1、注重数学的整体性提升系统思维水平注重数学的整体性提升系统思维水平一、关于数学的整体性一、关于数学的整体性 整体是事物的一种真实存在形式。整体是事物的一种真实存在形式。数学是一个整体。数学是一个整体。数学的整体性体现在代数、几何、三角等数学的整体性体现在代数、几何、三角等各部分内容之间的相互联系上，同时也体各部分内容之间的相互联系上，同时也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上上纵向联系、横向联系。纵向联系、横向联系。学生的学习是循序渐进、逐步深入的，概学生的学习是循序渐进、逐步深入的，概念要逐个学，知识要逐步教。如何处理好念要逐个学，知识要逐步教。如何处理
2、好这种矛盾，是教学中的核心问题。这种矛盾，是教学中的核心问题。例例“反比例函数反比例函数”反映的整体性反映的整体性 学习基础学习基础：反比例关系，函数、自变量、：反比例关系，函数、自变量、函数值等概念，三种表示形式，函数图像函数值等概念，三种表示形式，函数图像的概念，一次函数、二次函数的研究经验的概念，一次函数、二次函数的研究经验（函数的研究内容、过程和方法）。（函数的研究内容、过程和方法）。研究一类函数的内容、过程研究一类函数的内容、过程：背景：背景概概念念图象与性质图象与性质简单实际应用。简单实际应用。研究方法研究方法：特殊到一般、具体到抽象；数：特殊到一般、具体到抽象；数形结合（画图像、
3、观察图像得性质等）。形结合（画图像、观察图像得性质等）。反比例函数概念的抽象过程反比例函数概念的抽象过程 概念的引入概念的引入借助具体事例，从数学概借助具体事例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；引入概念；概念属性的归纳概念属性的归纳对典型丰富的具体例对典型丰富的具体例证进行属性的分析、比较、综合，归纳不证进行属性的分析、比较、综合，归纳不同例证的共同特征；同例证的共同特征；概念的抽象与概括概念的抽象与概括下定义，给出准确下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；的数学语言描述（文字的、符号的）；概念的辨析概念的辨析以实例为载体分
4、析概念关以实例为载体分析概念关键词的意义（恰当使用反例）；键词的意义（恰当使用反例）；概念的巩固应用概念的巩固应用用概念解决简单问题用概念解决简单问题，形成用概念作判断的具体步骤；，形成用概念作判断的具体步骤；概念的概念的“精致精致”通过概念的综合应用通过概念的综合应用，建立与相关概念的联系，将概念纳入概，建立与相关概念的联系，将概念纳入概念系统。念系统。上述过程与正比例函数、一次函数、二次上述过程与正比例函数、一次函数、二次函数等概念的抽象过程是一脉相承的。函数等概念的抽象过程是一脉相承的。其实，初中教材中的概念编写思路基本上其实，初中教材中的概念编写思路基本上都按照这个都按照这个“套路套路
5、”展开。展开。反比例函数的图象和性质的研究思路反比例函数的图象和性质的研究思路 画出图象，并根据图象和函数表达式探索画出图象，并根据图象和函数表达式探索其性质。其性质。上述过程体现了研究一个数学对象的性质上述过程体现了研究一个数学对象的性质的一般过程与方法。的一般过程与方法。概念辨析概念辨析 成反比例的量和关系：成反比例的量和关系：xy=k（定值），这里（定值），这里x和和y都是可以变化的；都是可以变化的；反比例函数：体现的反比例函数：体现的“变化规律变化规律”是是“变量变量y随变量随变量x的变化而变化，且它们的积的变化而变化，且它们的积xy保持不保持不变变”。关键词：反比例；函数。关键词：反
6、比例；函数。y=1/x2，y是是x2的反比例函数，对吗？的反比例函数，对吗？注意：自变量是注意：自变量是x而不是而不是x2；“反比例函数反比例函数”是是“自变量与对应的函数值成反比例关系自变量与对应的函数值成反比例关系”。二、关于系统思维的培养二、关于系统思维的培养 数学是一个系统，理解和掌握数学知识需数学是一个系统，理解和掌握数学知识需要系统思维。系统思维就是把认识对象作要系统思维。系统思维就是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法。系统思维考察认识
7、对象的一种思维方法。系统思维能极大地简化人们对事物的认知。系统思能极大地简化人们对事物的认知。系统思维给我们带来整体观、全局观，具备系统维给我们带来整体观、全局观，具备系统思维是逻辑抽象能力强的集中表现。思维是逻辑抽象能力强的集中表现。例例“三角形三角形”研究中的系统思维研究中的系统思维 定义定义“三角形三角形”，明确它的构成要素；用，明确它的构成要素；用符号表示三角形及其构成要素；以要素为符号表示三角形及其构成要素；以要素为标准对三角形进行分类；标准对三角形进行分类；明确研究对明确研究对象象 基本性质，即研究要素之间的关系，得到基本性质，即研究要素之间的关系，得到“三角形内角和等于三角形内角
8、和等于180”等；等；研究研究“相关要素及其关系相关要素及其关系”，如，如“三角形三角形的外角等于不相邻两内角之和的外角等于不相邻两内角之和”等；等；三角形的全等（反映空间的对称性，三角形的全等（反映空间的对称性，“相相等等”是重要的数学关系，也可以看成是重要的数学关系，也可以看成“确确定一个三角形的条件定一个三角形的条件”）；）；特殊三角形的性质与判定（等腰三角形、特殊三角形的性质与判定（等腰三角形、直角三角形）；直角三角形）；三角形的变换（如相似三角形等）；三角形的变换（如相似三角形等）；直角三角形的边角关系（锐角三角函数）直角三角形的边角关系（锐角三角函数），解直角三角形；，解直角三角形
9、；解三角形（正弦定理、余弦定理）。解三角形（正弦定理、余弦定理）。把三角形作为一个系统进行研究把三角形作为一个系统进行研究 明确研究对象（定义、表示、分类）明确研究对象（定义、表示、分类）性质（要素、相关要素的相互关系）性质（要素、相关要素的相互关系）特例（性质和判定）特例（性质和判定）联系；联系；定性研究（相等、不等、对称性等）定性研究（相等、不等、对称性等）定量研究（面积、勾股定理、相似、解三定量研究（面积、勾股定理、相似、解三角形等）。角形等）。培养系统思维，是为了使学生养成全面思培养系统思维，是为了使学生养成全面思考问题的习惯，避免考问题的习惯，避免“见木不见林见木不见林”，进，进而使
10、他们在面对数学问题时，能把解决问而使他们在面对数学问题时，能把解决问题的目标、实现目标的过程、解决过程的题的目标、实现目标的过程、解决过程的优化以及对问题的拓展、深化等作为一个优化以及对问题的拓展、深化等作为一个整体进行研究。这样，整体进行研究。这样，“使学生学会思考使学生学会思考，成为善于认识和解决问题的人才，成为善于认识和解决问题的人才”就能就能落在实处。落在实处。什么叫性质？什么叫性质？性质是指事物所具有的本质，即事物内部性质是指事物所具有的本质，即事物内部稳定的联系。稳定的联系。问题：这里的问题：这里的“事物内部事物内部”指什么？指什么？“稳稳定的联系定的联系”是怎么表现的？到底怎样才
11、能是怎么表现的？到底怎样才能发现这种发现这种“联系联系”？从三角形的从三角形的“内角和为内角和为180”、“两边之两边之和大于第三边和大于第三边”、“大边对大角大边对大角”、“等等边对等角边对等角”等你想到了什么？等你想到了什么？“内部内部”可以是可以是“三角形的组成要素三角形的组成要素”，“稳定的联系稳定的联系”是指是指“三角形要素之间确三角形要素之间确定的关系定的关系”。几何对象组成要素之间确定的关系就是性几何对象组成要素之间确定的关系就是性质。质。从从“外角等于不相邻两内角的和外角等于不相邻两内角的和”、“三三条高交于一点条高交于一点”、“等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一”等又想到了
12、什么？等又想到了什么？把外角、高、中线、角平分线等叫做三角把外角、高、中线、角平分线等叫做三角形的相关要素，这些形的相关要素，这些“相关要素相关要素”也可以也可以看成是看成是“三角形的内部三角形的内部”。要素、相关要素之间确定的关系也是性质要素、相关要素之间确定的关系也是性质。两个几何事物所形成的某种位置关系所体两个几何事物所形成的某种位置关系所体现的性质，例如两条直线平行，从现的性质，例如两条直线平行，从“同位同位角相等角相等”、“内错角相等内错角相等”以及以及“同旁内同旁内角互补角互补”可以想到，这时的可以想到，这时的“性质性质”是借是借助助“第三条直线第三条直线”构成一些角，然后看由构成
13、一些角，然后看由两条直线平行这一位置关系所决定的这些两条直线平行这一位置关系所决定的这些角之间有什么确定的关系。角之间有什么确定的关系。研究两个几何事物的某种位置关系下具有研究两个几何事物的某种位置关系下具有什么性质，可以从探索这种位置关系下的什么性质，可以从探索这种位置关系下的两个几何事物与其他几何事物之间是否形两个几何事物与其他几何事物之间是否形成确定的关系入手。成确定的关系入手。圆的几何性质圆的几何性质 要素：圆心、半径、直径、弧、圆心角；要素：圆心、半径、直径、弧、圆心角；相关要素：弦、圆周角相关要素：弦、圆周角 你认为可以怎样引导学生发现和提出值得你认为可以怎样引导学生发现和提出值得
14、研究的命题？研究的命题？同（等）圆的直径大于不经过圆心的任何同（等）圆的直径大于不经过圆心的任何一条弦；一条弦；垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；所对的两条弧；在同（等）圆中：弧相等则所对的弦相等在同（等）圆中：弧相等则所对的弦相等，且弦心距也相等；两条劣弧不等，则大，且弦心距也相等；两条劣弧不等，则大弧所对的弦较大（弦心距较小）；逆定理弧所对的弦较大（弦心距较小）；逆定理也成立。也成立。切线垂直于过切点的半径。切线垂直于过切点的半径。过圆外一点所作圆的两条切线长相等。过圆外一点所作圆的两条切线长相等。你能发现一些与圆心角相关的定理吗？你能发
15、现一些与圆心角相关的定理吗？从培养系统思维的要求出发设计教学从培养系统思维的要求出发设计教学 以数学知识的发生发展过程为载体，按学以数学知识的发生发展过程为载体，按学生的认知规律设计教学，使学生经历研究生的认知规律设计教学，使学生经历研究一个数学对象的基本过程，提高发现和提一个数学对象的基本过程，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，培养认出问题、分析和解决问题的能力，培养认识和解决问题的能力。识和解决问题的能力。数学化的过程数学化的过程相似相似对内容的认识对内容的认识 初中几何，包括图形的认识、测量、运动初中几何，包括图形的认识、测量、运动或变化、性质和证明以及位置等。或变化、性质和证明
16、以及位置等。相似是相似是“图形的变化图形的变化”的主要内容，研究的主要内容，研究的主题是图形形状之间的关系，图形的位的主题是图形形状之间的关系，图形的位似还涉及图形的位置关系，因此也是似还涉及图形的位置关系，因此也是“图图形的认识形的认识”的深化；投影与视图则是在三的深化；投影与视图则是在三维图形与二维图形的转化中，体现出维图形与二维图形的转化中，体现出“图图形的变化形的变化”。两种两种“图形的变换图形的变换”轴对称、旋转或平移变换：改变了图形的轴对称、旋转或平移变换：改变了图形的位置但不改变图形的形状和大小；位置但不改变图形的形状和大小；相似变换：改变了图形的位置和大小，图相似变换：改变了图
17、形的位置和大小，图形的形状则保持不变。形的形状则保持不变。三角形的相似是三角形的相似是“相似相似”的核心内容。的核心内容。“相似相似”与与“全等全等”一般与特殊。一般与特殊。类比全等三角形，安排相似的内容，引导类比全等三角形，安排相似的内容，引导学生探索相似三角形的判定和性质及在实学生探索相似三角形的判定和性质及在实际测量中的应用。际测量中的应用。位似图形是一种具有特殊位置关系的相似位似图形是一种具有特殊位置关系的相似图形，可用来放大或缩小图形；在直角坐图形，可用来放大或缩小图形；在直角坐标系中研究位似，用坐标之间的关系表示标系中研究位似，用坐标之间的关系表示位似，渗透用代数方法研究几何变换的
18、思位似，渗透用代数方法研究几何变换的思想。想。“相似相似”的内容结构的内容结构 图形的相似图形的相似 通过生活实例，在学生感受相似图形的基通过生活实例，在学生感受相似图形的基础上，给出相似图形的概念，再特殊化给础上，给出相似图形的概念，再特殊化给出相似多边形概念，并从定义出发给出判出相似多边形概念，并从定义出发给出判定两个多边形相似的方法，以及相似多边定两个多边形相似的方法，以及相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质。形对应角相等、对应边成比例的性质。相似三角形相似三角形 按照按照“定义定义判定判定性质性质应用应用”的顺序展开。的顺序展开。定义：相似图形的特殊化，既是判定也是定义：相似图形的
19、特殊化，既是判定也是性质。性质。判定：类比全等三角形的判定，提出寻找判定：类比全等三角形的判定，提出寻找判定三角形相似的任务。判定三角形相似的任务。“判定定理判定定理”的构建过程的构建过程 从定义出发，关键是从定义出发，关键是“对应边成比例对应边成比例”；通过旋转、平移等变换，移到通过旋转、平移等变换，移到“一个角重一个角重合、一条边平行合、一条边平行”的位置，于是的位置，于是“平行截平行截割割”成为出发点成为出发点基本事实；基本事实；特殊化：平行于三角形一边的直线截其他特殊化：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；段成比
20、例；预备定理：平行于三角形一边的直线和其预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似；三个判定定理；三个判定定理；特殊化：相似直角三角形的判定定理。特殊化：相似直角三角形的判定定理。降低了难度但保持了相似三角形的主干内降低了难度但保持了相似三角形的主干内容，体现了公理化思想。容，体现了公理化思想。“性质定理性质定理”的构建过程的构建过程通过“思考”栏目引出问题，明确探究方向：通过“探究”栏目引导学生探究并证明相似三角形性质：锐角三角函数锐角三角函数对内容的认识对内容的认识 三角形是最简单而基本的封闭图形，而空三角形是最简
21、单而基本的封闭图形，而空间的大部分基本性质都已经在三角形的几间的大部分基本性质都已经在三角形的几何性质中得到充分体现。所以，三角形成何性质中得到充分体现。所以，三角形成为平面几何所研究的主角，就在于它既简为平面几何所研究的主角，就在于它既简单而又能充分反映空间的本质。而在三角单而又能充分反映空间的本质。而在三角形中，等腰三角形和直角三角形是最为基形中，等腰三角形和直角三角形是最为基本的。本的。定性平面几何研究的主题是定性平面几何研究的主题是“全等形全等形”和和“平行性平行性”。其中有两个核心内容，一是。其中有两个核心内容，一是三角形内角和定理，二是等腰三角形的性三角形内角和定理，二是等腰三角形
22、的性质。质。定量平面几何中，要对不等长的两条线段定量平面几何中，要对不等长的两条线段、不同大小的两个角区或不同大小的两个、不同大小的两个角区或不同大小的两个区域，赋予两者之间定量的比值去度量两区域，赋予两者之间定量的比值去度量两者之间的差异。这时，平行性扮演着举足者之间的差异。这时，平行性扮演着举足轻重的轻重的“角色角色”，其作用是大大简化了定，其作用是大大简化了定量几何的基础理论和基本公式。由此得到量几何的基础理论和基本公式。由此得到的是简朴好用的矩形面积公式、勾股定理的是简朴好用的矩形面积公式、勾股定理和相似三角形定理。和相似三角形定理。三角学就是以这三个定理为基础，讨论三三角学就是以这三
23、个定理为基础，讨论三角形的各种几何量（三边长、三个内角的角形的各种几何量（三边长、三个内角的度数、面积、高、外径和内径等）之间的度数、面积、高、外径和内径等）之间的函数关系，锐角三角函数则是讨论直角三函数关系，锐角三角函数则是讨论直角三角形各种几何量之间的函数关系，它为讨角形各种几何量之间的函数关系，它为讨论一般三角形奠定了基础。因此，研究直论一般三角形奠定了基础。因此，研究直角三角形的种种性质对定量平面几何有奠角三角形的种种性质对定量平面几何有奠基作用。基作用。“锐角三角函数锐角三角函数”就是在研究勾股定理、就是在研究勾股定理、相似三角形的基础上，进一步讨论直角三相似三角形的基础上，进一步讨
24、论直角三角形的边角之间的关系，主要内容是正弦角形的边角之间的关系，主要内容是正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，并、余弦和正切等锐角三角函数的概念，并综合运用这些知识解直角三角形综合运用这些知识解直角三角形锐角三角函数的定义过程锐角三角函数的定义过程 以以“比萨斜塔纠偏问题比萨斜塔纠偏问题”引入，以引入，以“对于对于直角三角形，我们已经知道三边之间、两直角三角形，我们已经知道三边之间、两个锐角之间的关系，它的边角之间有什么个锐角之间的关系，它的边角之间有什么关系呢？关系呢？”提出问题，然后研究锐角的正提出问题，然后研究锐角的正弦，再给出锐角的余弦、正切。弦，再给出锐角的余弦、正切。锐角的正弦
25、的定义锐角的正弦的定义 先利用先利用“直角三角形中，直角三角形中，30角所对的边角所对的边是斜边的一半是斜边的一半”，得到，得到30角所对的边与角所对的边与斜边的比值；再讨论斜边的比值；再讨论45、60角所对的角所对的边与斜边的比值；然后讨论一般情况：相边与斜边的比值；然后讨论一般情况：相似直角三角形中，一个锐角的对边与斜边似直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比，随着这个锐角的变化而变化，随着的比，随着这个锐角的变化而变化，随着它的确定而唯一确定，把它的确定而唯一确定，把RtABC中锐角中锐角A的对边与斜边的比叫做的对边与斜边的比叫做A的正弦。的正弦。锐角三角函数概念的展开锐角三角函数概念的
26、展开 课题的引入课题的引入 从实际需要看（比萨斜塔纠偏从实际需要看（比萨斜塔纠偏问题）；从数学内部看（以往讨论了直角问题）；从数学内部看（以往讨论了直角三角形边与边的关系、角与角的关系，边三角形边与边的关系、角与角的关系，边与角有没有确定的关系？）。与角有没有确定的关系？）。概念属性的归纳概念属性的归纳 例证例证1 从最熟悉的开始，从最熟悉的开始，30角所对的边与斜边的比值是角所对的边与斜边的比值是1/2。思考：由这个结论能解决什么问题？思考：由这个结论能解决什么问题？当当A=30时，已知斜边就可求出时，已知斜边就可求出A的的对边，反之也然。对边，反之也然。例证例证2 等腰直角三角形中，锐角等
27、腰直角三角形中，锐角A的对边与的对边与斜边的比是多少？由此能解决什么问题？斜边的比是多少？由此能解决什么问题？归纳：任意给定锐角归纳：任意给定锐角A，A的对边与斜边的对边与斜边的比值是否为一个确定的值？的比值是否为一个确定的值？概念的明确与表示概念的明确与表示 下定义，用符号表示。下定义，用符号表示。定义的辨析定义的辨析（1）A为为RtABC的锐角，的锐角，ABC的大小可以变化，但的大小可以变化，但A的对边与斜的对边与斜边的比值不变，即对于每一个锐角边的比值不变，即对于每一个锐角A都有唯都有唯一确定的比值与之对应，这个比值叫做一确定的比值与之对应，这个比值叫做A的正弦；（的正弦；（2）符号）符
28、号sinA的理解的理解一个由一个由A唯一确定的数，例如唯一确定的数，例如sin30=1/2；等。；等。概念的巩固应用概念的巩固应用 已知直角三角形的边求正已知直角三角形的边求正弦值等。弦值等。概念的精致概念的精致 解直角三角形。解直角三角形。关于关于“解三角形解三角形”教学设计中，加强思想方法、解决问题的教学设计中，加强思想方法、解决问题的策略等方面的思考：策略等方面的思考：如何发现问题；如何发现问题；从定性到定量地研究问题；从定性到定量地研究问题；将新问题化归为旧问题；将新问题化归为旧问题；从知识的相互联系性思考问题；等等。从知识的相互联系性思考问题；等等。如何研究一个数学对象（问题）如何研
29、究一个数学对象（问题）数学中，往往是在定性研究问题后，希望数学中，往往是在定性研究问题后，希望得到定量的结果。一个三角形有六个要素得到定量的结果。一个三角形有六个要素，由全等三角形的，由全等三角形的“基本事实基本事实”SSSSSS，SASSAS，ASAASA，你能提出什么新的问题？，你能提出什么新的问题？六个要素中，只要知道三个（其中至少有六个要素中，只要知道三个（其中至少有一个是边），三角形就唯一确定。也就是一个是边），三角形就唯一确定。也就是说，其余三个要素可以由这三个要素唯一说，其余三个要素可以由这三个要素唯一确定。从定量角度，由这三个要素可以求确定。从定量角度，由这三个要素可以求出其余
30、三个要素。出其余三个要素。关于解直角三角形关于解直角三角形关于解三角形关于解三角形 对于对于“解三角形解三角形”，你会哪些知识？，你会哪些知识？会解直角三角形，对于一般三角形，只有会解直角三角形，对于一般三角形，只有“内角和定理内角和定理”。给定两边一夹角，求其他边、角给定两边一夹角，求其他边、角化归化归为直角三角形。为直角三角形。还有没有其他方法？还有没有其他方法？从知识的联系性从知识的联系性出发，与解三角形相关的知识还有哪些？出发，与解三角形相关的知识还有哪些？怎么用？怎么用？你还能提出哪些问题？你还能提出哪些问题？对于一个确定的三角形，其外接圆是唯一对于一个确定的三角形，其外接圆是唯一确
31、定的，因此外接圆的半径可以用三角形确定的，因此外接圆的半径可以用三角形的边、角来表示。怎样用三角形的边、角的边、角来表示。怎样用三角形的边、角来表示它的外接圆半径？来表示它的外接圆半径？对于一个确定的三角形，它的高、中线、对于一个确定的三角形，它的高、中线、角平分线、面积等都是唯一确定的，怎样角平分线、面积等都是唯一确定的，怎样用三角形的边、角来表示它们的度量？用三角形的边、角来表示它们的度量？一个三角形包含的各种几何量，如三边的一个三角形包含的各种几何量，如三边的边长、三个内角的度数、面积、外径、内边长、三个内角的度数、面积、外径、内径、高、中线长、角平分线长等，这是三径、高、中线长、角平分
32、线长等，这是三角形这个整体中的各种要素。对它们之间角形这个整体中的各种要素。对它们之间存在的各种函数关系的研究中，可以体现存在的各种函数关系的研究中，可以体现出系统思维的力量，在培养学生的系统思出系统思维的力量，在培养学生的系统思维、掌握维、掌握“认识、解决问题的方法认识、解决问题的方法”、提、提高发现和提出问题、分析和解决问题的能高发现和提出问题、分析和解决问题的能力等方面都能发挥很好的作用。力等方面都能发挥很好的作用。加强认识和解决问题方法的教学加强认识和解决问题方法的教学 如何获得研究对象；如何获得研究对象；构建研究数学对象的基本线索；构建研究数学对象的基本线索；发现和提出值得研究的具体
33、问题；发现和提出值得研究的具体问题；掌握研究问题的基本方法。掌握研究问题的基本方法。例例 投影与视图投影与视图对内容的认识对内容的认识 中心投影、平行投影的事例随处可见，与中心投影、平行投影的事例随处可见，与投影相关的概念都与现实生活紧密相关。投影相关的概念都与现实生活紧密相关。平行投影是三视图的学习基础。平行投影是三视图的学习基础。投影与视图涉及立体图形与平面图形间的投影与视图涉及立体图形与平面图形间的转化，要利用直观感知、动手操作等学习转化，要利用直观感知、动手操作等学习方式，是培养空间观念的好载体。方式，是培养空间观念的好载体。本章顺序：投影本章顺序：投影三视图三视图课题学习课题学习（制
34、作立体模型）。（制作立体模型）。投影投影 按照从一般到特殊的线索展开，重点讨论按照从一般到特殊的线索展开，重点讨论正投影问题。正投影问题。从实例引出投影的概念及其分类（平行投从实例引出投影的概念及其分类（平行投影、中心投影）；影、中心投影）；通过通过“思考思考”，引导学生比较和认识中心，引导学生比较和认识中心投影与平行投影的投影线的区别，以及平投影与平行投影的投影线的区别，以及平行投影中行投影中“斜投影斜投影”与与“正投影正投影”的区别的区别，进而给出正投影的概念；，进而给出正投影的概念；再通过再通过“探究探究”，借助生活经验，讨论正，借助生活经验，讨论正投影中基本而重要的线段、正方形的投影投
35、影中基本而重要的线段、正方形的投影问题：问题：线段与投影面的位置关系（有且只有平行线段与投影面的位置关系（有且只有平行、倾斜和垂直三种），不同位置关系下线、倾斜和垂直三种），不同位置关系下线段的正投影的形状、线段与其正投影的大段的正投影的形状、线段与其正投影的大小关系：小关系：正方形与投影面的位置关系（有且只有平正方形与投影面的位置关系（有且只有平行、倾斜和垂直三种），不同位置关系下行、倾斜和垂直三种），不同位置关系下正方形的正投影的形状、正方形与其正投正方形的正投影的形状、正方形与其正投影的大小关系；影的大小关系；在此基础上，归纳出正投影的一般规律。在此基础上，归纳出正投影的一般规律。编写思
36、路：从生活实例中抽象出投影的概编写思路：从生活实例中抽象出投影的概念念投影的分类（以投影线的位置关系投影的分类（以投影线的位置关系为分类标准）为分类标准）特殊的投影（正投影）特殊的投影（正投影）的概念和性质。的概念和性质。在正投影性质的讨论中，一是关注了简单在正投影性质的讨论中，一是关注了简单但基本而重要的问题，即线段、正方形的但基本而重要的问题，即线段、正方形的正投影（其实就是线、面的正投影问题的正投影（其实就是线、面的正投影问题的代表）；二是根据线、面与投影面的不同代表）；二是根据线、面与投影面的不同位置讨论它们之间的形状、大小关系（要位置讨论它们之间的形状、大小关系（要素之间的相互关系就
37、是性质）。素之间的相互关系就是性质）。三视图三视图 包括三视图的概念、画立体图形（实物）包括三视图的概念、画立体图形（实物）的三视图、由三视图想象立体图形（实物的三视图、由三视图想象立体图形（实物）以及利用三视图知识解决度量问题。立）以及利用三视图知识解决度量问题。立体图形限制在直棱柱、圆柱、圆锥、球或体图形限制在直棱柱、圆柱、圆锥、球或它们的组合。它们的组合。本节是本节是“投影投影”知识的应用，先借助生活知识的应用，先借助生活实例介绍视图的概念，这里实例介绍视图的概念，这里“从某一方向从某一方向看看”相当于相当于“某一方向的平行投影线某一方向的平行投影线”，因此看到的平面图形是物体在这个方向
38、光因此看到的平面图形是物体在这个方向光线下的正投影。再介绍三视图，直接指出线下的正投影。再介绍三视图，直接指出三视图的投影面是三个互相垂直的平面，三视图的投影面是三个互相垂直的平面，介绍三视图的成像原理、三视图的位置和介绍三视图的成像原理、三视图的位置和度量规定，然后是度量规定，然后是5个例题，画三视图、判个例题，画三视图、判断简单物体的视图、根据视图描述简单几断简单物体的视图、根据视图描述简单几何体等。何体等。结束语 数学育人数学育人使学生在数学学习中使学生在数学学习中树立自信，坚定正念，树立自信，坚定正念，增强定力，激励精进，增强定力，激励精进，启迪智慧，净化心灵。启迪智慧，净化心灵。谢谢倾听谢谢倾听请提宝贵意见请提宝贵意见
