1、1.3.2 直线的极坐标方程 本节课在学习极坐标系中求曲线方程的基本步骤和圆的极坐标方程的基础上学习直线的极坐标方程，直线在平面解析几何中是最基础的曲线方程，在极坐标方程的地位也是相当的重要，教学过程中让学生体会直线在极坐标系中的方程的不同和对其限制，以及不同位置的直线的极坐标方程的求法和方程的表示，感受课本的递进研究方法。在极坐标和平面直角坐标的转化过程中可以顺便复习在平面直角坐标系中直线的五种表示形式及运用。1.会在极坐标系中求出任意直线的方程。2.理解直线的极坐标方程的推导过程。3.感受课本在研究时的层层推进的思想。在极坐标系中求曲线方程的基本步骤：1、根据题意画出草图(包括极坐标建系)
2、；2、设P(，)为所求曲线上的任意一点；3、连结OP，寻找OP满足的几何条件；4、依照几何条件列出关于，的方程并化简；5、检验并确定所得方程即为所求。思考思考1：如图，过极点作射线如图，过极点作射线OM，若从极轴到射线，若从极轴到射线OM的的最小正角为最小正角为450，则射线，则射线OM的极坐标方程是什么？过极点的极坐标方程是什么？过极点作射线作射线OM的反向延长线的反向延长线ON，则射线，则射线ON的极坐标方程是的极坐标方程是什么？直线什么？直线MN的极坐标方程是什么？的极坐标方程是什么？4M M4545x xO ON N射线射线OMOM：；4射线射线ONON：；544和和54思考2：若0，
3、则规定点(，)与点(，)关于极点对称，则上述直线MN的极坐标方程是什么？M45xON()4R或或5()4R和前面的直角坐标系里直线方程的表和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？合而成。原因在哪？0 可以考虑允许极径可以取全体实数。可以考虑允许极径可以取全体实数。思考3：设点P的极坐标为A ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。(,0)a ll解：解：如图，设点如图，设点(,)M 为直线为直线 上异于上异于P的点的点.l连接连接OM，oM
4、x p在在 中有中有 MOP,sin()sin()a 即即sin()sina显然显然P点也满足上方程。点也满足上方程。过点A(a，0)(a0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是什么？当当a0时，时，cosa；MxOAxOAM当当a0时，时，cosa.求直线的极坐标方程步骤1 1、根据题意画出草图；、根据题意画出草图；2 2、设点、设点 是直线上任意一点；是直线上任意一点；(,)M 3 3、连接、连接 MOMO；4 4、根据几何条件建立关于、根据几何条件建立关于 的方程，并化简；的方程，并化简；,5 5、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。例1：求过极点，倾角为 的射
5、线的极坐标方程。4 oMx4 分析：分析：如图，所求的射线上任一点的如图，所求的射线上任一点的极角都是极角都是 ，其极径可以取，其极径可以取任意的非负数。任意的非负数。/4 故所求直线的极坐标方程为故所求直线的极坐标方程为(0)4 1、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。的射线的极坐标方程。54 5(0)4 2、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的直线的极坐标方程。的直线的极坐标方程。4 544 或或例2.求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。解：解：如图，设点如图，设点 为直线为直线L上除点上除点A外的任意一点，连接外的任意一点，连接OM.(,)
6、M ox AM在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA即即cosa 可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式。的坐标也满足上式。求过点A(2,)平行于极轴的直线。4例3.(,)如如图图，设设是是直直线线 上上除除点点 外外的的任任意意一一点点解解：MlA (2,)2 sin244AMBsin,sin2Rt OMBMBOM在在中中，即即sin2 故故所所求求直直线线方方程程为为(2,)4A 可可以以验验证证，点点 的的坐坐标标满满足足上上式式，OBAM(，)xcosa1.与极轴垂直且与极轴距离为a的直线的极坐标方程：cosa 2.与极轴反向延长线垂直且距离为a的直线的极坐标方程：si
7、na3.在极轴上方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐标方程：4.在极轴下方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐标方程：sina几种特殊的直线的极坐标方程：例4：设点P的极坐标为 ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。11(,)lloxMP 1 1 解：解：如图，设点如图，设点 为直线上除点为直线上除点P P外的任意一点，外的任意一点，连接连接OM.OM.(,)M 则则 ,由点由点P P的极坐标知的极坐标知 ,OMxOM1,OP 1,xOP 设直线设直线L L与极轴交于点与极轴交于点A A。则在。则在MOP 1,()OMPOPM 由正弦定理得由正弦定理得11sin()sin()11
8、sin()sin()显然点显然点P P的坐标也是它的解。的坐标也是它的解。1.1.两条直线两条直线 与与 的位的位置关系是（置关系是（）cos()asin()aB BA A、平行、平行 B B、垂直、垂直C C、重合、重合 D D、平行或重合、平行或重合sin2 cos2cos4 cos4ABCD 、2.2.在极坐标系中，与圆在极坐标系中，与圆 相切的一条直线的方相切的一条直线的方程是（程是（）4sinB B3.(2,3)2A 求过且斜率为 的直线的极坐标方程。程这就是所求的极坐标方得代入直线方程将为直线上的任意一点，设角坐标系内直线方程为解：由题意可知，在直07sincos2072sin,c
9、os),(072yxyxMyx14.sin()3R极坐标方程表示的曲线是()A、两条相交的直线、两条相交的直线B、两条射线、两条射线C、一条直线、一条直线D、一条射线、一条射线所以是两条相交直线两条直线即所以得可得解：由已知042:,042:4242tan322cos31sin21yxlyxlxyA A5.cos24cos2sin2sin22sinABCD 直线关于直线 对称的直线方程为()、B2sin22化为极坐标方程为即的对称直线的问题关于线解：此题可以变成求直yxyx4cos,4cos2cos,2sinsin46、直线的方程是相切的一条、在极坐标系中，与圆DCBA()B2cos24)2(
10、04sin42222化为极坐标方程为圆的方程为那么一条与此圆相切的即的化为直角坐标方程是解：圆xyxyyx._4)0(307面积所围成的和，、曲线OXAB384612SAOB即的面积积就是扇形解：由图可知围成的面1、过极点2、过某个定点，且垂直于极轴3、过某个定点，且与极轴成一定的角度(1)当直线当直线l过极点，从极轴到过极点，从极轴到l的角是的角是，则，则l的方程的方程为：为：(2)当直线当直线l过点过点M(a,0)且垂直于极轴时，且垂直于极轴时，l的方程的方程为为 .(3)若直线经过点若直线经过点M(0，0)，且从极轴到此直线的角为，且从极轴到此直线的角为，则直线则直线l的极坐标方程为：的极坐标方程为：(R)cos a sin()0sin (0)4.直线的极坐标方程
