1、3.2.1 单调性与最大（小）值（第2课时）第三章函数的概念与性质重点：会借助单调性求最值.难点：掌握求二次函数在闭区间上的最值1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值学习目标知识梳理一、函数的最大值、最小值定义域中至少有一个实数满足等式,也就是说y=f(x)的图象与直线y=M至少有一个交点!对定义域内的每一个值都必须满足不等式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)M(f(x)M)成立,也就是说,y=f(x)的图象不能位于直线y=M的上(下)方【做一做1】设函数f(x)=2x-1(0 x0时,【做一做2】函数y=-x2+2x的最
2、大值是.答案:1总结归纳函数的最值与单调性的关系1.函数的单调性是其定义域的子集上的性质,是“局部”性质,而函数的最值是整个定义域上的性质,是“整体”性质.2.若函数f(x)在区间a,b上是增(减)函数,则f(x)在区间a,b上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).3.若函数f(x)在区间a,b上是增(减)函数,在区间b,c上是减(增)函数,则f(x)在区间a,c上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.常考题型一、函数最值的求解1.利用函数图象求函数的最值（1）在如图给定的直角坐标系内画出f（x）的图象；（2）写出f（x）的单调区间及值域.【
3、解】（1）图象如图所示.（2）由（1）中图象可知，f（x）的单调递增区间为-1，0，2，5，f（x）的单调递减区间为0，2，值域为-1，3.图象法求最值利用图象求最值的关键是根据函数解析式准确作出函数的图象，观察图象，图象的最低点对应的纵坐标为函数的最小值；图象的最高点对应的纵坐标为函数的最大值.C2.已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值,并写出值域.图象如图所示,由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值,所以其值域为(-,2.2.利用单调性求函数的最值(1)判断f(x)在区间1,2和2,3上的单调性;(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值.分析
4、:(1)证明单调性的流程为:取值作差变形判断符号结论;(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.解:(1)设x1,x2是区间1,3上的任意两个实数,且x1x2,即f(x)在区间1,2上是减函数.当2x1x23时,4x1x29,f(x1)f(x2),即f(x)在区间2,3上是增函数.f(x)的最大值为5.单调性法求函数的最值1.若函数yf（x）在区间a，b上是增函数，则函数yf（x）在a，b上的最小值yminf（a），最大值ymaxf（b）.2.若函数yf（x）在区间a，b上是减函数，则函数yf（x）在a，b上的最小值yminf（b），最大值ymaxf（a）.3.若函数yf（x）在区间a，b上是增
5、函数，在区间b，c上是减函数，则函数yf（x），xa，c在xb处有最大值f（b），最小值为f（a）与f（c）中的较小者.4.若函数yf（x）在区间a，b上是减函数，在区间b，c上是增函数，则函数yf（x），xa，c在xb处有最小值f（b），最大值为f（a）与f（c）中的较大者.解:任取2x1x25,2x1x25,x1-x20,x1-10.f(x2)-f(x1)0.f(x2)f(x1).C22含根号函数的值域或最值的求解方法若只有一处含有根号，可考虑运用换元法求函数的值域或最值；若是多处含有根号，可考虑函数本身的特点，通过平方、配凑等方法处理函数，使其更容易计算出值域或最值.3.二次函数的最值问
6、题例3 已知函数f(x)=x2-2ax+2,x-1,1,求函数f(x)的最小值.分析:抛物线开口方向确定,对称轴不确定,需根据对称轴的不同情况分类讨论.可画出二次函数相关部分的简图,用数形结合法解决问题.解:f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图象开口向上,且对称轴为直线x=a.当a1时,函数图象如图(1)所示,函数f(x)在区间-1,1上是减函数,最小值为f(1)=3-2a;当-1a1时,函数图象如图(2)所示,函数f(x)在区间-1,1上先减后增,最小值为f(a)=2-a2;当a-1时,函数图象如图(3)所示,函数f(x)在区间-1,1上是增函数,最小值为f(-1)=3+2
7、a.【解题归纳解题归纳】求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,再根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.训练题 求上例中函数f(x)的最大值.当a1时,函数图象如图(1)所示,函数f(x)在区间-1,1上是减函数,最大值为f(-1)=3+2a;当0a1时,函数图象如图(2)所示,可知函数f(x)在区间-1,1上的最大值为f(-1)=3+2a;解:
8、f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图象开口向上,且对称轴为直线x=a.当-1a0时,函数图象如图(3)所示,可知函数f(x)在区间-1,1上的最大值为f(1)=3-2a;当a-1时,函数图象如图(4)所示,可知函数f(x)在区间-1,1上是增函数,最大值为f(1)=3-2a.二、函数最值的应用1.已知函数最值求参数例4 2020重庆高一月考已知函数f（x）x2-2x+2在闭区间0，m上有最大值2，最小值1，则m的取值范围为.【解题提示】运用数形结合法求解，作出函数f（x）的图象，结合图象分析实数m的取值范围.【解析】作出函数f（x）的图象，如图所示，当x1时，y取得最小值，最
9、小值是1；当x2时，y2；当x0时，y2.因为函数f（x）x2-2x+2在闭区间0，m上有最大值2，最小值1，所以实数m的取值范围是1，2.【答案】1，215 2.恒成立问题例5 2019辽宁大连八中高一月考已知函数f（x）x2-x+a+1.（1）若f（x）0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）求f（x）在区间（-，a上的最小值g（a）的表达式.综上可知，g（a）211,231,.42aaaa恒成立问题的求解方法1.此类问题一般将其转化为求函数的最大值或最小值问题，再参照求函数最值的方法进行求解.2.常见情况：f（x）a恒成立f（x）maxa恒成立f（x）mina.3.在可能的情况下
10、把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的代数式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.4.要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.实际应用问题的一般步骤1.读：阅读理解文字表达的意思，分清条件和结论，理顺数量关系，这是基础.2.建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型，熟悉基本数学模型，正确进行建模是解题的关键.3.解：求解数学模型，得到数学结论，不仅要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程.4.答：将数学结论还原为实际问题的结果.A小结两个两个知识点知识点：1.函数的最大值、最小值；2.最值；三种三种题型题型：1.图象法求最值；2.利用函数的单调性求最值；3.二次函数的最值问题.
