1、 . 20172017 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 理科数学（）理科数学（） 第卷第卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. . 1.已知集合 4 |0 2 x AxZ x ， 1 |24 4 x Bx，则AB=（ ） A | 12xx B 1,0,1,2 C 2, 1,0,1,2 D0,1,2 2.已知i为虚数单位，若复数 1 1 ti z i 在复平面内对应的点在第四象限，则t
2、的取值范围为（ ） A 1,1 B( 1,1) C(, 1) D(1,) 3.下列函数中，既是偶函数，又在(,0)内单调递增的为（ ） A. 4 2yxx B | | 2 x y C.22 xx y D 1 2 log | 1yx 4.已知双曲线 1 C： 2 2 1 2 x y与双曲线 2 C： 2 2 1 2 x y ，给出下列说法，其中错误的是（ ） A.它们的焦距相等 B它们的焦点在同一个圆上 C.它们的渐近线方程相同 D它们的离心率相等 5.在等比数列 n a中，“ 4 a， 12 a是方程 2 310xx 的两根”是“ 8 1a ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.
3、充要条件 D既不充分也不必要条件 6.执行如图的程序框图，则输出的S值为（ ） A.1009 B-1009 C.-1007 D1008 7.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） . A 1 63 B1 12 C 1 123 D 1 43 8.已知函数( )sin()f xAx(0,0,|)A的部分图象如图所示，则函数 ( )cos()g xAx图象的一个对称中心可能为（ ） A 5 (,0) 2 B 1 ( ,0) 6 C. 1 (,0) 2 D 11 (,0) 6 9.几何原本卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据， 通过这一原理
4、， 很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明， 也称之为无字证明.现有如图所示图形， 点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证 明为（ ） A. 2 ab ab (0,0)ab B 22 2abab(0,0)ab C. 2ab ab ab (0,0)ab D 22 22 abab (0,0)ab 10.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从 包括甲、乙、丙在内的 7 名学生中选派 4 名学生参加，要求甲、乙、丙这 3 名同学中至少有 1 人参加，且 当这 3 名同学都参加时， 甲和乙的朗诵顺
5、序不能相邻， 那么选派的 4 名学生不同的朗诵顺序的种数为 （ ） A720 B768 C.810 D816 . 11.焦点为F的抛物线C： 2 8yx的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当 | | MA MF 取得最大值 时，直线MA的方程为（ ） A2yx或2yx B2yx C.22yx或22yx D22yx 12.定义在R上的函数( )f x满足(2)2 ( )f xf x，且当2,4x时， 2 2 4 ,23, ( ) 2 ,34, xxx f x x x x ( )1g xax，对 1 2,0x ， 2 2,1x ，使得 21 ()( )g xf x，则实 数a的取值范围为（
6、） A 11 (,) ,) 88 B 11 ,0)(0, 48 C.(0,8 D 11 (, ,) 48 第卷第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第本卷包括必考题和选考题两部分，第 1313 题第题第 2121 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答. .第第 2222 题和第题和第 2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分. . 13.已知(1, )a，(2,1)b ，若向量2ab与(8,6)c 共线，则a和b方向上的投影为 14.已知实数x
7、，y满足不等式组 20, 250, 20, xy xy y 且2zxy的最大值为a，则 2 0 cos 2 x adx = 15.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tantan2 tanbB bAcB，且8a ，ABC 的面积为4 3，则bc的值为 16.已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）ABCD的外接球，3BC ， 2 3AB ，点E在线段BD上，且3BDBE，过点E作圆O的截面，则所得截面圆面积的取值范围 是 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . . 17.已知 23 (1
8、)(1)(1)(1)nxxxx的展开式中x的系数恰好是数列 n a的前n项和 n S. （1）求数列 n a的通项公式； （2）数列 n b满足 1 2 (21)(21) n nn a n aa b ，记数列 n b的前n项和为 n T，求证：1 n T . 18.如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直与圆O所在平面，G为AOC的垂心. （1）求证：平面OPG 平面PAC； （2）若22PAABAC，求二面角A OP G的余弦值. 19.2017 年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过 600 元（含 600 元），均可抽奖一 次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.
9、 方案一：从装有 10 个形状、大小完全相同的小球（其中红球 3 个，黑球 7 个）的抽奖盒中，一次性摸出 3 个球，其中奖规则为：若摸到 3 个红球，享受免单优惠；若摸出 2 个红球则打 6 折，若摸出 1 个红球，则 打 7 折；若没摸出红球，则不打折. 方案二：从装有 10 个形状、大小完全相同的小球（其中红球 3 个，黑球 7 个）的抽奖盒中，有放回每次摸 取 1 球，连摸 3 次，每摸到 1 次红球，立减 200 元. （1）若两个顾客均分别消费了 600 元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满 1000 元，试从概率的角度比较该顾客选择
10、哪一种抽奖方案更合算？ 20. 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的长轴长为 6，且椭圆C与圆M： 22 40 (2) 9 xy的公共弦 长为 4 10 3 . （1）求椭圆C的方程. （2）过点(0,2)P作斜率为(0)k k 的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D， 使得ADB为以AB为底边的等腰三角形.若存在， 求出点D的横坐标的取值范围， 若不存在， 请说明理由. . 21. 已知函数 2 ( )2ln2(0)f xxmxx m. （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）当 3 2 2 m 时，若函数( )f x的导函数( )fx的图象与x轴
11、交于A，B两点，其横坐标分别为 1 x， 2 x 12 ()xx，线段AB的中点的横坐标为 0 x，且 1 x， 2 x恰为函数 2 ( )lnh xxcxbx的零点，求证： 120 2 () ()ln2 3 xx h x . 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答. .并用并用 2B2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂涂黑，按所涂 题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. . 2
12、2.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为 2 4, 2 2 2 xt yt （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极 坐标系，圆C的极坐标方程为4cos，直线l与圆C交于A，B两点. （1）求圆C的直角坐标方程及弦AB的长； （2）动点P在圆C上（不与A，B重合），试求ABP的面积的最大值. 23. 选修 4-5：不等式选讲. 已知函数( ) |21|1|f xxx. （1）求函数( )f x的值域M； （2）若aM，试比较|1|1|aa， 3 2a ， 7 2 2 a的大小. 参考答案及解析参考答案及解析 . 理科数学（）理科数学（） 一、选择题一、选择题
13、 1-5:BBDDA 6-10:BCCDB 11、12：AD 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13. 3 5 5 14.3 15.4 5 16.2 ,4 三、解答题三、解答题 17.解：（1） 23 (1)(1)(1)(1)nxxxx的展开式中x的系数为 1111 123n CCCC 2111 223n CCCC 22 1 11 22 n Cnn ， 即 2 11 22 n Snn， 所以当2n时， 1nnn aSSn ； 当1n 时， 1 1a 也适合上式， 所以数列 n a的通项公式为 n an. （2）
14、证明： 1 2 (21)(21) n n nn b 1 11 2121 nn ， 所以 1 11111 1 3372121 n nn T 1 1 1 21 n ， 所以1 n T . 18.解：（1）如图，延长OG交AC于点M. 因为G为AOC的重心，所以M为AC的中点. 因为O为AB的中点，所以/OMBC. 因为AB是圆O的直径，所以BCAC，所以OMAC. 因为PA 平面ABC，OM 平面ABC，所以PAOM. 又PA平面PAC，AC 平面PAC，PAACA，所以OM 平面PAC. 即OG 平面PAC，又OG 平面OPG， 所以平面OPG 平面PAC. . （2）以点C为原点，CB，CA，
15、AP方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Cxyz，则 (0,0,0)C，(0,1,0)A，( 3,0,0)B， 3 1 (,0) 22 O，(0,1,2)P， 1 (0,0) 2 M，则 3 (,0,0) 2 OM ， 3 1 (,2) 22 OP .平面OPG即为平面OPM，设平面OPM的一个法向量为( , , )nx y z，则 3 0, 2 31 20, 22 n OMx n OPxyz 令1z ，得(0, 4,1)n . 过点C作CHAB于点H，由PA 平面ABC，易得CHPA，又PAABA，所以CH 平面 PAB，即CH为平面PAO的一个法向量. 在Rt ABC中，由2AB
16、AC，得30ABC，则60HCB， 13 22 CHCB. 所以 3 cos 4 H xCHHCB， 3 sin 4 H yCHHCB. 所以 3 3 (,0) 44 CH . 设二面角A OP G的大小为，则 | cos | | CH n CHn 22 33 |041 0| 2 51 44 1739 41 1616 . 19.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A，则 3 3 3 10 1 ( ) 120 C P A C ， . 所以两位顾客均享受到免单的概率为 1 ( )( ) 14400 PP AP A. （2）若选择方案一，设付款金额为X
17、元，则X可能的取值为 0，600，700，1000. 3 3 3 10 1 (0) 120 C P X C ， 21 37 3 10 7 (600) 40 C C P X C ， 12 37 3 10 21 (700) 40 C C P X C ， 3 7 3 10 7 (1000) 24 C P X C ， 故X的分布列为， 所以 17217 ()06007001000 120404024 E X 1 764 6 （元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则1000200ZY， 由已知可得 3 (3,) 10 YB，故 39 ( )3 1010 E Y ， 所以( )(10
18、00200 )E ZEY1000200 ( )820E Y（元）. 因为()( )E XE Z，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算. 20.解：（1）由题意可得26a，所以3a . 由椭圆C与圆M： 22 40 (2) 9 xy的公共弦长为 4 10 3 ，恰为圆M的直径， 可得椭圆C经过点 2 10 (2,) 3 ， 所以 2 440 1 99b ，解得 2 8b . 所以椭圆C的方程为 22 1 98 xy . （2）直线l的解析式为2ykx，设 1122 ( ,), (,)A x yB x y，AB的中点为 00 (,)E xy.假设存在点( ,0)D m， 使得ADB为以AB为底边的等
19、腰三角形，则DEAB.由 22 2, 1, 98 ykx xy 得 22 (89)36360kxkx， . 故 12 2 36 98 k xx k ， 所以 0 2 18 98 k x k ， 00 2 16 2 98 ykx k . 因为DEAB，所以 1 DE k k ， 即 2 2 16 0 1 98 18 98 k k k m k ， 所以 2 22 8 98 9 k m k k k . 当0k 时， 8 92 9 812 2k k ， 所以 2 0 12 m； 当0k 时， 8 912 2k k ，所以 2 0 12 m. 综上所述，在x轴上存在满足题目条件的点E，且点D的横坐标的取
20、值范围为 22 ,0)(0, 1212 . 21. 解：（1）由于 2 ( )2ln2f xxmxx的定义域为(0,)，则 2 2(1) ( ) xmx fx x . 对于方程 2 10xmx ，其判别式 2 4m . 当 2 40m ，即02m时，( )0fx 恒成立，故( )f x在(0,)内单调递增. 当 2 40m ，即2m，方程 2 10xmx 恰有两个不相等是实根 2 4 2 mm x ， 令( )0fx ，得 2 4 0 2 mm x 或 2 4 2 mm x ，此时( )f x单调递增； 令( )0fx ，得 22 44 22 mmmm x ，此时( )f x单调递减. 综上所
21、述， 当02m时，( )f x在(0,)内单调递增； 当2m时，( )f x在 22 44 (,) 22 mmmm . 内单调递减，在 2 4 (0,) 2 mm ， 2 4 (,) 2 mm 内单调递增. （2）由（1）知， 2 2(1) ( ) xmx fx x ，所以( )fx的两根 1 x， 2 x即为方程 2 10xmx 的两根.因为 3 2 2 m ，所以 2 40m ， 12 xxm， 12 1x x . 又因为 1 x， 2 x为 2 ( )lnh xxcxbx的零点， 所以 2 111 ln0xcxbx， 2 222 ln0xcbx，两式相减得 1 121212 2 ln()
22、()()0 x c xxxxb xx x ，得 1 2 12 12 ln () x x bc xx xx . 而 1 ( )2h xcxb x ，所以 120 () ()xx h x 120 0 1 ()(2)xxcxb x 1 2 121212 1212 ln 2 ()()() x x xxc xxc xx xxxx 121 122 2() ln xxx xxx 1 21 1 2 2 1 2ln 1 x xx x x x . 令 1 2 (01) x tt x ，由 22 12 ()xxm得 222 1212 2xxx xm， 因为 12 1x x ，两边同时除以 12 x x，得 2 1
23、2tm t ， 因为 3 2 2 m ，故 15 2 t t ，解得 1 0 2 t 或2t ，所以 1 0 2 t . 设 1 ( )2ln 1 t G tt t ，所以 2 2 (1) ( )0 (1) t G t t t ， 则( )yG t在 1 (0, 2 上是减函数， 所以 min 12 ( )( )ln2 23 G tG ， . 即 120 () ()yxx h x的最小值为 2 ln2 3 . 所以 120 2 () ()ln2 3 xx h x . 22.解：（1）由4cos得 2 4 cos， 所以 22 40xyx，所以圆C的直角坐标方程为 22 (2)4xy. 将直线l
24、的参数方程代入圆:C 22 (2)4xy，并整理得 2 2 20tt， 解得 1 0t ， 2 2 2t . 所以直线l被圆C截得的弦长为 12 | 2 2tt. （2）直线l的普通方程为40xy. 圆C的参数方程为 22cos , 2sin , x y （为参数）， 可设曲线C上的动点(22cos ,2sin )P，则点P到直线l的距离 |22cos2sin4| 2 d |2cos()2 | 4 ，当cos()1 4 时，d取最大值，且d的最大值 为22. 所以 1 2 2(22)22 2 2 ABP S， 即ABP的面积的最大值为22. 23. 解：（1） 3 ,1, 1 ( )2, 1, 2 1 3 ,. 2 x x f xxx x x 根据函数( )f x的单调性可知，当 1 2 x 时， min 13 ( )( ) 22 f xf. 所以函数( )f x的值域 3 ,) 2 M . （2）因为aM，所以 3 2 a ，所以 3 01 2a . 又|1|1|1123aaaaa ， . 所以 3 2 a ，知10a ，430a ， 所以 (1)(43) 0 2 aa a ，所以 37 2 22 a a ， 所以 37 |1|1|2 22 aaa a . . . . . . . . .
