1、 . 数学试卷（理科）数学试卷（理科） 第第卷（卷（选择题选择题 共共 6060 分）分） 一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.已知集合 2 |1logAxNxk，集合A中至少有 3 个元素，则（ ） A8k B8k C16k D16k 2.复数 2 12 i i 的共轭复数的虚部是（ ） A 3 5 B 3 5 C-1 D1 3.下列结论正确的是（ ） A若直线l 平面，直线l 平面，则/ / B若直线/l平面，直线/l平
2、面，则/ / C若两直线 12 ll、与平面所成的角相等，则 12 / /ll D若直线l上两个不同的点AB、到平面的距离相等，则/l 4.等比数列 n a的前n项和为 n S，已知 253 2a aa，且 4 a与 7 2a的等差中项为 5 4 ，则 5 S （ ） A29 B31 C33 D36 5.已知实数, x y满足 210 10 xy xy ，则 22xy z x 的取值范围为（ ） A 10 0, 3 B 10 ,2, 3 C 10 2, 3 D 10 ,0, 3 6.若0,0,lglglgababab，则ab的最小值为（ ） A8 B6 C4 D2 7.阅读如图所示的程序框图，
3、则该算法的功能是（ ） . A计算数列 1 2n前 5 项的和 B计算数列 21 n 前 5 项的和 C计算数列21 n 前 6 项的和 D计算数列 1 2n前 6 项的和 8. ABC中， “角, ,A B C成等差数列”是“ sin3cossincosCAAB”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9.已知ab， 二次三项式 2 20axxb对于一切实数x恒成立， 又 0 xR， 使 2 00 20axxb成立， 则 22 ab ab 的最小值为（ ） A1 B2 C2 D2 2 10.已知等差数列 , nn ab的前n项和分别为, nn S T
4、，若对于任意的自然数n，都有 23 43 n n Sn Tn ，则 1153 39210 2 aaa bbbb （ ） A 19 41 B 17 37 C 7 15 D 20 41 11.已知函数 2 1 ,g xaxxe e e 为自然对数的底数与 2lnh xx的图象上存在关于x轴对称 的点，则实数a的取值范围是（ ） A 2 1 1,2 e B 2 1,2e C 2 2 1 2,2e e D 2 2,e 12.如图，在OMN中，,A B分别是,OM ON的中点，若,OPxOAyOB x yR，且点P落在四边 . 形ABNM内（含边界） ，则 1 2 y xy 的取值范围是（ ） A 1
5、2 , 3 3 B 1 3 , 3 4 C 1 3 , 4 4 D 1 2 , 4 3 第第卷（卷（非选择题非选择题 共共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.若实数0,1ab、，且满足 1 1 4 a b，则ab、的大小关系是_ 14.若 110 tan, tan34 2 ，则 2 sin 22coscos 44 的值为_ 15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_ 16.已知函数 2 lg,0 64,0 xx f x xxx ，若关于x的方程 2 10fxbf x 有 8 个不
6、同根，则实数b 的取值范围是_ 三、解答题三、解答题 （本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分） 已知 2sin 2 f xx ，集合 |2,0Mxf xx，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到 数列 * , n anN . （1）求数列 n a的通项公式； （2）记 2 1 1 n n b a ，设数列 n b的前n项和为 n T，求证： 1 4 n T 18.（本小题满分 12 分） 已知向量 2 3sin,1 ,cos,cos 444 xxx mn ，记 f xm
7、 n （1）若 1f x ，求cos 3 x 的值； （2）在锐角ABC中，角, ,A B C的对边分别是, ,a b c，且满足2coscosacBbC，求2fA的取 值范围 19.（本小题满分 12 分） 如图所示，在直三棱柱 111 ABCABC中，平面 1 ABC 侧面 11 AB BA，且 1 2AAAB （1）求证：ABBC； （2）若直线AC与平面 1 ABC所成角的正弦值为 1 2 ，求锐二面角 1 AACB的大小 20.（本小题满分 12 分） 已知函数 212lnf xaxx aR （1）若曲线 g xf xx上点 1,g 1处的切线过点0,2，求函数 g x的单调减区间；
8、 （2）若函数 yf x在 1 0, 2 上无零点，求a的最小值 21.（本小题满分 12 分） 已知,1px m qxa，二次函数 1f xp q，关于x的不等式 2 211f xmxm 的 . 解集为 ,1,mm ，其中m为非零常数，设 1 f x g x x （1）求a的值； （2）若存在一条与y轴垂直的直线和函数 lnxg xxx 的图象相切，且切点的横坐标 0 x满足 00 13xx ，求实数m的取值范围； （3）当实数k取何值时，函数 ln1xg xkx存在极值？并求出相应的极值点 请考生在请考生在 2222、2323、2424 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分三
9、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 已知四边形ABCD为圆O的内接四边形，且BCCD，其对角线AC与BD相交于点M，过点B作圆O 的切线交DC的延长线于点P （1）求证：AB MDAD BM； （2）若CP MDCB BM，求证：ABBC 23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为 2 2 2 2 xmt yt （t为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标 系，曲线C的极坐标方程为 2222 cos3sin12，且曲线C的左焦点F在直线l上 （1）若直线l
10、与曲线C交于,A B两点，求FA FB的值； （2）求曲线C的内接矩形的周长的最大值 24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知 0 xR使不等式12xxt 成立 （1）求满足条件的实数t的集合T； . （2）若1,1mn，对tT ，不等式 23 loglogmnt恒成立，求mn的最小值 参考答案参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C A B D C D A D A B C 二、填空题 13. ab 140 1580 16 17 2 4 b 三、解答题 17解： （1） 2f x ， 22 xkkZ ，21,xkkZ
11、3 分 又0x， * 21 n annN 6 分 1 111111111 1 422314414 nn Tbb nnn 1 4 n T 12 分 18 （1） 2 3111 3sincoscossincossin 44422222262 xxxxxx f xm n ， 由 1f x ，得 1 sin 262 x ，所以 2 1 cos1 2sin 3262 x x 6 分 （2）因为2coscosacBbC，由正弦定理得 2sinsincossincosACBBC，所以2sincossincossincosABCBBC， 所以2sincossinABBC，因为ABC， 所以sinsinBCA，
12、且sin0A，所以 1 cos 2 B ，又0 2 B ，所以 3 B ， . 则 22 , 33 ACAC，又0 2 C ，则 62 A ，得 2 363 A ， 所以 3 sin1 26 A ，又因为 1 2sin 62 fAA ， 故函数2fA的取值范围是 31 3 , 22 12 分 19 （1）证明： 如图，取 1 AB的中点D，连接AD 1 分 因 1 AAAB，则 1 ADAB， 2 分 由平面 1 ABC 侧面 11 A ABB，且平面 1111 ABCA ABBAB侧面， 3 分 得AD 平面 1 ABC，又BC 平面 1 ABC， 所以ADBC 4 分 因为三棱柱 111
13、ABCABC是直三棱柱， 则 1 AA 底面ABC，所以 1 AABC 又 1 AAADA，从而BC 侧面 11 A ABB， 又AB 侧面 11 A ABB，故ABBC 6 分 （2）解法一：连接CD，由（1）可知AD 平面 1 ABC，则CD是AC在平面 1 ABC内的射影， ACD即为直线AC与平面 1 ABC所成的角，因为直线AC与平面 1 ABC所成的角的正弦值为 1 2 ，则 6 ACD ， 8 分 在等腰直角 1 A AB中， 1 2AAAB，且点D是 1 AB中点， . 1 1 2 2 ADAB且, 26 ADCACD ， 2 2AG 9 分 过点A作 1 AEAC于点E，连接
14、DE， 由（1）知AD 平面 1 ABC，则 1 ADAC，且AEADA， AED即为二面角 1 AACB的一个平面角 10 分 且直角 1 A AC中， 1 1 2 2 22 6 32 3 A A AC AE AC ， 又2, 2 ADADE ， 23 sin 22 6 3 AD AED AE ，且二面角 1 AACB为锐二面角， 3 AED ，即二面角 1 AACB的大小为 3 12 分 解法二（向量法） ： 由（1）知ABBC且 1 BB 底面ABC，所以以点B为原点，以 1 BCBABB、所在直线分别为, ,x y z轴 建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示，且设BCa，则 1 0,2
15、,0 ,0,0,0 ,0,0 ,0,2,2ABC aA， 11 ,0,0 ,0,2,2 , 2,0 ,0,0,2BCaBAACaAA 9 分 设平面 1 ABC的一个法向量 1 , ,nx y z， 由 111 ,BCn BAn得： 0 220 za yz ，令1y ，得0,1xz ，则 1 0,1, 1n 10 分 . 设直线AC与平面 1 ABC所成的角为，则 6 ， 得 1 2 1 21 sin 62 42 AC n AC n a ，解得2a，即2, 2,0AC ， 又设平面 1 A AC的一个法向量为 2 n，同理可得 3 1,1,0n ， 设锐二面角 1 AACB的大小为，则 12
16、12 12 1 coscos, 2 n n n n n n ，且0, 2 ，得 3 ， 锐二面角 1 AACB的大小为 3 12 分 20解： （1） 322lng xa xax， 2 3gxa x ， 1g xa ， 2 分 又 11g， 1 2 11 1 0 a ，得2a 4 分 由 22 320 x gx xx ，得02x， 函数 g x单调减区间为0,2 5 分 （2）因为 0f x 在区间 1 0, 2 上恒成立不可能， 故要使函数 f x在 1 0, 2 上无零点，只要对任意的 1 0,0 2 xf x 恒成立， 即对 12ln 0,2 21 x xa x 恒成立 8 分 令 2l
17、n1 2,0, 12 x I xx x ， 则 22 22 12ln2ln2 11 xxx xx Ix xx 10 分 再令 21 2ln2,0, 2 m xxx x ， 则 22 2 122 0 x m x xxx ， . 故 m x在 1 0, 2 上为减函数，于是 1 22ln20 2 m xm ， 从而， 0Ix，于是 I x在 1 0, 2 上为增函数，所以 1 24ln2 2 I xI ， 故要使 2ln 2 1 x a x 恒成立，只要24ln2,a， 综上，若函数 f x在 1 0, 2 上无零点，则a的最小值为24ln2 12 分 21解： （1） ,1 ,1px mqxaf
18、 xp q， 二次函数 2 1f xxaxm， 1 分 关于x的不等式 2 211f xmxm 的解集为 ,01,m ， 也就是不等式 22 1 20xam xmm 的解集为 ,01,m ， m和 1m是方程 22 1 20xam xmm 的两个根， 由韦达定理得：11 2mmam ， 2a 2 分 （2）由（1）得 2 21 1 111 f xxxmm g xx xxx ， 2 1 lnln1, 1 1 mm xg xxxxx xx x ， 存在一条与y轴垂直的直线和 x的图象相切，且切点的横坐标为 0 x， 002 00 0 11 02 1 m xmx xx x 4 分 00 13xx ，
19、 0 2x 5 分 令 1 22h xxx x ，则 22 111 1 xx h x xx ， 当2x时， 22 111 10 xx h x xx ， . 1 2h xx x 在2,上为增函数， 从而 00 0 11 +22 2 h xxh x ， 1 2 m 7 分 （3） ln11ln1 1 m xg xkxxkx x 的定义域为1,， 2 22 21 1 1 11 xk xkmmk x x xx 方程 2 210xk xkm （*）的判别式 22 2414kkmkm 若0m时，0 ，方程（*）的两个实根为 2 1 24 1 2 kkm x ，或 2 2 24 1 2 kkm x ， 则
20、2 1,xx时， 0x； 2, xx时， 0x， 函数 x在 2 1,x上单调递减，在 2, x 上单调递增， 此时函数 x存在极小值，极小值点为 2, x k可取任意实数， 9 分 若0m时， 当0， 即22mkm时， 2 210xk xkm 恒成立， 0,xx 在1,上为增函数， 此时 x在1,上没有极值 10 分 下面只需考虑0 的情况，由0 ，得2km 或2km， 当2km ，则 22 12 2424 1,1 22 kkmkkm xx ， 故1,x时， 0x， 函数 x在1,上单调递增， 函数 x没有极值 11 分 当2km时， 22 12 2424 1,1 22 kkmkkm xx
21、， 则 1 1,xx时， 12 0;,xxx x时， 2 0;,xxx时， 0x， . 函数 x在 1 1,x上单调递增，在 12 ,x x上单调递减，在 2, x 上单调递增，此时函数 x存在极 大值和极小值，极小值点 2 x，有极大值点 1 x 综上所述，若0m时，k可取任意实数，此时函数 x有极小值且极小值点为 2 x；若0m时，当 2km时，函数 x有极大值和极小值，此时极小值点为 2 x，极大值点为 1 x（其中 22 12 2424 , 22 kkmkkm xx ） 12 分 22解： （1）由BCCD可知，BACDAC， 在ABD中，则 ABAD BMDM ，因此AB MDAD
22、BM； 5 分 （2）由CP MDCB BM，可知 CPBM CBMD ，又由（1）可知 BMAB MDAD ， 则 CPAB CBAD ，由题意BADPCB，可得BADPCB， 则ADBCBP，又ADBACB，即CBPACB， 又PB为圆O的切线，则CBPCAB， 因此ACBCAB，即ABAC 10 分 23解： （1）已知曲线 C的标准方程为 22 1 124 xy ，则其左焦点为 2 2,0 则2 2m，将直线l的参数方程 2 2 2 2 2 2 xt yt 与曲线 22 :1 124 xy C联立， 得 2 220tt，则 1 2 2FA FBtt 5 分 （2）由曲线C的方程为 22
23、 1 124 xy ，可设曲线C上的定点 2 3cos ,2sinP， 则以P为顶点的内接矩形周长为 42 3cos2sin16sin0 32 ， 因此该内接矩形周长的最大值为 16 10 分 24解： （1）令 1,1 1223,12 1,2 x f xxxxx x ，则 11f x ， . 由于 0 xR使不等式12xxt 成立，有|1tTt t 5 分 （2）由（1）知， 33 loglog1mn， 根据基本不等式 3333 loglog2 loglog2mnmn， 从而 2 3mn ，当且仅当3mn时取等号， 再根据基本不等式26mnmn当且仅当3mn时取等号， 所以mn的最小值为 6 10 分
