1、2 32.根轨迹方程)()()()()(sDsNKsHsGsWgK)(sXr)(sXc)()(1)()()()(sHsGsGsXsXsWrcB0)()(1)()(1)(sDsNKsHsGsDgnjjmiipszssDsN11)()()()(令：j=1i=1mn1+Kg=0(ss+zi pi)根轨迹增益根轨迹增益Kg，不是定数，从，不是定数，从0 变化变化这种形式的特征方程就是根轨迹方程这种形式的特征方程就是根轨迹方程0)()(1)()(1)(sDsNKsHsGsDgj 1)()()()(1111jijnjjmiignjjmiiggeLlKpszsKsDsNKsHsG,2,1,0,12)()()
2、()(1111kkpszssDsNnljmiinjjmii 1)()()()(1111nllmiignjjmiiggKpszsKsDsNKsHsG6相角条件幅值条件：的矢量长度之积开环有限零点到的矢量长度之积开环极点到ss)()()()(11miinjjgzspssNsDK,2,1,0,)12(s-s,2,1,0,)12()()()()()()(11kkkkpszssDsNsHsGminjji的相角之和开环极点到的相角之和即：开环有限零点到：根轨迹的模值条件与相角条件根轨迹的模值条件与相角条件j=1mn1+K*=0(ss-zjpi)i=1j=1mnK*=1 ss-zjpii=1-1K*=mnj
3、=1 s-zj s-pii=1K*=mnj=1 s-zj s-pii=1相角条件相角条件:模值条件模值条件:幅值条件与相幅值条件与相角条件的应用角条件的应用-1.5-1-20.5-0.825=0.466 n=2.34s1=-0.825s2,3=-1.09j2.07-1.09+j2.072.2666.27o78.8o2.112.61127.53o92.49o2.072K*=2.262.112.612.072=6.006892.49o-66.27o-78.8o-127.53o=180o2022-11-14第四章 线性系统的根轨迹法92022-11-14第四章 线性系统的根轨迹法10本节内容本节内容
4、一般法则一般法则法则一、根轨迹的起点和终点法则一、根轨迹的起点和终点法则二、根轨迹的分支数和它的对称性法则二、根轨迹的分支数和它的对称性法则三、实轴上的根轨迹法则三、实轴上的根轨迹规则四、分离点和会合点规则四、分离点和会合点法则五、根轨迹的渐近线法则五、根轨迹的渐近线法则六、根轨迹与虚轴的交点法则六、根轨迹与虚轴的交点法则七、根轨迹的出射角和入射角法则七、根轨迹的出射角和入射角法则八、特征方程式根之和与根之积法则八、特征方程式根之和与根之积法则一、根轨迹的起点和终点法则一、根轨迹的起点和终点g g miinjjgzspsK11)()(gmnsmiinjjsKszspslim lim1114g
5、g当nm时，0)(111miinjjgzspsK0 1miizs:则有时,当0K15开环的零点方程011miignjjzsKps0)(1njjps当当K Kg=0g=0时时开环的极点方程n=6，m=2从这对开环极点所对应的根轨迹将如何开始和结束？例例法则二、根轨迹的分支数和它的对称性法则二、根轨迹的分支数和它的对称性17011miignjjzsKps 当当K Kg g由由00变化时，特征方程中任一变化时，特征方程中任一根由始点连续地向终点变化的轨迹称为根根由始点连续地向终点变化的轨迹称为根轨迹的一条分支；轨迹的一条分支；闭环特征方程：011miignllzsKps18法法则二、根轨迹分支数和它
6、的对称性则二、根轨迹分支数和它的对称性例如：分析点s1的情况：在s1点左侧的开环零、极点所提供的相角为0。复数的开环零点或极点和s1所提供的相角为3600。在s1点右侧的开环零、极点所提供的相角为180。法法法法20,2,1,0,21PZNN-2-2-4-4joo-3-3-1-1)4)(2()3)(1()(1SSSSSKSG法法当根轨迹分支在实轴上相交后走向当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面，此交点称为根轨迹的复平面，此交点称为根轨迹的分离点分离点。当根轨迹由复平面走向实轴时，它们在当根轨迹由复平面走向实轴时，它们在实轴上的交点称为实轴上的交点称为会合点会合点。21分离点分离点分离点：当根轨
7、迹增益从零开始增大，根轨迹从开环极点开始相向而行，当s=sd时，两个根轨迹相遇，并离开实轴进入复平面。点sd为分离点。对于实数重根来说，Kd是极大值。法法会合点是位于两个开环零点之间根轨迹的增益取极小值的点。0 0 0 0 )(W ggdsdKsDsNsNsDsDsNKsDsDsNKsDssDsKKsHsGsBgBgK或离点和会合点的方程由上述两式导出确定分必须同时满足下列方程的条件是闭环特征方程出现重根令24niimjjpdzd1111njjmiipdzd1111法法0)()()()(sDsNsNsD0dsdKg渐近线：s时，根轨迹的变化趋势。法法渐近线渐近线问题：如何得到渐近线？法法1li
8、mK lim)(lim11gmngsnjjmiisKssKpszssWmngsKmngsK)12()()(kKsmnsgmn,2,1,0)21(1800mn当时，求得的渐近线倾角最小，0k28,kmnk210 )12(mnzpnlmiilk11)Re()Re(渐近线的交点总在实轴上，即 必为实数在计算时，考虑到共轭复数极点、零点的虚部总是相互抵消，只须把开环零、极点的实部代入即可k29)3)(2()1()(ssssKsWgB开环传递函数为方法一方法二0,1)3)(2(KgdsdKssssg（舍去）79.077.047.203543,2123jddddd09013)12()12(kmnk213)
9、1(320)Re()Re(11mnzpnjmiijk)2)(1()()(1sssKsHsG解：解：在平面中确定在平面中确定开环零、极点的位置。开环零、极点的位置。-1-2j确定实轴上的根轨迹。确定实轴上的根轨迹。实轴上的实轴上的0至至-1和和-2至至-间的线间的线段为根轨迹段为根轨迹n=3,m=0,应有三个分支，并应有三个分支，并且都趋向无穷远处。且都趋向无穷远处。33180,160,03180)12(180)12(103210321aakkkkkmnkmnppp确定渐近线的位置。确定渐近线的位置。-1-2j-0.4232j2jK1=6K1=6-606034)2)(1()()(1sssKsHs
10、G-6060系统的特征方程为：系统的特征方程为：0)2)(1(1)(11sssKsG0)263(21ssdsdK求：则：则：577.1,423.06243662,1s因为分离点在至之间，故因为分离点在至之间，故为分离点的坐标，而舍弃为分离点的坐标，而舍弃423.01s577.12s用幅值条件确定分离点的增益：用幅值条件确定分离点的增益：385.0577.1577.0423.02101sssK求分离点的坐标。求分离点的坐标。)2)(1()()(1SSSKSHSG)2)(1(1sssK或或-1-2j-0.423-0.4231 10.3850.385gK法法gK结论：结论：若根轨迹与虚轴相交，则交点
11、上的若根轨迹与虚轴相交，则交点上的 值和值和 值可用以下两种方法确定：值可用以下两种方法确定：方法一方法一 用用RouthRouth判据确定。判据确定。方法二方法二 令闭环特征方程中的令闭环特征方程中的s=jws=jw，然后分，然后分别令其实部和虚部为零而求得。别令其实部和虚部为零而求得。37gK080368234KssssK s 0 26K2608 s K 26 s 0 80 8 s K 36 1 s 0123438260K ,10 求得08-80j 0K36-08-80jK36-方程直接求解j代入用s10js 026026s 方程由260时,当K2242241,22闭环特征辅助/39续前例
12、：将代入特征方程。续前例：将代入特征方程。js 0230)23(0)2)(1(123121KjjKjjKjjj当时，系统出现共轭当时，系统出现共轭虚根，此时系统处于临界稳虚根，此时系统处于临界稳定状态定状态。2j61K实部实部虚部虚部63,2020321321KK2022-11-14第四章 线性系统的根轨迹法40-6060-1-2j-0.4232j2jK1=6K1=6)2)(1()()(1sssKsHsG在确定根轨迹与虚轴的交点，求出在确定根轨迹与虚轴的交点，求出分离点，并做出渐近线以后，根轨迹的分离点，并做出渐近线以后，根轨迹的大概趋势知道了，为了能较精确大概趋势知道了，为了能较精确 的画的
13、画出根轨迹，需在分离点附近取几个试验出根轨迹，需在分离点附近取几个试验点，使其满足相角条件。然后连成光滑点，使其满足相角条件。然后连成光滑曲线，最后逐渐靠近渐近线。曲线，最后逐渐靠近渐近线。41例：求根轨迹例：求根轨迹 1）有）有4条根轨迹分支条根轨迹分支,它们的始点分别为它们的始点分别为 0，-4，-2j4 2）渐近线与正实轴的夹角渐近线与正实轴的夹角解：解：24224-1,2,3,0k ,47 ,45,43,4412A渐近线与实轴的交点为k 204420ssssKsHsG已知：已知：3 3）实轴上的实轴上的0 0至至-4-4间的线段是根轨迹间的线段是根轨迹4 4）求分离点，系统的特征方程为
14、求分离点，系统的特征方程为45.22 ,2080368803682044020443,2123402342002jssssssdsdKssssssssKKssss解之得435 5）根轨迹与虚轴交点）根轨迹与虚轴交点 ，系统等幅振荡频率与虚轴交点：振荡系统临界稳定，即等幅系统稳定10,260,260000jsKK 204420ssssKsHsG根轨迹：根轨迹：44法法问题：问题：确定根轨迹离开开环共轭复数极点确定根轨迹离开开环共轭复数极点或进入开环共轭复数零点的方向。或进入开环共轭复数零点的方向。454653211454321112 :12kk 则根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实根轨迹离开开
15、环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以轴的夹角，称为起始角，以 标志；根轨迹标志；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角，以称为终止角，以 标志。标志。kk根轨迹的起始角与终止角根轨迹的起始角与终止角,180)()(180)(110110nkjjppmipznkjjjkmiikkkjkippzp,180)()(180)(110110mkiizznjpzmkiiiknjjkkikjkzzpz法法 nnjjnjnmimiimimpspszszsKsHsG1j111110njnjmiijnjnzKpsps1111480则为21111
16、1njjnjnjnnjjjRsRsRs,n,jR上式可改写为闭环特征方程的根，设miinjjnjjzKpR111于是得：njlnjjRp1149（1 1）当）当n-m2n-m2时，闭环特征方程时，闭环特征方程n n个根之个根之和总是等于开环和总是等于开环n n个极点之和，表示了根轨个极点之和，表示了根轨迹的运动趋势。迹的运动趋势。即：当增益的变动使某些闭环极点在即：当增益的变动使某些闭环极点在s平面上平面上向左向左 移动时，则必有另一些极点移动时，则必有另一些极点向右向右移动，这样才能保证极移动，这样才能保证极点之和为常值。这对于判断根轨迹的走向很有意义。点之和为常值。这对于判断根轨迹的走向很有意义。50（2 2）闭环特征根之积乘以（）闭环特征根之积乘以（-1-1）n n ，等于，等于常数。常数。说明：说明：绘制根轨迹法则小结njjmiipdzd11110dsdKg,kmnk210 )12(mnzpnlmiilk11)Re()Re(,180)()(180)(110110nkjjppmipznkjjjkmiikkkjkippzp,180)()(180)(110110mkiizznjpzmkiiiknjjkkikjkzzpz 常常见见闭闭环环系系统统根根轨轨迹迹图图
