1、第二十四章第二十四章 圆圆24.1 24.1 圆的有关性质圆的有关性质第第2 2课时课时 垂直于弦的垂直于弦的 直径直径 1课堂讲解课堂讲解u圆的对称性圆的对称性u垂径定理垂径定理u垂径定理的推论垂径定理的推论2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结课后课后作业作业导入新知导入新知如图，如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，桥主桥拱是圆弧形，它的跨度它的跨度(弧所对的弧所对的弦长弦长)是是 37 m，拱高，拱高(弧的中点到弦的距弧的中点到弦的距离离)为为 7.23 m，求赵，求赵州桥主桥拱的半径州桥主桥拱的半径(精确到精确
2、到 0.1 m)1知识点知识点 圆的对称性圆的对称性问问 题（一）题（一）剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？几次，你发现了什么？知知1 1导导问问 题（二）题（二）知知1 1导导不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？由此不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？由此你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？知知1 1导导归归 纳纳 通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何一条通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴直径所在的直线都是圆的对称轴.例例
3、1 求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直 线都是圆的对称轴线都是圆的对称轴.知知1 1讲讲导引：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点导引：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点 关于直径所在直线关于直径所在直线(对称轴对称轴)的对称点也在圆上的对称点也在圆上.知知1 1讲讲 证明：如图，设证明：如图，设CDCD是是O O的任意一条直径，的任意一条直径，A A为为O O上点上点C,DC,D以外以外 的任意一点的任意一点.过点过点A A作作AACDAACD，交，交O O于点于点AA，垂足为，垂足为 M M，连接，连接OAOA，OA.OA.在
4、在OAAOAA中，中，OA=OA,OA=OA,OAAOAA是等腰三角形是等腰三角形.又又AACDAACD，AM=MA.AM=MA.即即CDCD是是AAAA的垂直平分线的垂直平分线.这就是说，对于圆上任意一点这就是说，对于圆上任意一点A A，在圆，在圆 上都有关于直线上都有关于直线CDCD的对称点的对称点AA，因此，因此 O O关于直线关于直线CDCD对称对称.即圆是轴对称图形，即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.1 下列说法中不正确的是下列说法中不正确的是()A经过圆心的直线是圆的对称轴经过圆心的直线是圆的对称轴 B直径是圆的对称轴直径是圆的
5、对称轴 C圆的对称轴有无数条圆的对称轴有无数条 D当圆绕它的圆心旋转当圆绕它的圆心旋转60时，仍会与原来的圆时，仍会与原来的圆 重合重合知知1 1练练 D2知识点知识点垂径定理垂径定理知知2 2导导知知2 2导导下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？DOCAEBDOCAEB图图1图图2图图3图图4OAEBDOCAEB 例例2 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它它 的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧
6、所对的弦的长）为的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m,求赵州求赵州 桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.知知2 2讲讲分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图 形形.知知2 2讲讲 解：解：如图，用如图，用ABAB表示主桥拱，设表示主桥拱，设ABAB所在圆的圆心为所在圆的圆心为O O，半径为，半径为R.R.经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OC,DOC,D为垂足，为垂足，OCOC与与
7、ABAB相交于点相交于点C C，连接连接OAOA，根据垂径定理，根据垂径定理，D D是是ABAB的中点，的中点，C C是是ABAB的中点，的中点，CDCD就是拱高就是拱高.由题设可知由题设可知AB=37AB=37，CD=7.23CD=7.23，所以所以 AD=AB=37=18.5AD=AB=37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.OD=OC-CD=R-7.23.在在RtRtOADOAD中，由勾股定理，中，由勾股定理，得得OA2=AD2+OD2OA2=AD2+OD2，即即R2=18.52+R2=18.52+（R-7.23R-7.23）2.2.解得解得R27.3.R27.3.因此，赵州桥的
8、主桥拱半径约为因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.27.3 m.1212 总总 结结知知2 2讲讲(1)“垂直于弦的直径垂直于弦的直径”中的中的“直径直径”，还可以是垂，还可以是垂 直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质 是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可(2)垂径定理中的弦可以为直径垂径定理中的弦可以为直径(3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据垂径定理是证线段、弧相等的重要依据知知3 3讲讲3知识点知识点垂径定理的推论垂径定理的推论通过垂径定理的证明及应用，我们还可以进一步得到通过垂径定理的证明及应用
9、，我们还可以进一步得到垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧.例例3 如图所示，如图所示，O的直径的直径CD10 cm，AB是是 O的弦，的弦，AM BM，OM OC3 5，求，求AB的长的长.知知3 3讲讲解：解：圆圆O O的直径的直径CD=10cmCD=10cm，圆圆O O的半径为的半径为5cm5cm，即，即OC=5cmOC=5cm，OMOM：OC=3OC=3：5 5，OM=OC=3cmOM=OC=3cm，连接连接OAOA，ABCDABCD，M M为为ABAB的中点，即的中点，即AM=
10、BM=ABAM=BM=AB，在在RtRtAOMAOM中，中，OA=5cmOA=5cm，OM=3cmOM=3cm，根据勾股定理得：根据勾股定理得：AM=AM=则则AB=2AM=8cmAB=2AM=8cm3512224(cm).OAOM 知知3 3讲讲 关于垂径定理及其推论可归纳为：关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，它具备以下五个性质：一条直线，它具备以下五个性质：直线过圆心；直线过圆心；(2)直线垂直于弦；直线垂直于弦；(3)直线平分弦直线平分弦(不是直径不是直径)；(4)直线平分弦所对的优弧；直线平分弦所对的优弧；(5)直线平分弦所对的劣弧直线平分弦所对的劣弧 如果把其中的任意两条作为条
11、件，其余三条作为结论，如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论，组成的命题都是真命题组成的命题都是真命题 1如图，如图，AB是是 O的直径，的直径，BAC42，点，点D是是2 弦弦AC 的中点，则的中点，则DOC的度数是的度数是_度度知知3 3练练 48通过本课时的学习，需要我们：通过本课时的学习，需要我们：1.1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步 应用垂径定理进行计算和证明；应用垂径定理进行计算和证明；2.2.掌握垂径定理的推论，明确理解掌握垂径定理的推论，明确理解“知二得三知二得三”的意的意 义义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
