1、 . 数学试卷（理科）数学试卷（理科） 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.已知全集UR，集合0,1,2,3,4,5A ， |2Bx x，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A0,1 B1 C1,2 D0,1,2 2.已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数 1 z i 的点是（ ） AM BN CP DQ 3.如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分
2、都是以正方形的顶点为圆心，半径 为 2 a 的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴 影部分的概率是（ ） A1 4 B 4 C1 8 D与a的取值有关 4.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近 5 年的广告支出m与销售额t（单位：百万元）进行了初 . 步统计，得到下列表格中的数据： 经测算，年广告支出m与年销售额t满足线性回归方程6.517.5tm，则p的值为（ ） A45 B50 C.55 D60 5.已知焦点在y轴上的双曲线C的中点是原点O，离心率等于 5 2 .以双曲线C的一个焦点为圆心，1 为半 径的圆与双曲线C的渐近线相切，则
3、双曲线C的方程为（ ） A 22 1 164 yx B 2 2 1 4 x y C. 2 2 1 4 y x D 2 2 1 4 x y 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A113 3 B35 C. 104 3 D107 4 7.公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的 面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的 徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n为（ ） （参考数据：31.732,sin150.2588,sin7.50.1305） A
4、12 B24 C. 36 D4 . 8.如图，周长为 1 的圆的圆心C在y轴上，顶点(0,1)A，一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记走 过的弧长AMx，直线AM与x轴交于点( ,0)N t，则函数( )tf x的图象大致为（ ） A B C. D 9.三棱锥ABCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且ABC，BCD都是边长为 1 的等边三角形， 则三棱锥ABCD的体积是（ ） A 2 6 B 2 12 C. 2 4 D 3 12 10. 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且2 cos2cBab.若ABC的面积 13 12 Sc， 则ab的最小值为（ ） A 1 2 B 1
5、 3 C. 1 6 D3 11.已知直线ymx与函数 2 0.51,0, ( ) 1 2( ) ,0 3 x xx f x x 的图象恰好有 3 个不同的公共点，则实数m的取值范 围是（ ） A( 3,4) B( 2,) C. ( 2,5) D( 3,2 2) 12.已知直线ya分别与函数 1x ye 和1yx交于,A B两点，则,A B之间的最短距离是（ ） A 3ln2 2 B 5ln2 2 C. 3ln2 2 D 5ln2 2 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.若 6
6、 1 ()nx x x 的展开式中含有常数项，则n的最小值等于_. 14.已知抛物线方程为 2 2(0)ypx p，焦点为F，O是坐标原点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正 . 方向的夹角为60，若OAF的面积为3，则p的值为_. 15.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一 名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的 分配方法总数为_. 16.若不等式组 20, 5100, 80 xy xy xy ，所表示的平面区域存在点 00 (,)xy，使 00 20xay成立，则实数a的 取值范围是_
7、. 三、解答题三、解答题 （本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分） 设数列 n a的前n项和为 n S， * 11 11(,1) nn aaSnN ，,且 123 23aaa 、 、为等差数列 n b的 前三项. （1）求数列 n a, n b的通项公式； （2）求数列 nn a b的前n项和. 18.（本小题满分 12 分） 某市积极倡导学生参与绿色环保活动， 其中代号为 “环保卫士-12369” 的绿色环保活动小组对 2015 年 1 月 2015 年 12 月（一
8、年）内空气质量指数API进行监测，下表是在这一年随机抽取的 100 天统计结果： （1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气质量指数API（记为t）的关系 为： 0,0100, 4400,100300, 1500,300, t Ptt t ， 在这一年内随机抽取一天， 估计该天经济损失(200,600P元的概率； （2）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季节，其中有 8 天为重度污染，完成 22 列联表，并判断是 否有 95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？ . 下面临界值表供参考： 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc k ab
9、cd ac bd ，其中na b cd . 19.（本小题满分 12 分） 已知在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 ABB A为正方形，延长AB到D，使得ABBD，平面 11 AACC 平面 11 ABB A， 111 2ACAA， 11 4 C A A . （1）若,E F分别为 11 C B，AC的中点，求证：/ /EF平面 11 ABB A； （2）求平面 111 ABC与平面 1 CB D所成的锐二面角的余弦值. 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，圆 22 (2 )(2)2Q xy的圆心Q在椭圆C上，点(0,2)P到 椭圆
10、C的右焦点的距离为6. . （1）求椭圆C的方程； （2）过点P作互相垂直的两条直线 12 ,l l，且 1 l交椭圆C于,A B两点，直线 2 l交圆Q于,C D两点，且M为 CD的中点，求MAB面积的取值范围. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 22 1 ( )()(1)(22) 2 x f xaxbxab exxxaR，且曲线( )yf x与x轴切于原点 O. （1）求实数, a b的值； （2）若 2 ( ) ()0f xxmxn恒成立，求mn的值. 请考生在请考生在 2222、2323 中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记
11、分. . 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程是2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参 数方程为 1 23 xt yt （t为参数）. （1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）设曲线C经过伸缩变换 1 2 xx yy 得到曲线C，设( , )M x y为曲线C上任一点，求 22 32xxyy 的最小值，并求相应点M的坐标. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：不等式选讲 已知实数0,0ab，函数( ) |f xxaxb的最大值为 3. （1）求ab的值； . （2）设函数 2 ( )g xx
12、axb ，若对于xa 均有( )( )g xf x，求a的取值范围. 2 201601620172017 学年度上学期高三年级五调考试理科数学答案学年度上学期高三年级五调考试理科数学答案 一、选择题 A D A DCC B D B BB D 二、填空题 13.5 14. 2 15.84 16.1a 三、解答题（本大题共 8 题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位 置） 17.解： （1） * 1 1 nn aSnN ， 1 12 nn aSn ， 1nnn aaa ，即 1 12 ,10 nn aan ， 又 121 1,11aaS ， 数列 n a为以1
13、为首项，公比为1的等比数列，2 分 2 3 1a， 2 41113 ，整理得 2 210 ，得1，4 分 1 2,13132 n nn abnn .6 分 （2） 1 322n nn a bn ， 121 1 14 27 2322n n Tn 1231 21 24 27 2352322 nn n Tnn 8 分 得 121 1 13 23 23 2322 nn n Tn 1 212 13322 12 n n n 10 分 整理得：3525 n n Tn12 分 . 18.（）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失200,600P元”为事件A由2004400600t， 得150250t ，频数为
14、 39 39, 100 P A4 分 （）根据以上数据得到如表： 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 8 分 2 K的观测值 2 2 100 63 822 7 4.5753.841 85 15 30 70 K . 所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.12 分 19.（本题满分 12 分）解： （1）取 11 AC的中点G， 连接,FG EG，在 111 ABC中，EG为中位线， 11, GE ABGE平面 1111 ,ABB A AB 平面 11 ABB A，GE平面 11 ABB A， 同理可得GE平面
15、11 ABB A，2 分 又GFGEG，所以平面GEF平面 11 ABB A， EF 平面GEF，EF平面 11 ABB A.4 分 （2）连接 1 AC，在 11 AAC中， 11111 ,2 4 C A AACAA ， 所以由余弦定理得 2222 11111111111111 2cos,ACAAACAAACAACAAAAACAAC是等腰直角三角形， 11 ACAA， 又因为平面 11 AAC C 平面 11 ABB A，平面 11 AAC C平面 1111 ,ABB AAAAC平面 11 ABB A，AB 平面 11 ABB A， 1 ACAB，7 分 又因为侧面 11 ABB A，为正方
16、形， 1 AAAB，分别以 11 ,AA AB AC所在直线作为x轴，y轴，z轴建立如图 所示的空间直角坐标系， . 设1AB ，则 111 0,0,0 ,1,0,0 ,1,1,0 ,0,0,1 ,1,0,1 ,0,2,0AABCCD， 11111 2,1, 1 ,1,2, 1 ,1,0,1 ,0,1,0CBCDACAB ，8 分 设平面 111 ABC的一个法向量为 111 ,mx y z，则 1111 0,0mACmAB，即 11 1 0 0 xz y ，令 1 1x ，则 22 1,3yz， 故1,1,3n 为平面 1 CB D的一个法向量， 所以 222 1 10 1 1 32 22
17、cos, 11 2113 m n m n mn ， 平面 111 ABC与平面 1 CB D所成的锐二面角的余弦值 2 22 11 . 20.（本题满分 12 分）解： （）因为椭圆C的右焦点,0 ,6,2F cPFc ，1 分 2, 2在椭圆C上， 22 42 1 ab ，2 分 由 22 4ab得 22 8,4ab，所以椭圆C的方程为 22 1 84 xy .4 分 （）由题意可得 1 l的斜率不为零，当 1 l垂直x轴时，MAB的面积为 1 424 2 ，5 分 当 1 l不垂直x轴时， 设直线 1 l的方程为：2ykx， 则直线 2 l的方程为： 1122 1 2,yxA x yB x
18、y k ， . 由 22 1 84 2 xy ykx 消去y得 22 124 240kxkx，所以 1212 22 4 24 , 1212 k xxx x kk ，7 分 则 22 2 12 2 4141 1 21 kk ABkxx k ，8 分 又圆心 2, 2Q到 2 l的距离 1 2 2 2 1 d k 得 2 1k ，9 分 又,MPAB QMCD，所以M点到AB的距离等于Q点到AB的距离，设为 2 d，即 2 22 222 2 11 k k d kk ，10 分 所以MAB面积 22 2 2 22 2 41 441 1 4 221 21 kk kk sAB d k k ，11 分 令
19、 2 213,tk ，则 2 2 2 112311 1314 5 0,44,4 322283 tt S ttt ， 综上，MAB面积的取值范围为 4 5 ,4 3 .12 分 21.解： （1） 22 1 221 22 2 x f xaxbxabaxb exxxx 22 1 232 2 x axab xa exx ，1 分 00fa，又 010,1fabb .4 分 （2）不等式 2 1 0111 2 x f xxexxx ， 整理得 2 1 110 2 x xexx ， 即 2 10 1 10 2 x x exx 或 2 10 1 10 2 x x exx ，6 分 令 2 1 1 ,1 ,
20、1 2 xxx g xexxh xg xexh xe . 当0x 时， 10 x h xe ；当0x 时， 10 x h xe ， . h x在,0单调递减，在0 +，单调递增， 00h xh， 即 0g x ，所以 g x在R上单调递增，而 00g； 故 22 11 100;100 22 xx exxxexxx . 当0x 或1x 时， 0f x ；同理可得，当01x时， 0f x . 当 2 0f xxmxn恒成立可得，当0x 或1x 时， 2 0xmxn， 当01x时， 2 0xmxn，故0和1是方程 2 0xmxn的两根， 从而1,0,1mnmn.12 分 22.解:（1）由1xt ，
21、得1tx，代入23yt， 得直线的普通方程3320xy. 由2p ，得 222 4,4pxy.5 分 （2）, 1 2 xx C yy 的直角坐标方程为 2 2 1 4 x y. 设2cos ,sinM，则2cos ,sinxy. 2222 324cos2 3sincos2sin2cos 23 3 xxyy 当cos 21 3 ，即 1 3 2 x y 或 1 3 2 x y 时，上式取最小值1. 即当 3 1, 2 M 或 3 1, 2 M 时， 22 32xxyy的最小值为1.10 分 23.解： （） f xxaxbxaxbab，2 分 所以 f x的最大值为ab， 3ab.4 分 （）当xa时， 3f xxaxbxaxbab ，6 分 对于xa ，使得 g xf x等价于xa ， max 3gx 成立， . g x的对称轴为 2 a xa ， g x在,xa为减函数， g x的最大值为 222 23g aaabaa ，8 分 2 233aa ，即 2 20aa，解得0a 或 1 2 a ， 又因为0,0,3abab，所以 1 3 2 a.10 分
