1、第二十四章第二十四章 圆圆九年级数学九年级数学上上 新课标新课标 人人考查角度1直线和圆的位置关系与平面直角坐标系直线和圆的位置关系与平面直角坐标系 的综合应用的综合应用直线和圆的位置关系与一次函数的综合应用直线和圆的位置关系与一次函数的综合应用 在平面直角坐标系xOy中，以点(-3，4)为圆心，4为半径的圆 ()A.与x轴相交，与y轴相切 B.与x轴相离，与y轴相交C.与x轴相切，与y轴相交 D.与x轴相切，与y轴相离解析解析(-3，4)到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，这个圆与x轴相切，与y轴相交.【解题归纳】直线和圆的位置关系由圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系确定.当dr时，直
2、线与圆相交;当d=r时，直线与圆相切;当dr时，直线与圆相离.但要注意区分点到坐标轴的距离与点的坐标之间的关系.C1.如图所示，直线y=x+与x轴、y轴分别相交于A，B两点，圆心P的坐标为(1，0)，圆P与y轴相切于点O.若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是()A.2B.3C.4D.5333提示:易得A(-3，0)，B(0，)，则AB=2 ，BAO=30.当圆P与直线相切时，易得AP=2，则P(-1，0)或(-5，0)，则当P与直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标为(-2，0)或(-3，0)或(-4，0)，共3个.33B 考查角度2直线和圆的位置关系与一次函
3、数的 综合应用例2如图24-88所示，O的半径为1，圆心在坐标原点，点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，b)(b0).(1)当b为何值时，直线AB与O相离?相切?相交?(2)当AB与O相切时，求直线AB的解析式.解析(1)首先求得相切时的b值，即设AB与O相切于C，连接OC，则OCAB.利用勾股定理求得b的值，再进一步分情况讨论.(2)根据(1)中求得的相切时点B的坐标，运用待定系数法求解.解:(1)设AB与O相切于C，连接OC，如图24-89所示，则OCAB.在RtAOC中，OC=1，OA=2，OAC=30.12BOC=30，BC=OB.2 33利用勾股定理可得OB=.当b 时，直线
4、AB与O相离.当b=时，直线AB与O相切.当0b 时，直线AB与O相交.2 332 332 33(2)由(1)知当直线AB与O相切时，点B的坐标为（0，）.2 332 332 332 333333设直线AB的解析式为y=kx+，将(-2，0)代入，得0=-2k+，解得k=.直线AB的解析式为y=x+.【解题归纳】由直线与圆的位置关系求半径或其他线段的取值范围，一般先求出直线与圆相切时所求线段的取值范围，然后再进行讨论.2.(抚州中考)如图所示，在平面直角坐标系中，P经过x轴上一点C，与y轴分别相交于A，B两点，连接AP并延长分别交P、x轴于点D、点E，连接DC并延长交y轴于点F，若点F的坐标为
5、(0，1)，点D的坐标为(6，-1).(1)求证DC=FC;(2)判断P与x轴的位置关系，并说明理由;(3)求直线AD的解析式.证明:(1)如图76所示，过点D作DHx轴于H，则CHD=COF=90.点F的坐标为(0，1)，点D的坐标为(6，-1)，DH=OF=1.又FCO=DCH，FOC DHC，DC=FC.解:(2)P与x轴相切.理由如下:如图76所示，连接CP，AP=PD，DC=CF，CPAF.PCE=AOC=90，PCx轴，P与x轴相切.解:(3)由(2)得CP是DFA的中位线，AF=2CP，AD=2CP，AD=AF.连接BD，如图76所示，AD是P的直径，ABD=90，BD=OH=6
6、，OB=DH=FO=1.设AD的长为x，则在RtABD中，由勾股定理得x2=62+(x-2)2，解得x=10.点A的坐标为(0，-9).9,61,bkb 4,39,kb 43设直线AD的解析式为y=kx+b，则 解得 直线AD的解析式为y=x-9.切线的判定和性质的综合应用切线的判定和性质的综合应用例33 如图24-90所示，已知AB是O的直径，BC是O的切线，OC与O相交于点D，连接AD并延长，与BC相交于点E.(1)若BC=，CD=1，求O的半径;(2)取BE的中点F，连接DF，求证DF是O的切线.解:(1)设O的半径为r，AB是O的直径，BC是O的切线，ABBC，在RtOBC中，OC2=
7、OB2+CB2，(r+1)2=r2+()2，解得r=1，O的半径为1.3证明:(2)连接OF，如图24-90所示.OA=OB，BF=EF，OF是BAE的中位线，OFAE，A=2，又BOD=2A，1=2，在OBF和ODF中，OBF ODF，ODF=OBF=90，即ODDF，又OD是O的半径，FD是O的切线.3.(德州中考)如图所示，已知O的半径为1，DE是O的直径，过D作O的切线，C是AD的中点，AE交O于B点，四边形BCOE是平行四边形.(1)求AD的长.(2)BC是O的切线吗?若是，给出证；若不是，说明理由.解解:(1)如图77所示，连接BD，则DBE=90.四边形BCOE是平行四边形，BC
8、OE，BC=OE=1.在RtABD中，C为AD的中点，BC=AD=1.AD=2.12(2)BC是O的切线，证明如下:如图77所示，连接OB，由(1)得BCOD，且BC=OD，四边形BCDO是平行四边形.又AD是O的切线，ODAD.四边形BCDO是矩形.OBBC.BC是O的切线.圆的切线与四边形的综合应用圆的切线与四边形的综合应用例4 如图24-91所示，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CDAB交半圆O于点D，将ACD沿AD折叠得到AED，AE交半圆于点F，连接DF.(1)求证DE是半圆的切线;(2)当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论.解析(1)连接OD，
9、证明ODE=90即可.(2)证明OD AF，得四边形ODFA是平行四边形，又OA=OD，可证四边形ODFA是菱形.证明:(1)如图24-91所示，连接OD，则OA=OD，OAD=ODA，AED由ACD折叠得到，CDA=EDA.又CDABODA+EDA=CAD+CDA=90，D点在半圆O上，DE是半圆的切线.如图24-91所示，连接OF，在RtODC中，OC=BC=OB=OD，OCD=90，ODC=30，DOC=60.1212DOC=OAD+ODA，OAD=ODA=FAD=30.ODAF，FAO=60.又OF=OA，FAO是等边三角形，OA=AF，OD=AF，四边形ODFA是平行四边形.又OA=
10、OD，四边形ODFA是菱形.【解题归纳】证明直线是圆的切线的常用方法是连半径证垂直或作垂直证半径.解:(2)四边形ODFA是菱形.证明如下：4.(崇左中考)如图所示，在ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C，且与OA交于点E，与OB交于点F，连接CE，CF.(1)求证AB与O相切；(2)若AOB=ECF，试判断四边形OECF的形状，并说明理由.证明:(1)如右图所示，连接OC，在ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，OCAB，OC为半径，AB与O相切.解:(2)四边形OECF是菱形，理由如下:如下图所示，取圆周角M，则M+ECF=180，由圆周角定理得EOF=2M，EC
11、F=EOF，ECF=2M，3M=180，M=60，EOF=ECF=120，OA=OB，A=B=30，EOC=90-30=60，OE=OC，OEC是等边三角形，EC=OE，同理OF=FC，又OE=OF，OE=EC=FC=OF，四边形OECF是菱形.直线和圆的位置关系在实际生活中的应用直线和圆的位置关系在实际生活中的应用例5 去年某企业将地处A，B两地的两个小工厂合成一个大厂，为了方便两地职工，企业准备在相距2 km的A，B两地之间修一条笔直的公路(即图24-92中的线段AB)，经测量，在A地的北偏东60方向，B地的西偏北45方向的C处有一半径为0.7 km的公园，则修筑的这条公路会不会穿过公园?
12、为什么?解析本题实际上是讨论直线AB与半径为0.7 km的C的位置关系，只有直线AB与C相离时这条公路才不会穿过公园，于是计算点C到AB的距离，再与0.7 km比较即可.解:如图24-92所示，过点C作CDAB，垂足为D.B=45，BCD=45，CD=BD.设CD=x，则BD=x，由A=30知AC=2x，22(2)3.32,31,ADxxxxxx即CD=-10.7320.7.以C为圆心，以0.7 km为半径的圆与AB相离.计划修筑的这条公路不会穿过公园.3【解题归纳】这是一道实际应用题，解题的关键是计算圆心到直线的距离，从而得到直线和圆的位置关系，进而作出准确的判断.5.如图所示，东海中某小岛
13、上有一灯塔A，灯塔附近方圆25海里范围内有暗礁.一艘渔船在O处测得灯塔在其北偏西60方向，距离灯塔60海里.若渔船一直向正西方向航行，是否有触礁的危险?解:如图79所示，过A作ADOB于D，则ADO=90，AOD=90-60=30，OA=60海里，AD=OA=30海里，3025，渔船一直向正西方向航行，没有触礁的危险.12 (探究题)如图24-93所示，在ABC中，AC=BC，CAB=(定值)，O的圆心O在AB上，并分别与AC，BC相切于点P，Q.(1)求POQ的大小；(2)设D是CA延长线上的一个动点，DE与O相切于点M，E在CB的延长线上，试判断DOE的大小是否随着D点位置的变化而变化，并
14、说明理由.与圆的切线有关的动点问题与圆的切线有关的动点问题例6解析(1)由POQ+AOP+BOQ=180和AOP=BOQ=90-，可求出POQ.(2)由于O为CDE的内切圆，因此DO，EO分别平分CDE和CED，因此DOE+(CDE+CED)=180，而易知CDE+CED=180-C=180-(180-2)，故DOE=180-，从而可知DOE的大小不随D点位置的变化而变化.12解:(1)AC=BC，OAP=OBQ=.O分别与AC，BC相切于P，Q，OPA=OQB=90，AOP=BOQ=90-，POQ=180-2(90-)=2.(2)DOE的大小不随着D点位置的变化而变化.理由如下:由题意知O内
15、切于CDE，DO，EO分别平分CDE，CED，121212ODE=CDE，OED=CED，ODE+OED=(CDE+CED).又CDE+CED=180-C，ODE+OED=180-DOE，180-DOE=(180-C)，DOE=90+C.1212C=180-CAB-CBA=180-2，DOE=180-.为定值，DOE的大小不随着D点位置的变化而变化.【解题归纳】探究DOE的大小是否保持不变，应充分观察、分析图形的特征.将O看做是CDE的内切圆是解决问题的关键.6.如图所示，已知直线y=-x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为x轴上可以移动的点，且点P在点A的左侧，PMx轴，交直线y=-x
16、+6于点M.有一个动圆O，它与x轴、直线PM和直线y=-x+6都相切，且在x轴的上方.当O与y轴也相切时，求点P的坐标.解:分情况讨论.(1)若PM与y轴在O的同侧，则PM与y轴重合，所以P(0，0).(2)若PM与y轴不在O同侧，设P(a，0)，则M(a，6-a).过点M作MNy轴于N，则BM=MN=a.四边形BOPM是O的外切四边形，由切线长定理，得BM+OP=OB+PM，即BM=OB+PM-OP=6+6-a-a=12-2a.12-2a=a，解得a=12-6 ，P(12-6 ，0).如图80所示，当O在y轴右侧时，由直线y=-x+6，得A(6，0)，B(0，6)，则OA=OB，RtAOB为等腰直角三角形.22222如图81所示，当动圆O运动到y轴的左侧时，a0，作BGPM于G，则BM=BG=-a.22由切线长定理，得BM+OP=MP+OB，BM=MP+OB-OP=6-a+6-(-a)=12.12=-a，a=-6 ，P(-6 ，0).综上可知，符合要求的点P的坐标为(0，0)或(12-6 ，0)或(-6 ，0).22222
