1、第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定 课时3 用两角相等判定三角形相似目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸1.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.2.掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计 算算.(重点、难点重点、难点)3.掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行 相关计算相关计算.（重点、难点）（重点、难点）学习目标新课导入情景导入学校举办活
2、动，需要三个内角分别为90，60，30的形状相同、大小不同的三角纸板若干.小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？证明：设_=k，则AB=kAB，AC=kAC.A=_，问题一 度量 AB，BC，AC，AB，BC，AC 的长，并计算出它们的比值.A=_，=75，A=50，当C=时，ABC ABC.=75，A=50，当C=时，ABC ABC.要证明两个三角形相似，即是需要证明：ABC 的高AD、BE交于点F，由此得到一个判定直角三角形相似的方法：例3 如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10，AC=8.(1)A=35，B=55：；AB:AC，即 :2=AB:，解得 AB=3；但两条直
3、角边的对应关系并没有确定，利用两角判定三角形相似如图，在 ABC 和 ABC 中，若A=50，B同理 C=_，Rt ABC Rt ABC.DE=3:5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 ()新课讲解 知识点1 两角分别相等的两个三角形相似合作探究问题一 度量 AB，BC，AC，AB，BC，AC 的长，并计算出它们的比值.你有什么发现？CABABC 与同伴合作，一人画 ABC，另一人画 ABC，使A=A=40，B=B=55，探究下列问题：这两个三角形是这两个三角形是相似的相似的新课讲解证明：在证明：在 ABC 的边的边 AB（或（或 AB的延长线）上，的延长线）上，截取截取 AD=AB，过点，
4、过点 D 作作 DE/BC，交，交 AC 于点于点 E，则有则有ADE ABC，ADE=B.B=B，ADE=B.又又 AD=AB，A=A，ADE ABC，ABCABC.CAABBCDE问题二 试证明ABCABC.新课讲解结论由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似两角分别相等的两个三角形相似.A=A，B=B，ABC ABC.符号语言：符号语言：CABABC新课讲解例典例分析 如图，在ABC 和 DEF 中，A=40，B=80，E=80，F=60 求证：ABC DEF.ACBFED证明：证明：在在 ABC中，中，A=40
5、 ，B=80 ，C=180 AB=60.在在DEF中，中，E=80，F=60.B=E，C=F.ABC DEF.新课讲解练一练如图，弦 AB 和 CD 相交于 O 内一点 P，求证：PA PB=PC PD.证明:连接AC，DB.A 和 D 都是弧 CB 所对的圆周角，A=_，同理 C=_，PAC PDB，_ 即PA PB=PC PD.DBPAPCPDPBODCBAP新课讲解典例分析如图，在 ABC 和 ABC 中，若A=50，B=75，A=50，当C=时，ABC ABC.CABBCA55新课讲解 知识点2 判定两个直角三角形相似 ADAE.ACAB解解：EDAB，EDA=90 .又C=90，A=
6、A，AED ABC.例3 如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10，AC=8.E 是 AC 上一点，AE=5，EDAB，垂足为D.求AD的长.DABCE 8 54.10AC AEADAB新课讲解结论由此得到一个判定直角三角形相似的方法：由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似有一个锐角相等的两个直角三角形相似.对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等.那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？思考新课讲解如图，在 RtABC 和 RtABC 中，C=90，C=90，.求证：RtABC RtABC.ABACA BA C CAABBC要
7、证明两个三角形要证明两个三角形相似，即是需要相似，即是需要证明什么呢？证明什么呢？目标：目标：BCABACBCA BAC那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？A=_，(3)AB=10，AC=8，AB=25，BC=15：.如图，在 ABC 和 ABC 中，若A=50，B证明：设_=k，则AB=kAB，AC=kAC.例3 如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10，AC=8.C=1802DOC，E=1803AOE，问题一 度量 AB，BC，AC，AB，BC，AC 的长，并计算出它们的比值.BAC=1+DAC，如图，已知：ACB=ADC=90，AD=2，CD=，当 AB 的长为
8、时，ACB 与ADC相似证明：在 ABC 的边 AB（或 AB的延长线）上，观察得到AB和AC分别是斜边，例3 如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10，AC=8.两角分别相等的两个三角形相似如图，已知：ACB=ADC=90，AD=2，CD=，当 AB 的长为 时，ACB 与ADC相似但两条直角边的对应关系并没有确定，证明：ABC 的高AD、BE交于点F，新课讲解证明：证明：设_=k，则AB=kAB，AC=kAC.由 ，得 .Rt ABC Rt ABC.22BCABAC，22.BCABAC .kB CkB C ABACA BA C 勾股定理勾股定理BCABACB CA BA C CBCA
9、kBAkCBACABCBBC222222 CAABBC新课讲解结论由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.新课讲解典例分析如图，已知：ACB=ADC=90，AD=2，CD=，当 AB 的长为 时，ACB 与ADC相似2CABD【分析分析】观察得到观察得到AB和和AC分别是斜边，分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论因此需要分类讨论新课讲解典例分析解析：解析：ADC=90，AD=2，CD=，要使这两个直角三角形相似，有
10、两种情况：要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1)当当 RtABC RtACD 时，有时，有 AC:AD AB:AC，即即 :2=AB:，解得，解得 AB=3；2222226.ACADCD66CABD222新课讲解典例分析(2)当当 RtACB RtCDA 时，有时，有 AC:CD AB:AC，即即 :=AB:，解得，解得 AB=当当 AB 的长为的长为 3 或或 时，这两个直角三角形相似时，这两个直角三角形相似6263 23 2CABD22新课讲解练一练在 RtABC 和 RtABC 中，C=C=90，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.(1)A=35，B=55：；(2)AC=3，
11、BC=4，AC=6，BC=8：；(3)AB=10，AC=8，AB=25，BC=15：.相似相似相似相似相似相似课堂小结 两角分别相等的两角分别相等的两个三角形相似两个三角形相似利用两角判定三角形相似利用两角判定三角形相似直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定CABABC当堂小练1.如图，已知 ABDE，AFC E，则图中相似三角形共有（）A.1对 B.2对 C.3对 D.4对C当堂小练2.如图，ABC中，AE 交 BC 于点 D，C=E，AD:DE=3:5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 ()A.154B.125C.203D.174ACABDE由此得到一个判定直角三角形相似的方法：对于两
12、个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.知识点1 两角分别相等的两个三角形相似BAC=1+DAC，如图，在 ABC 和 ABC 中，若A=50，B如图，点 D 在 AB上，当 (或同理 C=_，(1)A=35，B=55：；但两条直角边的对应关系并没有确定，ABCABC.(1)A=35，B=55：；如图，已知：ACB=ADC=90，AD=2，CD=，当 AB 的长为 时，ACB 与ADC相似AFE=BFD(对顶角相等).C=180 AB=60.AB:AC，即 :2=AB:，解得 AB=3；解析：ADC=90，AD=2，CD=，证明:连接AC，D
13、B.当堂小练ABDC3.如图，点 D 在 AB上，当 (或 =)时，ACDABC；ACD ACB B ADCDE=3:5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 ()AB:AC，即 :2=AB:，解得 AB=3；但两条直角边的对应关系并没有确定，但两条直角边的对应关系并没有确定，有一个锐角相等的两个直角三角形相似.两角分别相等的两个三角形相似那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？证明：在 ABC 的边 AB（或 AB的延长线）上，由此得到一个判定直角三角形相似的方法：Rt ABC Rt ABC.观察得到AB和AC分别是斜边，掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计 算
14、.C=180 AB=60.但两条直角边的对应关系并没有确定，要证明两个三角形相似，即是需要 FEA=FDB=90，如图，点 D 在 AB上，当 (或(1)A=35，B=55：；当堂小练4.如图，在 RtABC 中，ABC=90，BDAC于D.若 AB=6，AD=2，则 BD=，AC=，BC=.18DBCA4 212 2拓展与延伸证明：证明：ABC 的高的高AD、BE交于点交于点F，FEA=FDB=90，AFE=BFD(对顶角相等对顶角相等).FEA FDB，5.如图，ABC 的高 AD，BE 交于点 F 求证：.AFEFBFFD.AFEFBFFDDCABEF拓展与延伸证明：证明：BAC=1+D
15、AC，DAE=3+DAC，1=3，BAC=DAE.C=1802DOC，E=1803AOE，DOC=AOE（对顶角相等），（对顶角相等），C=E.ABCADE.6.如图，1=2=3，求证：ABC ADEABCDE132O如图，弦 AB 和 CD 相交于 O 内一点 P，求证：PA PB=PC PD.如图，已知：ACB=ADC=90，AD=2，CD=，当 AB 的长为 时，ACB 与ADC相似(1)A=35，B=55：；AB:AC，即 :2=AB:，解得 AB=3；证明：在 ABC 的边 AB（或 AB的延长线）上，如图，点 D 在 AB上，当 (或如图，在 RtABC 和 RtABC 中，C=90，探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.ABC DEF.AFE=BFD(对顶角相等).但两条直角边的对应关系并没有确定，A=_，由此得到一个判定直角三角形相似的方法：A=_，但两条直角边的对应关系并没有确定，=75，A=50，当C=时，ABC ABC.证明：设_=k，则AB=kAB，AC=kAC.E=1803AOE，
