1、2020 年年高考模拟高考模拟高考数学一模试卷高考数学一模试卷 一、选择题一、选择题 1已知集合已知集合 Ax|x1，集合，集合 Bx|x（x+2）0，那么，那么 AB 等于（等于（ ） Ax|x2 Bx|1x0 Cx|x1 Dx|1x2 2下列函数中，既是偶函数又在区间（下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是（）上单调递增的是（ ） Ay Bf（x）xsinx Cf（x）x2+|x| Dy|x+1| 3如果如果 ba0，那么下列不等式成立的是（，那么下列不等式成立的是（ ） Alog2|b|log2|a| B Cb3a3 Dabb2 4双曲线双曲线）的一条渐近线方程为）的一条
2、渐近线方程为 x+2y0，那么它的离心率为（，那么它的离心率为（ ） A B C D 5设直线设直线 l 过点过点 A（0，1），且与圆），且与圆 C：x2+y22y0 相切于点相切于点 B，那么，那么（ ） ） A3 B3 C D1 6将函数将函数 f（x）cos2x 图象上所有点向左平移图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数个单位长度后得到函数 g（x）的图象，）的图象， 如果如果 g（x）在区间）在区间0，a上单调递减，那么实数上单调递减，那么实数 a 的最大值为（的最大值为（ ） A B C D 7设点设点 A，B，C 不共线，则“不共线，则“，”是“，”是“”（”（ ） ） A充分
3、不必要条件充分不必要条件 B必必要不充分条件要不充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件 8有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个 顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为 8，如果改形塔的最，如果改形塔的最 上层正方体的边长小于上层正方体的边长小于 1，那么该塔形中正方体的个数至少是（，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ） A8 B7 C6 D4 9某三棱锥的三视图如图
4、所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ） A1 B2 C3 D0 10在声学中，声强级在声学中，声强级 L（单位：（单位：dB）由公式）由公式给出，其中给出，其中 I 为声强（单位：为声强（单位： W/m2）L160dB，L275dB，那么，那么（ ） A10 B10 C D10 二、填空题二、填空题 11如果复数如果复数 z 满足满足 i z1+i，那么，那么|z| （i 为虚数单位）为虚数单位） 12已知已知，那么，那么 tan sin 13设常数设常数 aR，如果，如果的二项展开式中的二项展开式中 x 项的系数为
5、项的系数为80，那么，那么 a 14如果抛物线如果抛物线 y22px 上一点上一点 A（4，m）到准线的距离是）到准线的距离是 6，那么，那么 m 15某公园划船收费标准如表：某公园划船收费标准如表： 船型船型 两人船（限乘两人船（限乘 2 人）人） 四人船（限乘四人船（限乘 4 人）人） 六人船（限乘六人船（限乘 6 人）人） 每船租每船租金（元金（元/小时）小时） 90 100 130 某班某班 16 名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为 1 小时，每只租船必须坐满，小时，每只租船必须坐满， 租船最低总费用为租船最低总费用为 元，租船的总
6、费用共有元，租船的总费用共有 种可能种可能 三、解答题共三、解答题共 6 题，共题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16在在ABC 中，中， 求求 BC 边上的高边上的高 ，sinA3sinC，ac2 这三个条件中任选一个，补充在上面问题这三个条件中任选一个，补充在上面问题 中并作答中并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 17为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取 100 名学生，收集名学生，收
7、集 了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如表了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如表 时间时间 人数人数 学生类别学生类别 0，5） 5，10） 10，15） 15，20） 20， ，25） 25，30） 性别性别 男男 6 9 10 10 9 4 女女 5 12 13 8 6 8 学段学段 初中初中 x 8 11 11 10 7 高中高中 （）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在（）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在10，20）的概率：）的概率： （）从参加公益劳动时间（）从参加公益劳动时间25，30）的学生中抽取
8、）的学生中抽取 3 人进行面谈，记人进行面谈，记 X 为抽到高中的人为抽到高中的人 数，求数，求 X 的的分布列；分布列； （）当（）当 x5 时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长（直时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长（直 接写出结果）接写出结果） 18如图，在三棱柱如图，在三棱柱 ADFBCE 中，平面中，平面 ABCD平面平面 ABEF，侧面，侧面 ABCD 为平行四边形，为平行四边形， 侧面侧面 ABEF 为正方形，为正方形，ACAB，AC2AB4，M 为为 FD 的中点的中点 （）求证：（）求证：FB平面平面 ACM； （）求二面角（）求二
9、面角 MACF 的大小的大小 19已知函数已知函数，其中，其中 aR （）当（）当 a0 时，求时，求 f（x）在（）在（1，f（1）的切线方程；）的切线方程； （）求证：（）求证：f（x）的极大值恒大于）的极大值恒大于 0 20已知椭圆已知椭圆 C：0）的两个焦点是）的两个焦点是 F1，F2，在椭圆在椭圆 C 上，上， 且且|MF1|+|MF2|4， O 为坐标原点， 直线为坐标原点， 直线 l 与直线与直线 OM 平行， 且与椭圆交于平行， 且与椭圆交于 A， B 两点 连两点 连 接接 MA、MB 与与 x 轴交于点轴交于点 D，E （）求椭圆（）求椭圆 C 的标准方程；的标准方程； （
10、）求证：（）求证：为定值为定值 21 记无穷数列 记无穷数列an的前的前 n 项中最大值为项中最大值为 Mn， 最小值为， 最小值为 mn， 令， 令， 则称， 则称bn是是an “极差数列”“极差数列” （）若（）若 an3n2，bn的前的前 n 项和；项和； （）证明：（）证明：bn的“极差数列”仍是的“极差数列”仍是bn （）求证：若数列（）求证：若数列bn是等差数列，则数列是等差数列，则数列an也是等差数列也是等差数列 参考答案参考答案 一、选择题共一、选择题共 10 题，每题题，每题 4 分，共分，共 40 分在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求分在每题列出的四个选项中，选出符合
11、题目要求 的一项的一项 1已知集合已知集合 Ax|x1，集合，集合 Bx|x（x+2）0，那么，那么 AB 等于（等于（ ） Ax|x2 Bx|1x0 Cx|x1 Dx|1x2 【分析】可以求出集合【分析】可以求出集合 B，然后进行并集的运算即可，然后进行并集的运算即可 解：解：Ax|x1，Bx|2x0， ABx|x2 故选：故选：A 2下列函数中，既是偶函数又在区间（下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是（）上单调递增的是（ ） Ay Bf（x）xsinx Cf（x）x2+|x| Dy|x+1| 【分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可【分析】结合基本
12、初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可 解：解：A：y为非奇非偶函数，不符合题意；为非奇非偶函数，不符合题意； B：yxsinx 在（在（0，+）上不单调，不符合题意； ）上不单调，不符合题意； C：yx2+|x|为偶函数，且在（为偶函数，且在（0， ，+）上单调递增，符合）上单调递增，符合 题意；题意； D：y|x+1|为非奇非偶函数，不符合为非奇非偶函数，不符合 题意题意 故选：故选：C 3如果如果 ba0，那么下列不等式成立的是（，那么下列不等式成立的是（ ） Alog2|b|log2|a| B Cb3a3 Dabb2 【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质【分析】利用函数
13、的单调性、不等式的基本性质即可得出即可得出 解：解：ba0，log2|b|log2|a|，b3a3，abb2 故选：故选：D 4双曲线双曲线）的一条渐近线方程为）的一条渐近线方程为 x+2y0，那么它的离心率为（，那么它的离心率为（ ） A B C D 【分析】根据双曲线【分析】根据双曲线）的一条渐近线方程为）的一条渐近线方程为 x+2y0，列出方程，求出，列出方程，求出 m 的值即可的值即可 解：解：双曲线双曲线）的一条渐近线方程为）的一条渐近线方程为 x+2y0， 可得可得，m4， 双曲线的离心率双曲线的离心率 e 故选：故选：D 5设直线设直线 l 过点过点 A（0，1），且与圆），且与
14、圆 C：x2+y22y0 相切于点相切于点 B，那么，那么（ ） ） A3 B3 C D1 【分析】 过点【分析】 过点 A （0， ， 1） 的直线） 的直线 l 与圆与圆 C： x2+y22y0 相切于点相切于点 B， 可得， 可得0 因 因 此此 （+）+r2，即可得出，即可得出 解：解：由圆由圆 C：x2+y22y0 配方为配方为 x2+（y1）21 C（0，1），半径），半径 r1 过点过点 A（0，1）的直线）的直线 l 与圆与圆 C：x2+y22y0 相切于点相切于点 B， 0； （+）+r23； 故选：故选：B 6将函数将函数 f（x）cos2x 图象上所有点向左平移图象上所有
15、点向左平移个单位长度后得到函数个单位长度后得到函数 g（x）的图象，）的图象， 如果如果 g（x）在区间）在区间0，a上单调递减，那么实数上单调递减，那么实数 a 的最大值为（的最大值为（ ） A B C D 【分析】根据条件先求出【分析】根据条件先求出 g（x）的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可）的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可 解：解：将函数将函数 f（x）cos2x 图象上所有点向左平移图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数个单位长度后得到函数 g（x）的图）的图 象，象， 则则 g（x）cos2（x+）cos（2x+），）， 设设 2x+， 则当则当 0xa 时，时
16、，02x2a，2x+2a+， 即即2a+， 要使要使 g（x）在区间）在区间0，a上单调递减，上单调递减， 则则 2a+ 得得 2a，得，得 a， 即实数即实数 a 的最大值为的最大值为， 故选：故选：B 7设点设点 A，B，C 不共线，则“不共线，则“，”是“，”是“”（”（ ） ） A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件 【分析】由于点【分析】由于点 A，B，C 不共线，则不共线，则（+） 0（+） （）0“”，根据充分必要条件”，根据充分必要条件 的定义判断即可的定义判断即可 解：解：由于点由
17、于点 A，B，C 不共线，则不共线，则（+） 0（+） （）0“”；”； 故“故“，”是“，”是“”的充分必要条件”的充分必要条件 故选：故选：C 8有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个体下底面的四个 顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为 8，如果改形塔的最，如果改形塔的最 上层正方体的边长小于上层正方体的边长小于 1，那么该塔形中正方体的个数至少是（，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ） A8 B7 C6 D4 【分
18、析】则从下往上第二层正方体的棱长为：【分析】则从下往上第二层正方体的棱长为：4，从下往上第三层正方体，从下往上第三层正方体 的棱长为：的棱长为：4， 从下往上第四层正方体的棱长为：， 从下往上第四层正方体的棱长为：2， 以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于 1 时该塔形中正方体的个数的最小时该塔形中正方体的个数的最小 值的求法值的求法 解：解：最底层正方体的棱长为最底层正方体的棱长为 8， 则从下往上第二层正方体的棱长为：则从下往上第二层正方体的棱长为：4， 从下往上第三层正方体的棱长为：从下往上第三层正方体的棱长为：4， 从下往上第四层
19、正方体的棱长为：从下往上第四层正方体的棱长为：2， 从下往上第五层正方体的棱长为：从下往上第五层正方体的棱长为：2， 从下往上第六层正方体的棱长为：从下往上第六层正方体的棱长为：， 从下往上第七层正方体的棱长为：从下往上第七层正方体的棱长为：1， 从下往上第八层正方体的棱长为：从下往上第八层正方体的棱长为：， 改形塔的最上层正方体的边长小于改形塔的最上层正方体的边长小于 1，那么该塔形中正方体的个数至少是，那么该塔形中正方体的个数至少是 8 故选：故选：A 9某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）
20、 A1 B2 C3 D0 【分析】由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数【分析】由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数 解：解：由三视图还原原几何体由三视图还原原几何体如图，如图， 其中其中ABC，BCD，ADC 为直角三角形为直角三角形 该三棱锥的表面中直角三角形的个数为该三棱锥的表面中直角三角形的个数为 3 故选：故选：C 10在声学中，声强级在声学中，声强级 L（单位：（单位：dB）由公式）由公式给出，其中给出，其中 I 为声强（单位：为声强（单位： W/m2）L160dB，L275dB，那么，那么（ ） A10 B10 C D
21、10 【分析】由【分析】由 得得 lgI12，分别算出，分别算出 I1和和 I2的值，从而得到的值，从而得到的的 值值 解：解：， L10（lgIlg10 12） ）10（lgI+12），）， lgI12， 当当 L160 时，时，lgI16，I110 6， ， 当当 L275 时，时，lgI24.5，I210 4.5， ， 10， 故选：故选：D 二、填空题共二、填空题共 5 题，每题题，每题 5 分，共分，共 25 分分 11如果复数如果复数 z 满足满足 i z1+i，那么，那么|z| （i 为虚数单位）为虚数单位） 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模
22、的计算【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算 公式求解公式求解 解：解：i z1+i， z， |z| 故答案为：故答案为： 12已知已知，那么，那么 tan sin 【分析】由已知利用诱导公式可求【分析】由已知利用诱导公式可求 cos，进而根据同角三角函数基本关系即可求解，进而根据同角三角函数基本关系即可求解 解：解：， cos，sin21cos21， tan sin 故答案为：故答案为： 13设常数设常数 aR，如果，如果的二项展开式中的二项展开式中 x 项的系数为项的系数为80，那么，那么 a 2 【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出【分析】利用二
23、项式定理的通项公式即可得出 解：解：（x2+）5的二项展开式的通项公式：的二项展开式的通项公式：Tr+1（x2）5 r arx10 3r， ， 令令 103r1，解得，解得 r3 a380， 解得解得 a2 故答案为：故答案为：2 14如果抛物线如果抛物线 y22px 上一点上一点 A（4，m）到准线的距离是）到准线的距离是 6，那么，那么 m 【分析【分析】首先求出抛物线】首先求出抛物线 y22px 的准线方程，然后根据点的准线方程，然后根据点 M（4，m）到准线的距离为）到准线的距离为 6，列出，列出 4+6，直接求出结果，直接求出结果 解：解：抛物线抛物线 y22px 的准线方程为的准线
24、方程为 x， 由题意得由题意得 4+，解得，解得 p4 点点 A（4，m）在抛物线）在抛物线 y22px 上，上， m2244， 故答案为：故答案为：4， 15某公园划船收费标准如表：某公园划船收费标准如表： 船型船型 两人船（限乘两人船（限乘 2 人）人） 四人船（限乘四人船（限乘 4 人）人） 六人船（限乘六人船（限乘 6 人）人） 每船租金（元每船租金（元/小时）小时） 90 100 130 某班某班 16 名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为 1 小时，每只租船必须坐满，小时，每只租船必须坐满， 租船最低租船最低总费用为总费用为 36
25、0 元，租船的总费用共有元，租船的总费用共有 10 种可能种可能 【分析】列出所有租船的情况，分别计算出租金，由此能求出结果【分析】列出所有租船的情况，分别计算出租金，由此能求出结果 解：解：当租两人船时，租金为：当租两人船时，租金为：720 元，元， 当租四人船时，租金为：当租四人船时，租金为：400 元，元， 当租当租 1 条四人船条四人船 6 条两人船时，租金为：条两人船时，租金为：100+690640 元，元， 当租当租 2 条四人船条四人船 4 条两人船时，租金为：条两人船时，租金为：2100+490560 元，元， 当租当租 3 条四人船条四人船 2 条两人船时，租金为：条两人船时
26、，租金为：3100+290480 元，元， 当租当租 1 条六人船条六人船 5 条条 2 人船时，租金为：人船时，租金为：130+590580 元，元， 当租当租 2 条六人船条六人船 2 条条 2 人船时，租金为：人船时，租金为：2130+290440 元，元， 当租当租 1 条六人船条六人船 1 条四人船条四人船 3 条条 2 人船时，租金为：人船时，租金为：130+100+390500 元，元， 当租当租 1 条六人船条六人船 2 条四人船条四人船 1 条条 2 人船时，租金为：人船时，租金为：130+2100+90420 元，元， 当租当租 2 条六人船条六人船 1 条四人船时，租金为
27、：条四人船时，租金为：2130+100360 元，元， 综上，租船最低总费用为综上，租船最低总费用为 360 元，租船的总费用共有元，租船的总费用共有 10 种可能种可能 故答案为：故答案为：360，10 三、解答题共三、解答题共 6 题，共题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16在在ABC 中，中， 选择选择（或（或或或） 求求 BC 边上的高边上的高 ，sinA3sinC，ac2 这三个条件中任选一个，补充在上面问题这三个条件中任选一个，补充在上面问题 中并作答中并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分注：如果选择多
28、个条件分别解答，按第一个解答计分 【分析】选择【分析】选择，利用正弦定理求得，利用正弦定理求得 a，利用余弦定理求得，利用余弦定理求得 c，再计算，再计算 BC 边上的高边上的高 选择选择，利用正弦定理得出，利用正弦定理得出 a3c，由余弦定理求出，由余弦定理求出 c，再求，再求 BC 边上的高边上的高 选择选择，利用余弦定理列方程求出，利用余弦定理列方程求出 c，再计算，再计算 BC 边上的高边上的高 解：解：选择选择，在，在ABC 中，由正弦定理得中，由正弦定理得， 即即，解得，解得 a2； 由余弦定理得由余弦定理得 b2a2+c22accosB， 即即22+c222c， 化简得化简得 c
29、22c30，解得，解得 c3 或或 c1（舍去）；（舍去）； 所以所以 BC 边上的高为边上的高为 hcsinB3 选择选择，在，在ABC 中，由正弦定理得中，由正弦定理得， 又因为又因为 sinA3sinC，所以，所以，即，即 a3c； 由余弦定理得由余弦定理得 b2a2+c22accosB， 即即（3c）2+c223cc， 化简得化简得 7c27，解得，解得 c1 或或 c1（舍去）；（舍去）； 所以所以 BC 边上的高为边上的高为 hcsinB1 选择选择，在，在ABC 中，由中，由 ac2，得，得 ac+2； 由余弦定理得由余弦定理得 b2a2+c22accosB， 即即（c+2）2+
30、c22（c+2）c， 化化简得简得 c2+2c30，解得，解得 c1 或或 c3（舍去）；（舍去）； 所以所以 BC 边上的高为边上的高为 hcsinB1 17为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取 100 名学生，收集名学生，收集 了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如表了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如表 时间时间 人数人数 学生类别学生类别 0，5） 5，10） 10，15） 15，20） 20， ，25） 25，30） 性别性别 男男 6 9 10 10 9
31、 4 女女 5 12 13 8 6 8 学段学段 初中初中 x 8 11 11 10 7 高中高中 （）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在10，20）的概率：）的概率： （）从参加公益劳动时间（）从参加公益劳动时间25，30）的学生中抽取）的学生中抽取 3 人进行面谈，记人进行面谈，记 X 为抽到高中的人为抽到高中的人 数，求数，求 X 的分布列；的分布列； （）当（）当 x5 时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长（直时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长（直 接写出结果）接写出结果）
32、 【分析】（）由图表直接利用随机事件的概率公式求解；【分析】（）由图表直接利用随机事件的概率公式求解； （）（）X 的所有可能取值为的所有可能取值为 0，1，2，3由古典概型概率公式求概率，则分布列可求；由古典概型概率公式求概率，则分布列可求； （）由图表直接判断结果（）由图表直接判断结果 解：解：（）（）100 名学生中共有男生名学生中共有男生 48 名，名， 其中共有其中共有 20 人参加公益劳动时间在人参加公益劳动时间在10，20），）， 设男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在设男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在10，20）的事件为）的事件为 A， 那么那么 P
33、（A）； （）（）X 的所有可能取值为的所有可能取值为 0，1，2，3 P（X0）；P（X1）， P（X2） ；P（X3） 随机变量随机变量 X 的分布列为：的分布列为： X 0 1 2 3 P （）初中生平均参加公益劳动时间较长（）初中生平均参加公益劳动时间较长 18如图，在三棱柱如图，在三棱柱 ADFBCE 中，平面中，平面 ABCD平面平面 ABEF，侧面，侧面 ABCD 为平行四边形，为平行四边形， 侧面侧面 ABEF 为正方形，为正方形，ACAB，AC2AB4，M 为为 FD 的中点的中点 （）求证：（）求证：FB平面平面 ACM； （）求二面角（）求二面角 MACF 的大小的大小
34、【分析】（【分析】（I）连接）连接 BD，交，交 AC 与与 O，连接，连接 MO，由，由 MOFB，得出结论；，得出结论； （II）以）以 A 为原点，为原点，AC，AB，AF 分别为分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 求出平面轴建立空间直角坐标系， 求出平面 ACM 的法向量，利用夹角公式求出即可的法向量，利用夹角公式求出即可 解：解：（I）连接）连接 BD，交，交 AC 与与 O，连接，连接 MO， 在在DFB 中，中，MOFB， 又又 FB平面平面 ACM，MO平面平面 ACM， 所以所以 FB平面平面 ACM； （II）由平面）由平面 ABCD平面平面 ABEF，ACAB，A
35、B 为平面为平面 ABCD 与平面与平面 ABEF 的交线，的交线， 故故 AC平面平面 ABEF，故，故 AFAC，又，又 AFAB，所以，所以 AF平面平面 ABCD， 以以 A 为原点，为原点，AC，AB，AF 分别为分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，轴建立空间直角坐标系， A（0，0，0），），C（4， ，0，0），），B（0，2，0），），D（4，2，0），），F（0，0，2），）， M（2，1，1），）， 设平面设平面 ACM 的法向量为的法向量为， 由由，得，得， 平面平面 ACF 的法向量为的法向量为， 由由 cos， 故二面角故二面角 MACF 的大小为的大小为 45
36、 19已知函数已知函数，其中，其中 aR （）当（）当 a0 时，求时，求 f（x）在（）在（1，f（1）的切线方程；）的切线方程； （）求证：（）求证：f（x）的极大值恒）的极大值恒大于大于 0 【分析】（）求导，代入【分析】（）求导，代入 a0，求出在，求出在 x1 处的导数值及函数值，由此即可求得切处的导数值及函数值，由此即可求得切 线方程；线方程； （）分类讨论得出极大值即可判断（）分类讨论得出极大值即可判断 解：解：（）（）， 当当 a0 时，时， 则则 f（x）在（）在（1，f（1）的切线方程为）的切线方程为； （）证明：令（）证明：令 f（x）0，解得，解得 x2 或或 xa，
37、当当 a2 时，时，f（x）0 恒成立，此时函数恒成立，此时函数 f（x）在）在 R 上单调递减，上单调递减， 函数函数 f（x）无极值；）无极值； 当当 a2 时，令时，令 f（x）0，解得，解得ax2，令，令 f（x）0，解得，解得 xa 或或 x 2， 函数函数 f（x）在（）在（a，2）上单调递增，在（，）上单调递增，在（，a），（），（2，+）上单调递减，）上单调递减， ； 当当 a2 时，令时，令 f（x）0，解得，解得 2xa，令，令 f（x）0，解得，解得 x2 或或 x a， 函数函数 f（x）在（）在（2，a）上单调递增，在（，）上单调递增，在（，2），（），（a，+）上单
38、调递减，）上单调递减， ， 综上，函数综上，函数 f（x）的极大值恒大于）的极大值恒大于 0 20已知椭圆已知椭圆 C：0）的两个焦点是）的两个焦点是 F1，F2，在椭圆在椭圆 C 上，上， 且且|MF1|+|MF2|4， O 为坐标原点， 直线为坐标原点， 直线 l 与直线与直线 OM 平行， 且与椭圆交于平行， 且与椭圆交于 A， B 两点 连两点 连 接接 MA、MB 与与 x 轴交于点轴交于点 D，E （）求椭圆（）求椭圆 C 的标准方程；的标准方程； （）求证：（）求证：为定值为定值 【分析【分析】（）根据椭圆的定义可得】（）根据椭圆的定义可得 a2，将，将 M 代入椭圆方程，即可求
39、得代入椭圆方程，即可求得 b 的值，求的值，求 得椭圆方程；得椭圆方程； （）设直线（）设直线 AB 的方程，代入椭圆方程，求得直线的方程，代入椭圆方程，求得直线 MA 和和 MB 的方程，求得的方程，求得 D 和和 E 的的 横坐标，表示出横坐标，表示出，根据韦达定理即可求证，根据韦达定理即可求证为定值为定值 解：解：（）因为，（）因为，|MF1|+|MF2|4，由椭圆的定义得，由椭圆的定义得 2a4，a2， 点点在椭圆在椭圆 C 上，代入椭圆方程，解得上，代入椭圆方程，解得 b22， 所以所以 C 的方程为的方程为； （） 证明： 设（） 证明： 设 A （x1， y1） ，） ， B （
40、x2， y2） ， 直线） ， 直线 AB 的斜率为的斜率为， 设直线， 设直线 l 的方程为的方程为， ， 联立方程组联立方程组，消去，消去 y，整理得，整理得， 所以所以， 直线直线 MA 的直线方程的直线方程为为，令，令 y0，则，则， 同理同理， 所以：所以： ， 代入整理得代入整理得， 所以所以为定值为定值 21 记无穷数列 记无穷数列an的前的前 n 项中最大值为项中最大值为 Mn， 最小值为， 最小值为 mn， 令， 令， 则称， 则称bn是是an “极差数列”“极差数列” （）若（）若 an3n2，bn的前的前 n 项和；项和； （）证明：（）证明：bn的“极差数列”仍是的“极
41、差数列”仍是bn （）求证：若数列（）求证：若数列bn是等差数列，则数列是等差数列，则数列an也是等差数列也是等差数列 【分析】（）由【分析】（）由an是递增数列，得是递增数列，得 bn，由此能求出，由此能求出bn的前的前 n 项和项和 （）推导出（）推导出 bn+1bn，（，（n1，2，3，maxb1，b2，bnminb1，b2， bnbnb1bn，由此能证明，由此能证明bn的“极差数列”仍是的“极差数列”仍是bn （） 证当数列（） 证当数列bn是等差数列时， 设其公差为是等差数列时， 设其公差为 d， bnbn1 d，an是一个单调递增数列，从而是一个单调递增数列，从而 Mnan，mna
42、1，由，由 d 0，d0，d0，分类讨论，能证明若数列，分类讨论，能证明若数列bn是等差数列，则数列是等差数列，则数列an也是等差也是等差 数列数列 解：解：（）解：无穷数列（）解：无穷数列an的前的前 n 项中最大值为项中最大值为 Mn，最小值为，最小值为 mn， an3n2， an是递增数列，是递增数列，bn ， bn的前的前 n 项和项和 Sn （）证明：（）证明：maxa1，a2，anmaxa1，a2，an+1，（，（n1，2，3， mina1，a2，anmina1，a2，an+1，（，（n1，2，3， maxa1，a2，an+1mina1，a2，an+1maxa1，a2，anmina1，a2， an，（，（n1，2，3， bn+1bn，（，（n1，2，3， b1a1
