1、返回目录返回目录 1.1.双曲线的定义双曲线的定义 平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等的距离的差的绝对值等于常数（小于于常数（小于|F1F2|且不等于零）的点的轨迹叫做双曲且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线线.这这 叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的做双曲线的 .两个定点两个定点 焦距焦距 2.2.双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程和几何性质返回目录返回目录 2222xy-=1(a0,b0)ab2222yx-=1(a0,b0)ab返回目录返回目录 bxaaxbcax轴，轴，y轴轴 x轴，轴，y轴轴 原点原点 原点原点 (
2、-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a )(1,+)22a+b2a 2b 实半轴实半轴 22a+b返回目录返回目录 例例1 已知动圆已知动圆M与圆与圆C1：（：（x+4）2+y2=2外切，与圆外切，与圆C2：（x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心内切，求动圆圆心M的轨迹方程的轨迹方程.利用两圆内、外切的充要条件找出利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的点满足的几何条件，结合双曲线定义求解几何条件，结合双曲线定义求解.返回目录返回目录 如图，设动圆如图，设动圆M的半径为的半径为r，则由已知，则由已知|MC1|=r+，|MC2|=r-，|MC1|-|MC2|=2 .又又C1（-4，0），），C
3、2（4，0），），|C1C2|=8，2|C1C2|.根据双曲线定义知，点根据双曲线定义知，点M的轨迹是以的轨迹是以C1（-4，0）,C2（4，0）为焦点的双曲线的右支）为焦点的双曲线的右支.a=，c=4，b2=c2-a2=14.点点M的轨迹方程是的轨迹方程是 （x ）.22222222xy-=1214返回目录返回目录 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几 何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量与质量.在运用双曲线
4、的定义时，应特别注意定义中的在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件条件“差的绝对值差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线还，弄清所求轨迹是整条双曲线还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性的纯粹性和完备性.在在ABC中，中，A为动点，为动点，B,C为定点，为定点，B(-，0)，C(，0)且满足条件且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点则动点A的轨的轨迹方程是（迹方程是（）A.（y0）B.(x0)C.(y0)的左支的左支D.（y0）的右支）的右支a2a212222216x16y-=1a15a222216y16x-
5、=1a3a222216x16y-=1a15a222216x16y-=1a3a返回目录返回目录 返回目录返回目录 D（sinC-sinB=sinA,由正弦定理得由正弦定理得|AB|-|AC|=|BC|=a（定值）（定值）.A点的轨迹是以点的轨迹是以B，C为焦点的双曲线右支，其为焦点的双曲线右支，其中实半轴长为中实半轴长为 ，焦距为，焦距为|BC|=a.虚半轴长为虚半轴长为 ，由双曲线标准方，由双曲线标准方程得程得 (y0)的右支的右支.故应选故应选D.）121212a422aa3()-()=a244222216x16y-=1a3a返回目录返回目录 例例2 已知双曲线的渐近线方程为已知双曲线的渐近
6、线方程为y=x，并且焦点，并且焦点都在圆都在圆x2+y2=100上，求双曲线方程上，求双曲线方程.从圆的对称性及双曲线的焦点都在圆上知从圆的对称性及双曲线的焦点都在圆上知焦点可能在焦点可能在x轴上，也可能在轴上，也可能在y轴上，故应分两种情况轴上，故应分两种情况讨论求解讨论求解.43（1）当焦点在）当焦点在x轴上时，设双曲线方程为轴上时，设双曲线方程为 .因渐近线方程为因渐近线方程为y=x，则，则 又由焦点在圆又由焦点在圆x2+y2=100上知上知c=10，即有，即有 a2+b2=100 由式解得由式解得a=6,b=8.双曲线方程为双曲线方程为 .返回目录返回目录 2222xy-=1ab43b
7、4=a322xy-=136 64返回目录返回目录（2）当焦点在）当焦点在y轴上时，设双曲线方程轴上时，设双曲线方程 ,由由 a2+b2=100 ,解得解得a=8,b=6.另一条双曲线方程为另一条双曲线方程为 .2222xy-=1aba4=b3-22yx=164 36题设得题设得 双曲线双曲线 与与 是一是一对共轭双曲线，一般形式是对共轭双曲线，一般形式是 =1.因而本题有另一解法，设双曲线方程为因而本题有另一解法，设双曲线方程为 =,于是于是(3 )2+(4 )2=100,解得解得=4.所以所求双曲线方程为所以所求双曲线方程为 =4,即即 =1.一般言之，若双曲线的渐近线方程为一般言之，若双曲
8、线的渐近线方程为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则其共轭双曲线方程形式为则其共轭双曲线方程形式为f1(x,y)f2(x,y)=(0).返回目录返回目录 22xy-=136 642222xy-ab-22yx=164 362222xy-34|22xy-91622xy-36 64返回目录返回目录 根据下列条件求双曲线方程：根据下列条件求双曲线方程：（1）以椭圆）以椭圆 的长轴端点为焦点，过的长轴端点为焦点，过P(4 ,3);（2）与双曲线）与双曲线 有共同渐近线，且过点有共同渐近线，且过点 P(3,4 ).=22xy-12592=22xy-19162 （1）椭圆长轴端点为（椭圆长轴端点为（5
9、,0）,所求双曲线的两焦点在所求双曲线的两焦点在x轴上，且轴上，且c=5，又设，又设双曲线的方程为双曲线的方程为 (a0,b0),P(4 ,3)在双曲线上，在双曲线上，,又又a2+b2=c2=25,联立解之得联立解之得a2=16,b2=9.故所求双曲线方程为故所求双曲线方程为 .返回目录返回目录 2222xy-=1ab-22=1169xy222329-=1ab （2）与双曲线）与双曲线 有共同渐近线的双曲有共同渐近线的双曲线方程可表示为线方程可表示为 =m(m0),由题意由题意m=-1,故所求双曲线方程为故所求双曲线方程为 =1.返回目录返回目录-22=1916xy-22916xy223(4
10、2)-916-22169yx返回目录返回目录 例例3 双曲线双曲线 (a1,b0)的焦距为的焦距为2c,直线直线l过过点点(a,0)和和(0,b),且点且点(1,0)到直线到直线l的距离与点的距离与点(-1,0)到直到直线线l的距离之和的距离之和s c.求双曲线的离心率求双曲线的离心率e的取值范围的取值范围.直接用已知的直接用已知的“距离之和距离之和s c”这个条这个条件列出只含有件列出只含有a和和c的不等式的不等式,再通过构造法再通过构造法,将此不等式将此不等式变形为一个只有变形为一个只有e=的不等式的不等式,再解不等式即可得解再解不等式即可得解.2222xy-=1ab4545ca返回目录返
11、回目录 直线直线l的方程为的方程为 ,即即bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式由点到直线的距离公式,且且a1,得到点得到点(1,0)到直线到直线l的距离的距离d1=.同理得到点同理得到点(-1,0)到直线到直线l的距离的距离d2=.s=d1+d2=.由由s c,得得 c,即即5a 2c2.于是得于是得5 2e2.即即4e4-25e2+250,解不等式解不等式,得得 e25.由于由于e1,所以所以e的取值范围是的取值范围是 e .+xy=1ab22 b(a-1)a+b22 b(a+1)a+b222ab2ab=ca+b452abc4522c-a2e-154525返回目录返回目录 e2=这一关
12、系在双曲线这一关系在双曲线的有关运算中常常用到，同时要注意三种曲线关于的有关运算中常常用到，同时要注意三种曲线关于e的的范围的区别范围的区别.+=22222 caaab返回目录返回目录 双曲线双曲线C：（a0,b0）的右顶点）的右顶点A，x轴上轴上有一点有一点Q（2a，0），若），若C上存在一点上存在一点P，使，使AP，PQ=0，求此双曲线离心率的取值范围求此双曲线离心率的取值范围.P点坐标为点坐标为(x,y),则由则由APPQ=0，得，得APPQ，则则P点在以点在以AQ为直径的圆上，为直径的圆上，即即 .又又P点在双曲线上，得点在双曲线上，得 .由消去由消去y，得，得2222xy-=1ab2
13、223a(x-a)+y=()222222xy-=1ab（a2+b2）x2-3a2x+2a4-a2b2=0.即即(a2+b2)x-(2a3-ab2)(x-a)=0.当当x=a时，时，P与与A重合，不符合题意，舍去重合，不符合题意，舍去.当当x=时时,满足题意的满足题意的P点存在点存在,需需x=a,化简得化简得a22b2,即即3a22c2,.离心率离心率e=(1,).返回目录返回目录 32222a-aba+b32222a-aba+b0,b0)，B是右顶点，是右顶点，F是是右焦点，点右焦点，点A在在x轴正半轴上，且满足轴正半轴上，且满足|OA|，|OB|，|OF|成等比数列，过成等比数列，过F作双曲
14、线作双曲线C在第一、三象限的渐在第一、三象限的渐近线的垂线近线的垂线l，垂足为，垂足为P.（1）求证：）求证：PAOP=PAFP;（2）若）若l与双曲线与双曲线C的左、右两支分别相交于点的左、右两支分别相交于点D,E，求双曲线求双曲线C的离心率的离心率e的取值范围的取值范围.2222xy-=1ab返回目录返回目录（1）：证法一：由题意知直线：证法一：由题意知直线l的方程为的方程为y=-ab(x-c).y=(x-c)y=x|OA|，|OB|，|OF|成等比数列，成等比数列，xAc=a2,xA=,A(,0).PA=(0,-),OP=(,),FP=(-,).PAOP=-,PAFP=-.PAOP=PA
15、FP.返回目录返回目录 a-bab由由解得解得P（,）.2acabc2ac2acabc2acabc2bcabc222a bc222a bc：P（，）,PAx轴，轴，PAOP-PAFP=PAOF=0.PAOP=PAFP.y=-(x-c)即即(b4-a4)x2+2a4cx-(a4c2+a2b4)=0.l与双曲线左、右两支分别相交于点与双曲线左、右两支分别相交于点D,E，设，设D(x1,y1),E(x2,y2),x1x2=a4,即即b2a2,c2-a2a2.e22，即，即e .返回目录返回目录 2acabcab2222xy-=1ab（2）由）由得得b2x2-(x-c)2=a2b2.42ab4 22444a c+a ba-b2返回目录返回目录 2222xy-=1abba2222yx-=1abb ba a2222xy-=0ab2222xy-=1ab返回目录返回目录
