左平移先向左平移5个单位长度，再向下平移个单位长度，再向下平移3个个单位长度得到图形单位长度得到图形；（3）将图形）将图形先向右平移先向右平移5个单位长
15、度，再向下平移个单位长度，再向下平移3个个单位长度得到图形单位长度得到图形；（4）图形）图形和图形和图形关于关于x轴对称。轴对称。专题三、等腰三角形专题三、等腰三角形一、知识要点：一、知识要点：1、等腰三角形：、等腰三角形：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；等腰）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；等腰三角形是轴对称图形。三角形是轴对称图形。（2）等腰三角形的等腰三角形的性质性质:等腰三角形的两个底角相等。（等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角等边对等角）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（上的高互相重合。（三线合一三
16、线合一）（3）等腰三角形的判定方法：）等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（的边也相等。（等角对等边等角对等边）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（定义）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（定义）2、等边三角形：、等边三角形：（1）定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形；）定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形；其是轴对称图形，有三条对称轴。其是轴对称图形，有三条对称轴。（2）等边三角形的等边三角形的性质：性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于等于60。2、
17、等边三角形的判定：、等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形。三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。的等腰三角形是等边三角形。有三条边都相等的三角形是等边三角形。有三条边都相等的三角形是等边三角形。3、直角三角形的性质：、直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么那么它所对的直角边等于斜边的一半。它所对的直角边等于斜边的一半。解决和等腰三角形有关的计算题，要把握等腰三角形解决和等腰三角形有关的计算题，要把握等腰三角形的性质，注意分类思想在等腰三角形中的应用，解决的性质，注意分类思想在等腰三
18、角形中的应用，解决证明问题主要依据等腰（或）等边三角形的性质和判证明问题主要依据等腰（或）等边三角形的性质和判定方法，有的问题还需要做恰当的辅助线。定方法，有的问题还需要做恰当的辅助线。三、解题切入点：三、解题切入点：（1）计算题：如求等腰三角形的腰长、周长、角等。）计算题：如求等腰三角形的腰长、周长、角等。（2）说理题：如证明一个三角形是等腰三角形（或等）说理题：如证明一个三角形是等腰三角形（或等边）三角形；边）三角形；（3）实际应用题，如根据实际问题构造等腰三角形解）实际应用题，如根据实际问题构造等腰三角形解决问题。决问题。二、题型特点：二、题型特点：例例1：如图，如图，ABAC，DBDC
19、，P是是AD上一点上一点求证：求证：ABP ACP证明：连结证明：连结BC ABAC，ABC ACB又又 点点A、D在线段在线段BC的垂直平分的垂直平分线上，线上，AD就是线段就是线段BC的垂直平分线的垂直平分线 PBPC PBC PCB ABC PBC ACB PCB即即 ABP ACP2.等腰三角形的一个角为100，底角为_3.等腰三角形的周长为16cm，腰比底长2cm，则腰长为_4.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是_。5.如图ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线，BCE的周长为26cm，求BC的长。AEDBC40、406cm19cm10cm1、有一个
20、等腰三角形的两条边长分别是、有一个等腰三角形的两条边长分别是4cm和和8cm，则周长为是多少？则周长为是多少？证明：证明：BD是等边三是等边三角形角形ABC的中线，的中线，BD平分平分ABCACBABCDBE2121又又 CE=CD DEDBEDBEACBDBE21证明：证明：AC=BCCAB=CBABDC和和ACE分别分别为等边三角形为等边三角形CAE=CBDFAB=FBAFA=FBCF垂直平分垂直平分ABG为为AB的中点。的中点。ACDB解：分别作出点解：分别作出点A关于关于MN的对的对称点称点A；点；点B关关于于L的对称点的对称点B，连接连接AB,与与MN和和L分别相交于分别相交于点点C
21、、D，则路，则路线线ACDB即为所即为所求（如图求（如图).又又 CE=CD，CDE=CED，证明：证明：ABC 是等边三角形，是等边三角形，ABC=ACB=60BDAC，例例3已知已知：如图如图，ABC 是等边三角形是等边三角形，BD 是是AC 边上的高边上的高，延长延长BC 到到E，使使CE=CD，过点过点D 作作DF BE于于F求证求证：（：（1）BD=DE；ABCDEFDBC=ACB=301212 CED=ACB=30 DBC=CED，BD=DE例例3已知已知：如图如图，ABC 是等边三角形是等边三角形，BD 是是AC 边上的高边上的高，延长延长BC 到到E，使使CE=CD，过点过点D 作作DFBE于于F求证求证：（：（1）BD=DE；ABCDEF证明：证明：典型例题典型例题猜想：猜想：BF=3FC证明：证明：在在RtCDF 中，中，ACB=60，CDF=30CD=2CF例例3已知已知：如图如图，ABC 是等边三角形是等边三角形，BD 是是AC 边上的高边上的高，延长延长BC 到到E，使使CE=CD，过点过点D 作作DFBE于于F求证求证：（：（3）请猜想请猜想FC 与与BF 间的数量关系间的数量关系，并说明理由并说明理由F
