1、17.3 17.3 Green 公式公式 (I)(I)（George Green，17931841）一、一、Green公式及简单应用公式及简单应用二、二、曲线积分与路径无关性曲线积分与路径无关性三、三、二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积主主 要要 内内 容容一、一、Green公式及简单应用公式及简单应用复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域区区域域连连通通性性的的分分类类 .1,为平面区域为平面区域设设 D内任一闭曲线内任一闭曲线如果如果 D,D所围成的部分都属于所围成的部分都属于为平面单连为平面单连则称则称 D;通区域通区域.否则称为复连通区域否则称为复连通区域DD公式公式Green
2、 .2定理定理1 1则有则有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(公式公式 Green函数函数注：注：的的正正方方向向的的边边界界曲曲线线LD ,当当人人沿沿边边界界行行走走时时.)(的左侧的左侧他他总在她总在她区域区域D负方向负方向?右侧右侧DD LDQdyPdxdxdyyPxQ)(待证表达式待证表达式 LDQdydxdyxQ LDPdxdxdyyP等价于证明等价于证明型区域型区域y型区域型区域x分析：分析：证明依赖于区域的形状证明依赖于区域的形状 单连通单连通复连通复连通 型型又又既既yx 一般区域一般区域oxyDab)(1xy )(2xy cd)(2yx )(1yx ABCE证明证明:)
3、,()(),(21bxaxyxyxD ),()(),(21dycyxyyxD oxyDcd)(2yx )(1yx ABCE DdxdyxQ dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),(EACCBEdyyxQdyyxQ),(),(LdyyxQ),(dxxQdyyydc )()(21 同理可证同理可证 LDdxyxPdxdyyP),(两式相加得两式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(LD1D2D3D 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ型型型又是型又是分成三个既是分成三个既是用光滑曲线将用光滑曲线将 yxD.,321DDD的区
4、域的区域LD1L2L3L1D2D3D 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdxGFCE3L2L1LAB,2BALABD的边界线由的边界线由则则CGAEC及及,3LCEAFC.构成构成 DdxdyyPxQ)(CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3,2 知知由由 LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx.LDQdyPdxdxdyQPyx:便于记忆的形式便于记忆的形式D简简单单应应用用 .3xyoLABBOABOAL LDxdydxdy BOABOAxdyxdyxdy.412rdxd
5、yxdyDAB 简简化化曲曲线线积积分分)1(1987年考研试卷一，一年考研试卷一，一(4)18 LxxdyaxyedxyxbyeI)cos()(sin(3 求求例例).00(2)0,2(2，到到沿曲线沿曲线从点从点其中其中OxaxyaAL .)4()22(,9 2222 LdyxxdxyxyIyxL求求取正向的圆周取正向的圆周设设例例1999年考研试卷一，四年考研试卷一，四解解xyoLD.022 LyxydxxdyL1Drlyxo lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy.2 (注意格林公式的条件注意格林公式的条件)drrr
6、22222sincos 20所以所以.,)1(,)01(,4 522取取逆逆时时针针方方向向为为半半径径的的圆圆周周为为中中心心，是是以以点点其其中中计计算算例例 RRLyxydxxdyL解解.)0,0(),(,)4(4 22222 yxxQyxxyyP,4:222ayxlL 内内取取一一小小椭椭圆圆在在2000年考研试卷一、五年考研试卷一、五.方方向向为为逆逆时时针针方方向向并并取取l lLyxydxxdyyxydxxdyI222244 lydxxdya21 2224221ayxdxdya:公式知公式知由由Green.Green公式应用技巧公式应用技巧:,)(内无奇点内无奇点Di则则所围区域
7、为所围区域为是封闭曲线是封闭曲线如如,.1DL;直直接接用用,)(内内有有奇奇点点Dii;挖挖掉掉再再用用,.2是是非非封封闭闭曲曲线线如如L.先先补补再再用用不闭则补，出奇则挖不闭则补，出奇则挖计算二重积分计算二重积分)2(xyoAB11D BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 e计计算算平平面面面面积积)3(格林公式格林公式 LDyQxPyxyPxQdddd推论推论:正向闭曲线正向闭曲线L L所围区域所围区域D D的面积的面积,dd21 LxyyxA,LxdyA.LydxA例如例如,椭圆椭圆 20,sincos:byaxL所围面积所围面积
8、.LxyyxAdd21ab 解解 LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0,(aANM AMOydxxdy21.61420adxxaa Ll例例8为平面上封闭曲线为平面上封闭曲线,为任意方向向量为任意方向向量，0),cos(LdsnlnL则则的外法线方向。的外法线方向。为为(,)la b (cos(,),cos(,)nn xn y L(cos(,),cos(,)(cos(,),cos(,)t xt yn xn y 证明：设证明：设，的切线方向的切线方向2222cos(,)cos(,)cos(,)LLabl n dsn xn y dsabab 22222222cos
9、(,)cos(,)0LLababt yt x dsdydxabababab =Guvuvdxdydsnnuvuv 例例(coscos)(coscos)uvuuvvdsvudsnnxyxyuv(coscos)(coscos)()cos()cos()cos(,)()cos(,)uuvvvudsxyxyuvvvvuvudsxxyyuvvvvut yvut x dsxxyy 证明：证明：=()()()()Duvuvvudxvudyyyxxuvuvvuvudxdyxxxyyy 22222222Dv uuu vvv uuu vvvuvudxdyx xxx xxy yyy yy ()DGuvv uu v d
10、xdyduv ),(yxuDD0(0,0)D 22xyDxuyudxdyxy D222211(0,0)22xyDDxuyuxdyydxuudxdyxyxy 例例7 7：设：设在分段光滑闭曲线在分段光滑闭曲线围成的有界闭区域围成的有界闭区域上连续一阶偏导数上连续一阶偏导数 在在上可积证明上可积证明 222(,)Dx y xy DDD 设设，证明证明：222222222222DDDDDxdyydxuxuyudxdyxyyxyxxyuxuydxdyyxyxxyxuxyuydxdyxy =2sin02222sin*,sin()2cos,sinxyDuconu xdyydxdxyu 而而0 2222110,022DDxdyydxxuxyuyuudxdyxyxy 令令 1.1.连通区域的分类连通区域的分类;2.2.二重积分与曲线积分的关系二重积分与曲线积分的关系;3.Green3.Green公式的简单应用公式的简单应用.LDQdyPdxdxdyyPxQ)(小结小结 .4 DabDI0,0,20,0,0 思考题：思考题：习题17.3n1（1）（3）n2（1）（3）n3，5，6
