位移矩阵与极点学习培训课件.ppt

1、n4.1 位移矩阵与极点 E平面从E1到E2，可以认为是绕某一固定点的一次有限转动而完成。这个固定点P12称为关于E1到E2，的有限转动极点，简称极极点点或极极。12212112APA E平面从E1到E2的转动角位移12为第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合极点极点)(111222ABRAB E平面上的两个参考点A和B对应平面E的E1和E2位置的坐标矩阵为A1、B1和 A2、B2，因此有 式中，1212121212css-cRTB2B22TB1B11TA2A22TA1A11,yxyxyxyxBBAA第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平

2、面运动几何学与平面机构运动学综合第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合)(111222ABRAB 将 改写成 用齐次坐标可表示为100s)c-(1css)c-(1s-c10012P12P121212P12P1212121212xyyxdRD1211211221122dBRARABRB111001112112122BDBdRB12D 式中，称为E平面的位移矩阵，xp和yp为极点的坐标。第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合 如图，E平面为一直角三角形，其上参考点A的两个相关点坐标 。转角位移为 。E平面上B点

3、的第一个相关点 。求B2的坐标和极点P12的坐标。TB2B227323041106c06s06s-06c231306c06s06s-06c.,.yxB1211211221122dBRARABRB,T1 1,1 A6012T1 1,3B 解解：由 得T22,3A第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合为求P12的坐标，由 得 111122BDB11310006sx)06c-(106c06s06s)06c-(106s-06c1732.30.4PPPPyyxPPPP.86605.0634.0.86605.0366.3xyyx展开，整理得232.3134.1P

4、Pyx解得n4.2 相关点共线和相关点共圆 1.相关点共线01112211yxyxyx E平面上P点的两个相关点P1和P2总可以连成一直线，若第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合T222T111,yxPyxP，则直线方程为0111332211yxyxyx 若给定E平面上的三个位置，要保证P点的三个相关点P1、P2和P3共线，则应有第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合0112121FEyDxAyAx 展开上式，并将P2和P3点用x1和y1表示，得)2(23)3(13)3(23)2(13)2(21)3(23

5、)3(21)2(23)2(13)3(13)2(21)3(13)2(21)2(13)3(23)2(231312)3(21)2(21c1c1ddddFddddBdBdEddddBdCdDCBBdCdA 式中，将方程 变成标准形，得第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合0112121FEyDxAyAx 这是圆的标准方程。这个圆用 表示，称为运动平面E的有限分离位置问题的回转圆有限分离位置问题的回转圆。22221214422AAFEDAEyADx123C 若给定E平面上的四个位置，要保证P点的四个相关点P1、P2、P3和P4共线，则应有0101421321,

6、jjj,iii,y,x,y,x 这是两个圆，即 和 。如果它们存在实交点，则称为有限分离位置问题的有限分离位置问题的Ball点点。123C124C 2.相关点共圆 E平面上与曲柄相连的活动铰链A的中心的相关点A1、A2，到曲柄转动中心A0的距离不变，即第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合,.3,2)()()()(01T010T0jAAAAAAAAjj 式中，TA0A00TAjAj,yxAyxAj,.3,2)()()()(01T010111T0111jAAAAAdARAdARjjjjjjjAA111dR 将 代入上式，得 将 改写为第四章第四章 平面

7、运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合)()()()(01T010111T0111AAAAAdARAdARjjjj,.3,200jGyFxEjAjAj)(5.0)()()1()1(2)(232)(13)(23)(22)(13)(121)(23)(21)(13)(111)(23)(221)(211)(13)(121)(111jjjjjjAjjjjAjjjAjAjjjAjAjddddddyddddxGddydxFddydxE 式中，方程组 具有2个未知数 ，因,.3,200jGyFxEjAjAj00,AAyx此，j3时，有惟一确定的解。00AAyx 和 给定E平面上的3个

8、位置，可选E平面上任意一点为A，通过解方程得到A0。第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合 给定E平面上的4个位置，就变成了给定3个方程，求解2个未知数的问题，这变成了超定方程组问题。当超定方程组的系数满足相容条件时，才有解。相容条件为0444333222GFEGFEGFE 这是关于xA1和yA1的三次方程。满足上式的点称为圆点圆点。它们的集合是一条三阶曲线，称为圆圆点点曲线曲线，用 表示。31234C 任选xA1或yA1的值（例如yA1的值），得到关于xA1的三次方程，解方程求得的xA1值。第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几

9、何学与平面机构运动学综合3030320202GyFxEGyFxEAAAA)(5.0)()()1()1(2)(232)(13)(23)(22)(13)(121)(23)(21)(13)(111)(23)(221)(211)(13)(121)(111jjjjjjAjjjjAjjjAjAjjjAjAjddddddyddddxGddydxFddydxE 得到E2、E3、F2、F3、G2、G3。进一步解方程组 得 xA0和yA0，也即圆点A的 将xA1和yA1的值代入下式 曲柄转动中心A0的坐标。它是过圆点A的四个相关点的圆的圆心，称为中点中点。第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几

10、何学与平面机构运动学综合 给定E平面上的4个位置，固定平面上中点的全体是一条三阶曲线，它与圆点曲线 相对应，称为中点曲线中点曲线，记为 。31234C31234C 也可以直接确定中点。为此将方程,.3,200jGyFxEjAjAj)(5.0)1()1(2)(232)(13)(230)(130)(120)(220)(23)(22)(13)(12)(210)(110)(23)(21)(13)(11jjjAjAjjAjAjjjjjjAjAjjjjjdddydxGdxdyddddFdydxddddE 式中，,.3,211jGyFxEjAjAj 改写为 给定E平面上的4个位置，就变成了给定3个方程，求解

11、2个未知数的问题，这变成了超定方程组问题。当超定方程组的系数满足相容条件时，才有解。第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合 相容条件为0444333222GFEGFEGFE 这是关于xA0和yA0的三次方程。满足此方程的点就是中点中点。它们的集合是一条三阶曲线，就是中点曲线中点曲线，即表示为 。31234C 给定E平面上的5个位置，就变成了给定4个方程，求解4个未知数xA1、yA1、xA0和yA0，的问题。这样4个未知数都不能自由选择，必须完全由方程解出。直接解非线性方程组是很困难的，可以把一个j2,3,4,5的5位置问题转化为j2,3,4和j=2,

12、3,5的两个位置问题，然后再求两个4个位置问题的公共解，就是5个位置问题的解。n4.3 导向机构的综合实例 1.导引连杆平面通过三个有限分离位置的机构 例例1 设E平面的三个位置由平面上的参考点P的3个相关点P1、P2、P3的坐标及两个转角位移规定如下：P11,1T，P22,0.5T，P33,1.5T，120，1345。设计一平面铰链四杆机构，使连杆上点P满足设计要求。第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合 解法解法1 设输入杆B0B上两个铰链的坐标B0 xB0,yB0

13、T和B1xB1,yB1T。因为是3个位置问题，所以4个变量中可任选2个，这里选择B00,0T。位置变量xB1,yB1可由以下方程组求得3131321212GyFxEGyFxEBBBB)(5.0)(5.02)3(232)3(133)3(23)3(22)3(13)3(123)3(23)3(21)3(13)3(1132)2(232)2(132)2(23)2(22)2(13)2(122)2(23)2(21)2(13)2(112ddGddddFddddEddGddddFddddE 式中，第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合 由 得 解得：5.0，1)2(23

14、)2(13dd111001112112122PDPdRP1111001001111100000015.02)2(23)2(13)2(23)2(13dddcsdsc 因此1005.010101)2(33)2(32)2(31)2(23)2(22)2(21)2(13)2(12)2(1112dddddddddD第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合 由 得 解得：086.0，3)3(23)3(13dd111001113113133PDPdRP111100707.0707.0707.0707.01111004545454515.13)3(23)3(13)3(2

15、3)3(13dddcsdsc 因此100086.0707.0707.03707.0707.0)3(33)3(32)3(31)3(23)3(22)3(21)3(13)3(12)3(1113dddddddddD第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合504.4)086.03(5.0)(5.0060.2086.0.70703707.0182.2086.0.70703707.0625.0)5.0(1 5.0)(5.05.0)5.0(1101)5.0(011222)3(232)3(133)3(23)3(22)3(13)3(123)3(23)3(21)3(13)3

16、(113222)2(232)2(132)2(23)2(22)2(13)2(122)2(23)2(21)2(13)2(112ddGddddFddddEddGddddFddddE 根据D12和D13的表达式，得 第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合 将504.4，060.2，182.2625.0，5.0，1333222GFEGFE 得 504.4060.2182.2625.05.01111BBBByxyx3131321212GyFxEGyFxEBBBB 解方程，得 238.3994.011BByx 代入以下方程第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动

17、学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合 设输出杆C0C上两个铰链的坐标C0 xC0,yC0T和C1xC1,yC1T。因为是3个位置问题，所以4个变量中可任选2个，这里选择C05,0T。位置变量xC1,yC1可由以下方程组求得 3131321212GyFxEGyFxECCCC 式中，)(5.0)1()1()(5.0)1()1(2)3(232)3(13)3(230)3(1303)3(120)3(220)3(23)3(22)3(13)3(123)3(210)3(110)3(23)3(21)3(13)3(1132)2(232)2(13)2(230)2(1302)2(120)2(220)2(23)2(

18、22)2(13)2(122)2(210)2(110)2(23)2(21)2(13)2(112dddydxGdxdyddddFdydxddddEdddydxGdxdyddddFdydxddddECCCCCCCCCCCC 第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合 由1005.010101)2(33)2(32)2(31)2(23)2(22)2(21)2(13)2(12)2(1112dddddddddD375.4)5.0(1 5.0-)5.0(015)(5.05.005)11(0)5.0(110)1(100)11(5)5.0(011)1(222)2(232)2

19、(13)2(230)2(1302)2(120)2(220)2(23)2(22)2(13)2(122)2(210)2(110)2(23)2(21)2(13)2(112 dddydxGdxdyddddFdydxddddECCCCCC 得375.45.01222 GFE第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合 由 得10.4961.4753.647333 GFE100086.0707.0707.03707.0707.0)3(33)3(32)3(31)3(23)3(22)3(21)3(13)3(12)3(1113dddddddddD10.496)086.03(

20、5.0086.0035)(5.01.475707.05)707.01(0086.00.70730.707)1(3.6470.7070)0.7071(50.0860.70730.707)1(222)3(232)3(13)3(230)3(1303)3(120)3(220)3(23)3(22)3(13)3(123)3(210)3(110)3(23)3(21)3(13)3(113 dddydxGdxdyddddFdydxddddECCCCCC第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合 将 得 496.10475.1647.3375.45.01111CCCCyxy

21、x 3131321212GyFxEGyFxECCCC 解方程，得 655.1548.311CCyx 代入以下方程10.4961.4753.647333 GFE375.45.01222 GFE第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合 解法解法2 设输入杆B0B上两个铰链的坐标B0 xB0,yB0T和B1xB1,yB1T。因为是3个位置问题，所以4个变量中可任选2个，这里选择B10.994,3.238T。位置变量xB0,yB0可由以下方程组求得3030320202GyFxEGyFxEBBBB 式中，)(50)()()1(1()(50)()()1()1(2(

22、3)232(3)13(3)23(3)22(3)13(3)121B(3)23(3)21(3)13(3)111B3(3)23(3)221B(3)211B3(3)13(3)121B(3)111B32(2)232(2)13(2)23(2)22(2)13(2)121B(2)23(2)21(2)13(2)111B2(2)23(2)221B(2)211B2(2)13(2)121B(2)111B2dd.ddddyddddxGddydxFddy)dxEdd.ddddyddddxGddydxFddydxE第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合 由 得 解得：5.0，1)

23、2(23)2(13dd111001112112122PDPdRP1111001001111100000015.02)2(23)2(13)2(23)2(13dddcsdsc 因此1005.010101)2(33)2(32)2(31)2(23)2(22)2(21)2(13)2(12)2(1112dddddddddD第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合 由 得 解得：086.0，3)3(23)3(13dd111001113113133PDPdRP111100707.0707.0707.0707.01111004545454515.13)3(23)3(13

24、)3(23)3(13dddcsdsc 因此100086.0707.0707.03707.0707.0)3(33)3(32)3(31)3(23)3(22)3(21)3(13)3(12)3(1113dddddddddD第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合 根据D12和D13的表达式，得 0)(50)()(1600)1(41901(0)(50)()(50)1(1)1(2(3)232(3)13(3)23(3)22(3)13(3)121B(3)23(3)21(3)13(3)111B3(3)23(3)221B(3)211B3(3)13(3)121B(3)111

25、B32(2)232(2)13(2)23(2)22(2)13(2)121B(2)23(2)21(2)13(2)111B2(2)23(2)221B(2)211B2(2)13(2)121B(2)111B2dd.ddddyddddxG.ddydxF.ddy)dxEdd.ddddyddddxG.ddydxFddydxE000160041900500000003030320202BBBBBBBBBByxy.x.y.xGyFxEGyFxE第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合 选定C13.548,-1.655T后，求位置变量xC0,yC0的方法与上述求取的xB0,

26、yB0方法类似，可得C05,0T，具体过程这里不再赘述。例例2 设计一平面双滑块机构，引导连杆平面E到达三个位置。平面E的三个位置由平面上的参考点P的3个相关点P1、P2、P3的坐标及两个转角位移规定如下：P11,1T P22,0T P33,2T 1230 1360 第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合 解解 首先求回转圆 的方程的具体表达式。)2(23)3(13)3(23)2(13)2(21)3(23)3(21)2(23)2(13)3(13)2(21)3(13)2(

27、21)2(13)3(23)2(231312)3(21)2(21c1c1ddddFddddBdBdEddddBdCdDCBBdCdA 式中，22221212422AAFEDAEyADx123C第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合 由 得 解得：366.1，634.1)2(23)2(13dd111001112112122PDPdRP1111000.8660.50.50.86611110003030303102)2(23)2(13)2(23)2(13dddcsdsc 因此100366.10.866.50.63410.5-0.866)2(33)2(32)2

28、(31)2(23)2(22)2(21)2(13)2(12)2(1112dddddddddD第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合 由 得 解得：634.0，366.3)3(23)3(13dd111001113113133PDPdRP1111005.0866.0866.05.011110060606060123)3(23)3(13)3(23)3(13dddcsdsc 因此100634.05.0866.0.3663866.05.0)3(33)3(32)3(31)3(23)3(22)3(21)3(13)3(12)3(1113dddddddddD第四章第四章

29、 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合 根据D12和D13的表达式，得 627.5366.1366.3634.0634.1866.15.0634.0866.0366.1634.15.0366.3134.0036.15.0366.3866.0634.1634.0134.01.3660.50.5c10.134c3010.1340.8660.1340.50.5)2(23)3(13)3(23)2(13)2(21)3(23)3(21)2(23)2(13)3(13)2(21)3(13)3(21)2(13)3(23)2(2313)3(21)2(21ddddFddddCdBdE

30、ddddBdCdDCBBdCdA第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合22221214422AAFEDAEyADx22121629.4963.6866.3yx 将 代入 得22221214422AAFEDAEyADx627.5866.1036.10.134FEDA 假设两条导路的方向由a和b 确定，则 12121212tantanBBBBAAAAxxyyxxyyba第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合1366.1866.00.5634.15.00.866111111111222AAAAAAAAyxyxyx

31、yxD22121629.4963.6866.3AAyx 由111111366.1866.00.5634.15.00.866tanAAAAAAxyxyyxa 得 取a30，可得 并与 联立，可解得 。11AAyx，696.10134.111AAyx，第四章第四章 平面运动几何学与平面机构运动学综合平面运动几何学与平面机构运动学综合1366.1866.00.5634.15.00.866111111111222BBBBBBBByxyxyxyxD 由22121629.4963.6866.3BByx111111366.1866.00.5634.15.00.866tanBBBBBBxyxyyxb 得 取b102.3，可得 并与 联立，可解得 。11BByx，339.2931.311BByx，