1、 数学试卷（理科）数学试卷（理科） 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1. 已知全集UR，集合0,1,2,3,4,5A ， |2Bx x，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A0,1 B1 C1,2 D0,1,2 【答案】A 【解析】 试题分析：图中阴影部分表示的集合为0,1 U AB ,故选 A. 考点：1.集合的图形表示；2.集合的运算. 2. 已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复
2、数z，则表示复数 1 z i 的点是（ ） AM BN CP DQ 【答案】D 选 D.来源:学,科,网 考点：1.复数的几何意义；2.复数的运算.来源:163文库 3. 如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径 为 2 a 的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴 影部分的概率是（ ） A1 4 B 4 C1 8 D与a的取值有关 【答案】A 考点：几何概型. 4. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近 5 年的广告支出m与销售额t（单位：百万元）进行了 初步统计，得到下列表格中的数据：
3、 经测算，年广告支出m与年销售额t满足线性回归方程6.517.5tm，则p的值为（ ） A45 B50 C.55 D60 【答案】D 【解析】 试题分析：由表格可知， 24568 5 5 m ，所以6.5 5 17.550t ，所以有 30405070 50 5 p ，解得60p ，故选 D. 考点：线性回归. 5. 已知焦点在y轴上的双曲线C的中点是原点O，离心率等于 222 22 15 2 caba e aaa 5 2 . 以双曲线C的一个焦点为圆心，1 为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（ ） A 22 1 164 yx B 2 2 1 4 x y C. 2 2 1 4
4、 y x D 2 2 1 4 x y 【答案】C 考点： 双曲线的标准方程与几何性质. 6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A113 3 B35 C. 104 3 D107 4 【答案】C 【解析】 试题分析：由三视图可知，该几何体为一个三棱柱去掉两个三棱锥，三棱柱的底面为底与高皆为4的等腰 三角形，三棱柱的高为5，两个三棱锥的底面底与高皆为4的等腰三角形，高为1，因此几何体的体积为 111104 4 4 524 4 1 2323 V ，故选 C. 考点：1.三视图；2.多面体的表面积与体积. 7. 公元 263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时
5、，多边形面积可无限逼近圆的 面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的 徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n为（ ） （参考数据：31.732,sin150.2588,sin7.50.1305） A12 B24 C. 36 D4 【答案】B 考点：1.数学文化；2.程序框图. 8. 如图，周长为 1 的圆的圆心C在y轴上，顶点(0,1)A，一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记走 过的弧长AMx，直线AM与x轴交于点( ,0)N t，则函数( )tf x的图象大致为（ ） A B C. D 【答案】D 【解析】 试题分
6、析： 由图象可知， 函数 1 ( )tan() 2 tf xx， 由此知此函数是由tanyx的图象向右平移 1 2 个 单位得到的，由选项可知 D 正确，故选 D.看完 考点：三角函数的图象与性质. 9. 三棱锥ABCD的外接球为球O， 球O的直径是AD， 且ABC，BCD都是边长为 1 的等边三角形， 则三棱锥ABCD的体积是（ ） A 2 6 B 2 12 C. 2 4 D 3 12 【答案】B 考点：1.球的切接问题；2.棱锥的体积. 10. 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且2 cos2cBab.若ABC的面积 3 12 Sc， 则ab的最小值为（ ） A 1 2
7、B 1 3 C. 1 6 D3 【答案】B 【解析】 试题分析：由2 cos2cBab及正弦定理得 2sincos2sinsin2sin()sin2sincos2cossinsinCBABBCBBCBCB，所以 2sincossin0BCB，又因为B为三角形内角，sin0B，所以 1 cos 2 C ，又 133 120 ,sin 2412 CSabCabc，即3abc，由余弦定理可得来源:学.科.网Z.X.X.K 22222 92cos3a bcababCab，当且仅当ab时等号成立，解此不等式得 1 3 ab ，即ab的最 小值为 1 3 ，故选 B. 考点：1.正弦定理与余弦定理；2.基
8、本不等式. 【名师点睛】本题综合考查解三角形与基本不等式，属中档题；利用正弦定理可以求解一下两类问题： （1） 已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角； （2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三 角形其他边与角利用余弦定理主要解决已知两边及夹角求其它元素问题. 11. 已知直线ymx与函数 2 0.51,0, ( ) 1 2( ) ,0 3 x xx f x x 的图象恰好有 3 个不同的公共点， 则实数m的取值范 围是（ ） A( 3,4) B( 2,) C. ( 2,5) D( 3,2 2) 【答案】B 考点：函数与方程. 【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；已知函数有
9、零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法： 先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标 系中，画出函数的图像，然后数形结合求解 12. 已知直线ya分别与函数 1x ye 和1yx交于,A B两点，则,A B之间的最短距离是（ ） A 3ln2 2 B 5ln2 2 C. 3ln2 2 D 5ln2 2 【答案】D 考点：导数与函数的单调性、极值、最值. 【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值、最值，属难题；利用导数求函数的最值是每年高
10、考的 重点内容，求函数在闭区间 , a b上的最值，先研究函数的单调性，若函数在该区间上单调，则两端点的值 即为最值，若在区间上有极值，比较极值与两端点的值即可求其最值. 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13. 若 6 1 ()nx x x 的展开式中含有常数项，则n的最小值等于_. 【答案】5 考点：二项式定理. 14. 已知抛物线方程为 2 2(0)ypx p，焦点为F，O是坐标原点，A是抛物线上的一点，FA与x轴 正方向的夹角为60，若OAF的面积为3，则p的值为_. 【
11、答案】2 【解析】 试题分析：抛物线的焦点为(,0) 2 p F，准线为 2 p x ，设 00 (,)A xy，则 0 2 p AFx，又因为 60AFM ， 00 3 sin60() 22 p yAFx ，所以 00 13 ()3 282 OAF pp SOFyx ，所以 0 8 2 p x p ， 00 34 3 () 22 p yx p ， 代入 2 00 2ypx得 2 488 2 () 2 p p pp ， 解之得2p 或2 3p ， 又当2 3p 时，FA与x轴正方向的夹角为120，不符合题意，所以2p .来源:ZXXK 考点：抛物线的标准方程及几何性质. 15. 在送医下乡活动
12、中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排 一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同 的分配方法总数为_. 【答案】84 【解析】 试题分析：甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生,当有两所医院 二人，一所医院一人时总数为 22 3 53 3 3 3 C C A A 种，其中有甲、乙二人或丙、丁二人在同一组的有 33 33 4AA种； 有两所医院分 1 人另一所学校分三人有 113 223 C C A.故满足条件的公法共有 22 333113 53 333223 3 3 484 C
13、 C AAAC C A A 种方法. 考点：1.两个计数原理；2.排列与组合. 【名师点睛】本题考查两个计数原理与排列与组合，属中档题；涉及排列与组合问题，区分的关键是看选 出的元素是否与顺序有关， 排列问题与顺序有关， 组合问题与顺序无关 “含”与“不含”的问题： “含”， 则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取通 常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理 16. 若不等式组 20, 5100, 80 xy xy xy ， 所表示的平面区域存在点 00 (,)xy， 使 00 20xay成立， 则实数a的 取值范围是_. 【答案】1
14、a 考点：线性规划. 【名师点睛】本题考查线性规划问题，属中档题；线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表 示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值本题则是考查 二元一次不等式的几何意义，在直线一侧的点的坐标适合同一个不等式. 三、解答题三、解答题 （本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分） 设数列 n a的前n项和为 n S， * 11 11(,1) nn aaSnN ，,且 123 23aaa 、 、为等差数列 n b的
15、 前三项. （1）求数列 n a, n b的通项公式； （2）求数列 nn a b的前n项和. 【答案】(1) 1 2,32 n nn abn ；(2) 3525 n n Tn. 考点：1. n a与 n S的关系；2.等差数列、等比数列的定义与性质；3.错位相减法求数列的和. 【名师点睛】本题考查 n a与 n S的关系、等差数列、等比数列的定义与性质及错位相减法求数列的和，属中 档题；解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系如果同一数列中部分项成等差 数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合 在一起，要从分析运算入手，把
16、两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解 18. （本小题满分 12 分） 某市积极倡导学生参与绿色环保活动， 其中代号为 “环保卫士-12369” 的绿色环保活动小组对 2015 年 1 月 2015 年 12 月（一年）内空气质量指数API进行监测，下表是在这一年随机抽取的 100 天统计结果： （1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气质量指数API（记为t）的关系 为： 0,0100, 4400,100300, 1500,300, t Ptt t ， 在这一年内随机抽取一天， 估计该天经济损失(200,600P元的概率； （2）若本次抽取的样本数据有
17、30 天是在供暖季节，其中有 8 天为重度污染，完成 22 列联表，并判断是 否有 95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？ 下面临界值表供参考： 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc k ab cd ac bd ，其中na b cd . 【答案】 （1） 39 100 ； （2）列联表见解析,有 95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关. （）根据以上数据得到如表： 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 8 分 2 K的观测值 2 2 100 63 822 7 4.5753.841 85
18、15 30 70 K . 有 95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.12 分 考点：1.古典概型；2.独立性检验. 【名师点睛】本题考查古典概型与独立性检验，属中档题；独立性检验是一种统计案例，是高考命题的热 点，高考命题角度主要有：1.已知分类变量数据，判断两类变量的相关性；2.已知某些数据，求分类变量 的部分数据；3.求 2 K的观察值或已知观察值，判断命题的正确性. 19. （本小题满分 12 分） 已知在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 ABB A为正方形，延长AB到D，使得ABBD，平面 11 AACC 平面 11 ABB A， 111 2ACAA， 11 4
19、C A A . （1）若,E F分别为 11 C B，AC的中点，求证：/ /EF平面 11 ABB A； （2）求平面 111 ABC与平面 1 CB D所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)见解析；(2) 2 22 11 . 【解析】 （2）连接 1 AC，在 11 AAC中， 11111 ,2 4 C A AACAA ， 所以由余弦定理得 2222 11111111111111 2cos,ACAAACAAACAACAAAAACAAC是等腰直角三角形， 11 ACAA， 又因为平面 11 AAC C 平面 11 ABB A，平面 11 AAC C平面 1111 ,ABB AAAAC平面
20、11 ABB A，AB 平面 11 ABB A， 1 ACAB，7 分 又因为侧面 11 ABB A，为正方形， 1 AAAB，分别以 11 ,AA AB AC所在直线作为x轴，y轴，z轴建立如图 所示的空间直角坐标系， 设1AB ，则 111 0,0,0 ,1,0,0 ,1,1,0 ,0,0,1 ,1,0,1 ,0,2,0AABCCD， 11111 2,1, 1 ,1,2, 1 ,1,0,1 ,0,1,0CBCDACAB ，8 分 设平面 111 ABC的一个法向量为 111 ,mx y z，则 1111 0,0mACmAB，即 11 1 0 0 xz y ，令 1 1x ，则 22 1,3
21、yz， 故1,1,3n 为平面 1 CB D的一个法向量， 所以 222 1 10 1 1 32 22 cos, 11 2113 m n m n mn ， 平面 111 ABC与平面 1 CB D所成的锐二面角的余弦值 2 22 11 . 考点：1.线面平行、面面平行的判定与性质；2. 线面垂直、面面垂直的判定与性质；3.空间向量的应用. 20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，圆 22 (2 )(2)2Q xy的圆心Q在椭圆C上，点(0,2)P到 椭圆C的右焦点的距离为6. （1）求椭圆C的方程； （2）过点P作互相垂直的两条直线 12 ,l
22、 l，且 1 l交椭圆C于,A B两点，直线 2 l交圆Q于,C D两点，且M为 CD的中点，求MAB面积的取值范围. 【答案】(1) 22 1 84 xy ；(2) 4 5 ,4 3 . 考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 22 1 ( )()(1)(22) 2 x f xaxbxab exxxaR，且曲线( )yf x与x轴切于原点 O. （1）求实数, a b的值； （2）若 2 ( ) ()0f xxmxn恒成立，求mn的值. 【答案】(1)0,1ab；(2)1mn. 【解析】 （2）不等式 2 1 0111 2
23、x f xxexxx ， 整理得 2 1 110 2 x xexx ， 即 2 10 1 10 2 x x exx 或 2 10 1 10 2 x x exx ，6 分 令 2 1 1 ,1 ,1 2 xxx g xexxh xgxexh xe . 当0x 时， 10 x h xe ；当0x 时， 10 x h xe ， h x在,0单调递减，在0 +，单调递增， 00h xh， 即 0g x ，所以 g x在R上单调递增，而 00g； 故 22 11 100;100 22 xx exxxexxx . 当0x 或1x 时， 0f x ；同理可得，当01x时， 0f x . 当 2 0f xxm
24、xn恒成立可得，当0x 或1x 时， 2 0xmxn， 当01x时， 2 0xmxn，故0和1是方程 2 0xmxn的两根， 从而1,0,1mnmn.12 分 考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值；3.函数与方程、不等式. 请考生在请考生在 2222、2323 中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程是2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参 数方程为 1 23 xt yt （t为参数）. （1）写出直线l
25、的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）设曲线C经过伸缩变换 1 2 xx yy 得到曲线C，设( , )M x y为曲线C上任一点，求 22 32xxyy 的最小值，并求相应点M的坐标. 【答案】 （1）直线的普通方程3320xy,曲线C的普通方程为 22 4xy； （2）最小值为1， 相应的点为 3 1, 2 M 或 3 1, 2 . 当cos 21 3 ，即 1 3 2 x y 或 1 3 2 x y ，上式取最小值1. 即当 3 1, 2 M 或 3 1, 2 ， 22 32xxyy的最小值为1. 【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化；3.大陆架参数方程的应用. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知实数0a，0b，函数( ) |f xxaxb的最大值为 3. （1）求ab的值； （2）设函数 2 ( )g xxaxb ，若对于xa 均有( )( )g xf x，求a的取值范围. 【答案】(1) 3ab；(2) 1 3 2 a.来源:学科网 【考点】1.绝对值不等式的性质；2.函数与不等式.
