1、高考研究课 (二 ) 圆的方程命题 3角度 求方程、算最值、定轨迹 全国卷 5 年命题分析 考点 考查频度 考查角度 圆的方程 5年 4考 求圆的方程及先求圆 的方程再考查应用 与圆有关的最值问题 5年 1考 求范围 与圆有关的轨迹问题 未考查 03 02 01 题型一 圆的方程 题型三 与圆有关的轨迹问题 题型二 与圆有关的最值问题 目 录 04 课堂真题集中演练 05 高考达标检测 圆的方程 圆的方程的求法，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法： ? 1 ? 几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量 . ? 2 ? 代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解 . 典
2、例 求经过点 A ( 5,2 ) ， B (3 ， 2) ，且圆心在直线 2 x y 3 0 上的圆的方程 解 法一 ： 用 “ 几何法 ” 解题 由题意知 kAB 2 ， AB 的中点为 ( 4,0) ，设圆心为 C ( a ， b ) ， 圆过 A ( 5,2) ， B (3 ， 2) 两点， 圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上 则?ba 412，2 a b 3 0 ，解得?a 2 ，b 1 ， C ( 2,1) ， r | CA | ? 5 2 ?2 ? 2 1 ?2 10 . 所求圆的方程为 ( x 2)2 ( y 1)2 10. 法二：用 “ 代数法 ” 解题 设圆的方程为 ( x
3、 a )2 ( y b )2 r2， 则?2 a b 3 0 ，? 5 a ?2 ? 2 b ?2 r2，? 3 a ?2 ? 2 b ?2 r2，解得?a 2 ，b 1 ，r 10 ，故圆的方程为 ( x 2)2 ( y 1)2 10. 法三：用 “ 代数法 ” 解题 设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0( D2 E2 4 F 0) ， 则?25 4 5 D 2 E F 0 ，9 4 3 D 2 E F 0 ，2 ?D2E2 3 0 ，解得?D 4 ，E 2 ，F 5 ， 所求圆的方程为 x2 y2 4 x 2 y 5 0. 方法技巧 求圆的方程的方法 ( 1) 方程选择原则 若条件
4、中圆心坐标明确时，常设为圆的标准方程，不明确时，常设为一般方程 ( 2) 求圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是代数法，大致步骤如下： 根据题意，选择标准方程或一般方程； 根据条件列出关于 a ， b ， r 或 D ， E ， F 的方程组； 解出 a ， b ， r 或 D ， E ， F 代入标准方程或一般方程 即时演练 根据下列条件，求圆的方程 ( 1) 已知圆心为 C 的圆经过点 A (0 ， 6) ， B (1 ， 5) ，且圆心在直线 l： x y 1 0 上； ( 2) 圆心在直线 y 4 x 上，且与直线 l： x y 1 0 相切于点 P (3 ， 2) 解： (
5、 1) 法一： 设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0( D2 E2 4 F 0) ，则圆心坐标为?D2，E2. 由题意可得? ? 6 ?2 6 E F 0 ，12 ? 5 ?2 D 5 E F 0 ，D E 2 0 ，解得? D 6 ，E 4 ，F 1 2 ，所以圆的方程为 x2 y2 6 x 4 y 12 0. 法二： 因为 A (0 ， 6) ， B (1 ， 5) ， 所以线段 AB 的中点 D 的坐标为?12，112， 直线 AB 的斜率 kAB 5 ? 6 ?1 0 1 ， 因此线段 AB 的垂直平分线的方程是 y 112?x 12，即 x y 5 0. 则圆心 C 的坐标是
6、方程组?x y 5 0 ，x y 1 0的解， 解得?x 3 ，y 2 ，所以圆心 C 的坐标是 ( 3 ， 2) 圆的半径长 r | AC | ? 0 3 ?2 ? 6 2 ?2 5 ， 所以圆的方程为 ( x 3)2 ( y 2)2 25. (2) 法一： 如图，设圆心坐标为 ( x0， 4 x0) ，依题意得 2 ? 4 x0?3 x0 1 ， x0 1 ，即圆心坐标为 (1 ， 4) ，半径 r ? 1 3 ?2 ? 4 2 ?2 2 2 ，故圆的方程为 ( x 1)2 ( y 4)2 8. 法二： 设所求方程为 ( x x0)2 ( y y0)2 r2， 根据已知条件得?y0 4 x0，? 3 x0?2 ? 2 y0?2 r2，| x0 y0 1|2 r ，解得?x0 1 ，y0 4 ，r 2 2 .因此所求圆的方程为 ( x 1)2 ( y 4)2 8.
