1、 . 理数周日测试 6 一、选择题 1.已知集合2 ,1,0,2,3,4,8Ax xn nZB ，则 RA B（ ） A. 1,2,6 B. 0,1,2 C. 1,3 D. 1,6 2.已知 i 是虚数单位，则 2 3 3 1 i i i （ ） A. 3 2i B. 3 3i C. 2 4i D. 2 2i 3.已知 2 sin 3 ，则 3 tansin 2 （ ） A. 2 3 B. 2 3 C. 5 3 D. 5 3 4.已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 1 2 ， 且椭圆的长轴与焦距之差为 4， 则该椭圆为方程为 （ ） A. 22 1 42 xy B. 22
2、 1 84 xy C. 22 1 164 xy D. 22 1 1612 xy 5.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.14159263.1415927，为纪念祖冲之 在圆周率的成就，把 3.1415926 称为“祖率” ，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖 率” ，让同学们从小数点后的 7 位数字 1,4,1,5,9,2,6 随机选取两位数字，整数部分 3 不变，那么得到的数 字大于 3.14 的概率为（ ） A. 28 31 B. 19 21 C. 22 31 D. 17 21 6.运行如图所示的程序，输出的结果为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D
3、.4 . 7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 6+6 D.8+4 8.已知直线 1: 1lyx与 2: lyxm之间的距离为 2，则直线 2 l被圆 2 2 :18Cxy截得的弦长为 （ ） A. 4 B.3 C.2 D.1 9.已知实数, x y满足不等式组 10 20 1 xy xy x ，则目标函数3zxy的最大值为（ ） A.1 B.2 C. 5 3 D. 7 3 10.在边长为 1 的正ABC中，点 D 在边 BC 上，点 E 是 AC 中点，若 3 16 AD BE ，则 BD BC （ ） A. 1 4 B. 1 2 C. 3
4、4 D. 7 8 11.已知定义在 R 上的函数 f x，满足f mxf mxxR，且1x时， 2 2 x n f x ，图象 如图所示，则满足 2 nm fx 的实数 x 的取值范围是（ ） A. -1,3 B. 1 3 2 2 ， C. 0,2 D. 1 5 , 2 2 12.已知函数 2 3sincos4cos0f xxxx的最小正周期为，且 1 2 f，则 . 2 f （ ） A. 5 2 B. 9 2 C. 11 2 D. 13 2 二、填空题 13.在正方体 1111 ABCDABC D中，点 M 是 11 C D的中点，则 1 AM与AB所成角的正切值为. 14.已知双曲线 22
5、 22 10,0 xy ab ab 的离心率为 2， 过双曲线的右焦点垂直于 x 轴的直线被双曲线截得 的弦长为 m，则 m a . 15.已知函数 ln0 ln0 x x f x xx ，若 20,0f afbab，且 22 4ab的最小值为 m，则 2 2log m ab. 16.已知ABC的三个内角所对的边分别为, ,a b c，且coscos2 cosbCcBaB，sin3sinBA，则 a c . 三、解答题 17.（12 分）已知等比数列 n a满足： 1 1 2 a ，且 89 56 1 8 aa aa . （1）求 n a的通项公式及前 n 项和； （2）若 nn bna，求
6、n b的前 n 项和 n T. 18.（12 分）如图，三棱锥PABC中，PABABC平面平面，PAPB，且ABPC. （1）求证：CACB； （2）若2,11PAPBABPC，求三棱锥PABC的体积. . 19.（12 分）某搜索引擎广告按照付费价格对搜索结果进行排名，点击一次付费价格排名越靠前，被点击的 次数也可能会提高，已知某关键词被甲、乙等多个公司竞争，其中甲、乙付费情况与每小时点击量结果绘 制成如下的折线图. （1）试根据所给数据计算每小时点击次数的均值方差并分析两组数据的特征； （2）若把乙公司设置的每次点击价格为 x，每小时点击次数为 y，则点（x，y）近似在一条直线附近.试根
7、据前 5 次价格与每小时点击次数的关系，求 y 关于 x 的回归直线 ybxa.（附：回归方程系数公式： 1 22 1 , n ii i n i i x ynxy baybx xnx ） 20.（12 分）如图，直线:210lxy 与 y 轴交于点 A，与抛物线 2 :20C xpy p交于 P，Q，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，连接 QB，BP 并延长分别与 x 轴交于点 M，N. （1）若4 3PQ ，求抛物线 C 的方程； （2）若 4 3 3 MN ，求BMN外接圆的方程. 21.（12 分）已知函数 2 lnfxxaxaR. . （1）若 yf x在2x处的切线与 x 轴平行，
8、求 f x的极值； （2）若函数 1g xf xx 在0，+上单调递增，求实数 a 的取值范围. 选考题 22.（10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程 以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 5 3cos28，直线 l 的参数方程为 2 2 2 2 xmt yt （其中 t 为参数）. （1）把曲线 C 的极坐标方程化为普通方程； （2）若直线 l 与曲线 C 有两个公共点，求实数 m 的取值范围. 23.（10 分）选修 4-5 不等式选讲 已知函数 12f xxx . （1）关于 x 的不等式 2f x 的解集为 M，且,1 2mmM，求实数 m
9、的取值范围； （2）求 22g xf xxx的最小值，及对应的 x 的取值范围. 附加题. 已知函数 2 lnf xxg xaxbx ab，、 为常数. （）求函数 f x在点 1,1f处的切线方程； （）当函数 2g xx 在处取得极值-2，求函数 g x的解析式； （）当 1 2 a 时，设 h xf xg x，若函数 h x在定义域上存在单调减区间，求实数 b 的取值范 围. . 河北衡水中学河北衡水中学 2018 届高三数学复习届高三数学复习 周日测答案周日测答案 1.【答案】C【解析】由条件可知 A 为偶数集，故() R 1,3AB =-I. 2.【答案】B【解析】 ()() ()
10、2 2 2 3 1i 3i3i ii12ii33i 1i2 轾- - 骣- 犏 -=+=-+= - 犏 桫+ 臌 . 3.【答案】A【解析】()() 32 tansintancossin 23 p paaaaa 骣 +=-= -= - 桫 . 4.【答案】D【解析】设椭圆的焦距为2c，由条件可得 1 2 c a =，故2ac=，由椭圆的长轴与焦距之差为 4 可 得()24ac-=，即2ac-=，所以，4a =，2c =，故 222 12bac=-=，故该椭圆的方程为 22 1 1612 xy +=. 5.【答案】A【解析】从 1，4，1，5，9，2，6 这 7 位数字中任选两位数字的不同情况有
11、：14，11，15，19， 12，16，41，45，49，42，46，59，52，56，92，96，26，51，91，21，61，54，94，24，64，95，25， 65，29，69，62，共 31 种不同情况，其中使得到的数字不大于 3.14 的情况有 3 种不同情况，故所求概率为 328 1 3131 -=. 6. 【答案】 D 【解析】 所给程序的运行过程如下：1b =，3a =；2b =，7a =；3b =，15a =；4b =，31a =， 不满足30a， 1 c o s 2 B =. 由sin3sinBA=可得3ba=，由余弦定理可得 222 2cosbacacB=+-，即 22
12、2 9aacac=+-，解之得 331 16 a c - =（舍去负值）. 17.【解析】 （1）设 n a的公比为 q，由 89 56 1 8 aa aa + = + 可得 3 1 8 q =， . 1 2 q =， 1 2 n n a =， 11 1 122 1 1 2 1 2 n n n S 骣 - 桫 =- - .（5 分） （2）由（1）可得 2 n n n b =，则 23 123 2222 n n n T =+L 所以， 2341 1123 22222 n n n T + =+L 由-可得 23111 11 1 11111222 1 1 22222222 1 2 n n nnnn
13、 nnn T + 骣 - 桫+ =+-=-=- - L， 所以， 2 2 2 n n n T + =-.（12 分） 18.【解析】 （1）取AB的中点 O，连接PO，PC.PAPB=，POAB， ABPC，PCPOP=I，PC，PO平面POC， AB平面POC，又OC 平面POC，ABOC， 而 O 是AB的中点，CACB=.（6 分） （2）平面PAB平面ABC，PO平面PAB，平面PAB I平面ABCAB=， PO 平面ABC，由条件可得3PO=， 22 2 2OCPCPO=-=. 则 11 22 22 2 22 ABC SAB OC=?创= V ， 三棱锥PABC-的体积为： 112
14、6 2 23 333 ABC VSPO=?鬃= V .（12 分） 19.【解析】 （1）由题图可知，甲公司每小时点击次数为 9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙公司每小时点 击次数为 2，4，6，8，7，7，8，9，9，10. 甲公司每小时点击次数的平均数为： 9578768677 7 10 x + = 甲 ， 乙公司每小时点击次数的平均数为： 246877890 7 10 91 x + = 乙 . 甲公司每小时点击次数的方差为：()() 22 2222 1 222 121401.2 10 S 轾 =+ -+?+? 犏 臌 甲 ；乙公司每小时点击 . 次数的方差为：()()() 222
15、 22222 1 5312 1223205.4 10 S 轾 =-+ -+ -+?+? 犏 臌 乙 ，由计算已知，甲、乙公 司每小时点击次数的均值相同，但是甲的方差较小，所以，甲公司每小时点击次数更加稳定.（6 分） （2）根据折线图可得数据如下： 点击次数 y 2 4 6 8 7 点击价格 x 1 2 3 4 5 则3x =，5.4y =，则 5 1 5 2 2 1 5 1.4 ii i i i x yxy b xn x = - = - = - $ ，1.2a = $ ， 所求回归直线方程为：1.41.2yx=+ $ .（12 分） 20.【解析】 （1）由 2 210 2 xy xpy +
16、= = 可得 2 2 220xpxp+=， 设点() 11 ,P x y，() 22 ,Q xy，则 () 2 2 280ppD =-，即1p， 12 2 2xxp+= -， 1 2 2x xp=， 故() () 2 22 12121 2 12343 882 6PQxxxxx xpppp=+-=+-=-=-. 由 () 2 2 64 3pp-=可得2p=（舍去负值） ， 抛物线 C 的方程为 2 4xy=.（5 分） （2）设直线BN，BM的斜率分别为 1 k， 2 k点， 2 1 22 1111 212 1 1111 1 122 222 x yxpxx xxxp k xxpxpxp - -
17、=， 2 2 22 2221 221 2 2222 1 122 222 x yxpxx xxxp k xxpxpxp - - =， 12 0kk+=. 直线BN的方程为： 1 1yk x=+，直线BM的方程为： 2 1yk x=+，则 1 1 ,0N k 骣 - 桫 ， 2 1 ,0M k 骣 - 桫 ，则 12 211 2 114 3 3 kk MN kkk k - =-=，由 12 0kk+=可得 12 kk= -， 1 2 1 2 4 3 3 k k =， . 1 3 2 k =， 2 3 2 k =，且 1 2 0k k ， 由条件可得( ) 1 140 2 fa=+=，解之得 1 8
18、 a = -， ( ) 2 1 ln 8 f xxx=-，( ) ()()( ) 2211 0 44 xx fxxx xx -+ =-=， 令( )0fx=可得2x =或2x= -（舍去） 当02x时，( )0fx 设( ) 2 21h xaxx=-+， 当0a =时，( ) 1x gx x - = -，当01x时，( )0gx 或0D ，即 10 1 0 4 180 0 a a a - 或 180 0 a a - ，解之得 1 8 a. 综上可知，实数 a 的取值范围是 1 , 8 轹 + ? .（12 分） . 22.【解析】 （1）方程() 2 53cos28rq-=可化为 () 22
19、53 2cos18rq 轾 -= 犏 臌 ，即 222 43cos4rrq-=，把 222 cosx xyr rq =+ = 代入可得( ) 222 434xyx+-=，整理可得 2 2 1 4 x y+=.（5 分） （2）把 2 2 2 2 xmt yt =- = 代入 2 2 1 4 x y+=可得 22 52 2280tmtm-+-=，由条件可得 ()() 2 2 2 220 280mmD = -，解之得55m-，即实数 m 的取值范围是( ) 5, 5-.（10 分） 23.【解析】 （1）当1x时，不等式( )2f x 可变为()122xx-+，解之得1x，1x时， 不等式( )2
20、f x 可变为()122xx-+，解之得1x，x 不存在. 综上可知，不等式( )2f x 的解集为(),1M = - ?. 由(),12mmM-?，可得 12 121 mm m - - ，解之得 1 0 3 m，即实数 m 的取值范围是 1 0, 3 轹 .（5 分） （2）( )( )() ()2212121g xf xxxxxxx=-+-=-+-=，当且仅当()()120xx-，即 12x时，( )g x取得最小值 1，此时，实数 x 的取值范围是1,2.（10 分） 附加题附加题 （1）1yx（2） 2 1 2 2 g xxx（3）2,b 试题解析：()由 lnf xx(0x )， 可
21、得 1 fx x (0x )， f x在点 1,1f处的切线方程是 111yffx，即1yx，所求切线方程为1yx. ()又 2 g xaxbx可得 2gxaxb，且 g x在2x =处取得极值2-. 20, 22, g g 可得 40, 422, ab ab 解得 1 2 a ，2b . 所求 2 1 2 2 g xxx（xR）. () 2 1 ln 2 h xf xg xxxbx， 2 1xbx h x x (0x ). 依题存在0x 使 2 1 0 xbx h x x ，即存在0x 使 2 10xbx ， . 不等式 2 10xbx 等价于 1 bx x (*) 令 1 xx x （0x ） ， 22 11 1 1(0) xx xx xx . x在0,1上递减，在1,上递增，故 1 2,xx x ， 存在0x ，不等式(*)成立，2b ，所求2,b. .
