1、高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第六章第六章 数列数列 第第4节节 数列求和数列求和最新考纲：最新考纲：1.熟练掌握等差、等比数列的前熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和及几种掌握非等差数列、非等比数列求和及几种 常见方法常见方法高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第六章第六章 数列数列 第第4节节 数列求和数列求和常用的数列求和方法：常用的数列求和方法：1.公式求和法公式求和法2.倒序相加法倒序相加法3.分组求和法分组求和法4.并项求和法并项求和法5.裂项相消法裂项相消法6.错位相减法错位相减法高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第六章
2、第六章 数列数列 第第4节节 数列求和数列求和1.公式求和法公式求和法 如果一个数列是如果一个数列是 数列，则求和时直接利数列，则求和时直接利 用用 数列的前数列的前n项和公式。项和公式。等差数列或等比等差数列或等比 等差数列或等比等差数列或等比 11()(1)22nnn aan nSnadnS 1na11(1)11nnaa qaqqq(1)q(1)q（1）等差数列前）等差数列前n项和项和 公式：公式：（2）等比数列前）等比数列前n项和项和 公式：公式：注意：运用等比数列前注意：运用等比数列前n项和项和 公式时要分公式时要分 和和 讨论！讨论！1q 1q（3）常用数列求和）常用数列求和 公式：
3、公式：(1)1232n nn 21 35(21)nn 2222(1)(21)1236n nnn23333(1)1232n nn高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第六章第六章 数列数列 第第4节节 数列求和数列求和3.分组求和法分组求和法若一个数列的通项公式是由若干个若一个数列的通项公式是由若干个 组成，组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减。则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减。等差数列或等比数列等差数列或等比数列 nnncab，,nnab分 别 为 等 差、等 比 数 列。2.倒序相加法倒序相加法若一个数列，首末两端等若一个数列，首末两端等“距离距离”的两项的两项 ，那么
4、求这个数列的前那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。项和即可用倒序相加法。相等或它们的和相等相等或它们的和相等4.并项求和法并项求和法一个数列的前一个数列的前n项和中，可项和中，可 求解，则称之为并项求求解，则称之为并项求和形如和形如an(-1)nf(n)类型，可采用两项合并求解类型，可采用两项合并求解两两结合两两结合 注意：对项数分奇偶数讨论注意：对项数分奇偶数讨论.高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第六章第六章 数列数列 第第4节节 数列求和数列求和两项之差两项之差5.裂项相消法裂项相消法把数列的通项拆成把数列的通项拆成 ，在求和时中间的一些项可以相互，在求和时中间的一些项可以相互
5、抵消，从而求得其和抵消，从而求得其和6.错位相减法错位相减法如果一个数列的各项是由如果一个数列的各项是由 构构成的，那么这个数列的前成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求。项和即可用此法来求。一个等差数列和一个等比数列的乘积一个等差数列和一个等比数列的乘积nnnca b，,nnab 分别为等差、等比数列。111(1)(1)1n nnn11(4)()nknknkn1111(2)()(21)(21)2 2121nnnn11 11(3)()()n nkk nnk高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第六章第六章 数列数列 第第4节节 数列求和数列求和考点一倒序相加法考点一倒序相加法0121231
6、nnnnnnSC aC aC aC a+例例1.1.若数列若数列an是首项为是首项为1，公差为，公差为2的等差数列求的等差数列求 (1)组合数性质：组合数性质：(2)等差数列性质：等差数列性质：knknnCC,mnpqmnpqaaaa若则 解：解：120111nnnnnnnnnnSC aCaCaC a+012123nnnnnnSC aC aC aC a+两式相加：两式相加：01112112()()nnnnnnnSCaaCaaCaa)+0111()()nnnnnaaCCC(112)2nn(1)2nSn 分析：分析：高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第六章第六章 数列数列 第第4节节 数列求和
7、数列求和例例2.2.设等比数列设等比数列an的通项公式为的通项公式为an3n，等差数列，等差数列bn的通项的通项公式为公式为bn2n1.(1)记记cnanbn，求数列，求数列cn的前的前n项和项和Sn.(2)记记dn(-1)nbn，求数列，求数列dn的前的前n项和项和Tn.考点二分组考点二分组、并项求和法并项求和法解：解：(1)3(21)nnnncabn12nnSccc2(333)(3521)nn3(13)(321)132nnn123322nnn23(211)3(221)3(21)nn 高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第六章第六章 数列数列 第第4节节 数列求和数列求和例例2.2.设等比
8、数列设等比数列an的通项公式为的通项公式为an=3n，等差数列，等差数列bn的通项公的通项公式为式为bn=2n1.(1)记记cn=anbn，求数列，求数列cn的前的前n项和项和Sn.(2)记记dn=(-1)nbn，求数列，求数列dn的前的前n项和项和Tn.解：解：(2)(1)(1)(21)nnnndbn 12341nnnTdddddd1(35)(79)(1)(21)(1)(21)nnnn 22nnnTn当 为偶数时，12(21)22nnnTnn 当 为奇数时，nTn2n()n为 偶 数()n为 奇 数考点二分组，并项求和法考点二分组，并项求和法高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第六章第六章
9、 数列数列 第第4节节 数列求和数列求和例例3.3.(2015新课标全国卷新课标全国卷)设设Sn为数列为数列an的前的前n项和项和 已知已知an0，2an4Sn3.(1)求求an的通项公式；的通项公式；(2)设设bn ，求数列，求数列bn的前的前n项和项和 考点三考点三裂项相消法裂项相消法11nna a2na分析：分析：(1)通过已知条件知通过已知条件知an和和Sn关系关系,利用利用an+1Sn+1-Sn消去消去Sn求求出出an+1 与与an的递推关系，判断的递推关系，判断an是等差还是等比数列，进而求出是等差还是等比数列，进而求出其通项公式。其通项公式。(2)观察观察bn的通项公式结构，可用
10、裂项相消法求和。的通项公式结构，可用裂项相消法求和。高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第六章第六章 数列数列 第第4节节 数列求和数列求和例例3.3.(2015新课标全国卷新课标全国卷)设设Sn为数列为数列an的前的前n项和项和 已知已知an0，2an4Sn3.(1)求求an的通项公式；的通项公式；(2)设设bn ，求数列，求数列bn的前的前n项和项和 考点三考点三裂项相消法裂项相消法11nna a2na解：解：(1)22111243,243nnnnnnaaSaaS221112()4nnnnnaaaaa111()()2()nnnnnnaaaaaa10,2nnnaaa211111+243,3
11、-1aaaaa又或（舍去）21nan故故an是首项为是首项为3，公差为，公差为2的等差数列的等差数列.高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第六章第六章 数列数列 第第4节节 数列求和数列求和例例3.3.(2015新课标全国卷新课标全国卷)设设Sn为数列为数列an的前的前n项和项和 已知已知an0，2an4Sn3.(1)求求an的通项公式；的通项公式；(2)设设bn ，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Tn 考点三考点三裂项相消法裂项相消法11nna a2na111111()(21)(23)2 2123nnnba annnn123nnTbbbb1111111()()()235572123nn
12、1 11()2 3233(23)nnn解：解：(2)高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第六章第六章 数列数列 第第4节节 数列求和数列求和考点四错位考点四错位相减法相减法例例4.4.(湖北卷湖北卷)设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d，前，前n项和为项和为Sn，等比数，等比数列列bn的公比为的公比为q.已知已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列求数列an，bn的通项公式；的通项公式；(2)当当d1时，记时，记cn ，求数列，求数列cn的前的前n项和项和Tn.nnab分析：分析：(1)分析已知条件，运用分析已知条件，运用“基本量基本量”法求出其通项公式。法求出其通项公式
13、。(2)cn的通项公式符合错位相减法结构特征，可用错位相减法。的通项公式符合错位相减法结构特征，可用错位相减法。解：解：(1)12a d 11045100ad由题意由题意19a 29d 11a 2d 解得解得或或1(279)9nan129()9nnb21nan12nnb故故或或高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第六章第六章 数列数列 第第4节节 数列求和数列求和考点四错位考点四错位法相减法法相减法例例4.4.设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d，前，前n项和为项和为Sn，等比数列，等比数列bn的的公比为公比为q.已知已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列求数列an，b
14、n的通项公式；的通项公式；(2)当当d1时，记时，记cn ，求数列，求数列cn的前的前n项和项和Tn.nnab解：解：(2)11211,21,22nnnnnndanbc22135232112222nnnnnT23111352321222222nnnnnT232111112123(1)232222222nnnnnnT12362nnnT高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第六章第六章 数列数列 第第4节节 数列求和数列求和 已知数列已知数列an是递增的等比数列，且是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)设设Sn为为 an的前的前n项和，项和
15、，bn ，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Tn.11nnnaS S1423148,9a aa aaa18a41a 11a 48a 或或（舍去舍去）解：解：(1)311411,2,2nnnaa qqaa q111111(1)11(2)21,1nnnnnnnnnnnnnaSSaqSbqS SS SSS123nnTbbbb12231111111()()()nnSSSSSS111111112212121nnnnSS高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第六章第六章 数列数列 第第4节节 数列求和数列求和方法规律总结方法规律总结高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第六章第六章 数列数列 第第4节节
16、 数列求和数列求和最新考纲：最新考纲：1.熟练掌握等差、等比数列的前熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和及几种掌握非等差数列、非等比数列求和及几种 常见方法常见方法高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第六章第六章 数列数列 第第4节节 数列求和数列求和例例2.2.设等比数列设等比数列an的通项公式为的通项公式为an3n，等差数列，等差数列bn的通项的通项公式为公式为bn2n1.(1)记记cnanbn，求数列，求数列cn的前的前n项和项和Sn.(2)记记dn(-1)nbn，求数列，求数列dn的前的前n项和项和Tn.考点二分组考点二分组、并项求和法并
17、项求和法解：解：(1)3(21)nnnncabn12nnSccc3(13)(321)132nnn123322nnn2(333)(3521)nn23(211)3(221)3(21)nn 高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第六章第六章 数列数列 第第4节节 数列求和数列求和例例2.2.设等比数列设等比数列an的通项公式为的通项公式为an=3n，等差数列，等差数列bn的通项公的通项公式为式为bn=2n1.(1)记记cn=anbn，求数列，求数列cn的前的前n项和项和Sn.(2)记记dn=(-1)nbn，求数列，求数列dn的前的前n项和项和Tn.解：解：(2)(1)(1)(21)nnnndbn 1
18、2341nnnTdddddd1(35)(79)(1)(21)(1)(21)nnnn 22nnnTn当 为偶数时，12(21)22nnnTnn 当 为奇数时，nTn2n()n为 偶 数()n为 奇 数考点二分组，并项求和法考点二分组，并项求和法高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第六章第六章 数列数列 第第4节节 数列求和数列求和方法规律总结方法规律总结方法技巧方法技巧非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：1.转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过分组
19、求和法或并项求和法来完成思想方法往往通过分组求和法或并项求和法来完成2.不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和位相减法、倒序相加法等来求和易错点睛易错点睛1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当公比为直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当公比为参数参数(字母字母)时，应对其公比是否为时，应对其公比是否为1进行讨论进行讨论3在应用裂项相消法时，要注意消项的规律，即前剩多少项则在应用裂项相消法时，要注意消项的规律，即前剩多少项则后剩多少项后剩多少项2在应用错位相减法时，要注意未参与在应用错位相减法时，要注意未参与”错位相减错位相减”的项及其正的项及其正负号负号高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第六章第六章 数列数列 第第4节节 数列求和数列求和作业：作业：1.基础自测基础自测2.课后跟踪训练（课后跟踪训练（33）3.对本节课的知识对本节课的知识、方法方法、思想自我总结思想自我总结 高考数学第一轮复习高考数学第一轮复习 第六章第六章 数列数列 第第4节节 数列求和数列求和
