1、 6.1 FIR数字滤波器特性数字滤波器特性 6.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器 6.3 利用频率采样法设计利用频率采样法设计FIR滤波器滤波器 6.4 IIR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较11/14/20221FIR数字滤波器的系统函数数字滤波器的系统函数H(z)可以表示为可以表示为 通过对通过对h(n)的适当地约束，可以很容易实现严格的适当地约束，可以很容易实现严格的的FIR数字滤波器线性相位特性。数字滤波器线性相位特性。6.1.1 线性相位条件线性相位条件 设设FIR数字滤波器单位序列响应数字滤波器单位序列响应h(n)的长度为的长度为N，则该滤波器的频
2、谱函数可写为则该滤波器的频谱函数可写为 10NnnznhzH jgNnnjjeHenheH1011/14/20222Hg()称为幅度特性，称为幅度特性，()称为相位特性。称为相位特性。H(ej)的线性相位特性是指的线性相位特性是指()是是的线性函数，的线性函数，即即 ()=-（第一类线性相位第一类线性相位）当然，如果当然，如果()满足下式满足下式 ()=0-（第二类线性相位第二类线性相位）以上两种情况都满足群时延是一个常数的特点：以上两种情况都满足群时延是一个常数的特点：dd11/14/202231、如果如果h(n)是实序列是实序列，且满足下式且满足下式，则则H(ej)相位特性属于第一类线性相
3、位。相位特性属于第一类线性相位。h(n)=h(N-n-1)可以证明可以证明 10212121101101101121212121NnNnNnNNnnNnNnnNNnnNzznhzzzznhznhzznhzHzzHzH11/14/20224将将z=ej代入得代入得 则幅度特性则幅度特性Hg()和相位特性和相位特性()可以分别表示可以分别表示为为 102121cosNnNjjezjNnnhezHeH 101021cos21cosNnNngnNnhNnnhH 21N11/14/202252、如果如果h(n)是实序列是实序列，且满足下式且满足下式，则则H(ej)相位特性属于第二类线性相位。相位特性属于
4、第二类线性相位。h(n)=-h(N-n-1)可以证明可以证明 10212121101101101121212121NnNnNnNNnnNnNnnNNnnNzznhzzzznhznhzznhzHzzHzH11/14/20226将将z=ej代入得代入得 则幅度特性则幅度特性Hg()和相位特性和相位特性()可以分别表示可以分别表示为为 10212102121sin21sinNnNjjNnNjjezjnNnheenNnhjezHeH 1021sinNngnNnhH 212N11/14/20227总而言之，在众多总而言之，在众多FIR数字滤波器当中，当滤波数字滤波器当中，当滤波器单位序列响应器单位序列响
5、应h(n)是实序列，同时对于是实序列，同时对于 对称对称（奇对称或偶对称），就能保证（奇对称或偶对称），就能保证FIR数字滤波器相位数字滤波器相位特性特性()满足线性相位特性，通常把这类滤波器称为满足线性相位特性，通常把这类滤波器称为线性相位线性相位FIR数字滤波器或线性相位数字滤波器或线性相位FIR滤波器。滤波器。6.1.2 线性相位线性相位FIR滤波器幅度特性的特点滤波器幅度特性的特点当当h(n)序列长度序列长度N取奇数或偶数时，对滤波器幅取奇数或偶数时，对滤波器幅度特性度特性Hg()也会有影响，因此，对于两种类型的线也会有影响，因此，对于两种类型的线性相位，通常把它们分成四种情况进行讨论
6、。性相位，通常把它们分成四种情况进行讨论。21N11/14/202281、第一类线性相位条件：第一类线性相位条件：h(n)=h(N-n-1)，当当N=奇数时，属于情况奇数时，属于情况1。线性相位线性相位FIR滤波器幅度特性滤波器幅度特性Hg()可以写为可以写为这样幅度特性可以进一步表示为这样幅度特性可以进一步表示为 1021cosNngnNnhH 23021cos221NngnNnhNhH 210cosNngnnaH 21,2,1,212210NnnNhnaNha11/14/20229或或 210cosNngnnaH 21,2,1,212210NnnNhnaNha20 21N1 Nnh(n)n
7、a(n)0002 210cosNngnnaH21N1N11/14/2022102、第一类线性相位条件：第一类线性相位条件：h(n)=h(N-n-1)，当当N=偶数时，属于情况偶数时，属于情况2。分析推导过程和前面分析推导过程和前面N=奇数相似，不同点是由奇数相似，不同点是由于于N=偶数，偶数，Hg()中没有单独项，相等的项合并成中没有单独项，相等的项合并成N/2项。即项。即或或 1201021cos221cosNnNngnNnhnNnhH 2121cosNngnnbH 2,2,1,22NnnNhnb11/14/202211对于自变量对于自变量，当当=时，余弦项为零，且关于时，余弦项为零，且关于
8、=奇对称，同时在奇对称，同时在=处有一个零点，使得处有一个零点，使得Hg()=0。具体情况如图所示。具体情况如图所示。从上图的幅度特性从上图的幅度特性Hg()可以看到，当可以看到，当N=偶数偶数时时，以第一类线性相位条件构造出的以第一类线性相位条件构造出的FIR滤波器，滤波器，不适合设计数字高通和带阻滤波器。不适合设计数字高通和带阻滤波器。20 21N1 Nnh(n)nb(n)0002 2121cosNngnnbH2N1N11/14/2022123、第二类线性相位条件：第二类线性相位条件：h(n)=-h(N-n-1)，当当N=奇数时，属于情况奇数时，属于情况3。对于第二类线性相位条件，对于第二
9、类线性相位条件，由于由于h(n)=-h(N-n-1)，将相同项合并将相同项合并，得得 或或 23021sin2NngnNnhH 211sinNngnncH 21,2,1,212NnnNhnc11/14/202213由于在由于在=0，2时，时，Hg()中的正弦项为零中的正弦项为零，因此，幅度特性，因此，幅度特性Hg()在在=0，2处均为零，处均为零，且且Hg()对于对于=0，2呈奇对称。呈奇对称。20 212N1 Nnh(n)nc(n)0002 211sinNngnncH21N1N211/14/2022144、第二类线性相位条件：第二类线性相位条件：h(n)=-h(N-n-1)，当当N=偶数时，
10、属于情况偶数时，属于情况4。分析推导过程和前面分析推导过程和前面N=奇数的情况奇数的情况3相似，不相似，不同点是同点是N=偶数。这时偶数。这时 或或 1201021sin221sinNnNngnNnhnNnhH 2121sinNngnndH 2,2,1,22NnnNhnd11/14/202215由于在由于在=0，2时，时，Hg()中的正弦项为零，因中的正弦项为零，因此，幅度特性此，幅度特性Hg()在在=0，2处均为零，且处均为零，且Hg()对于对于=0，2呈奇对称，对于呈奇对称，对于=呈偶对称。具体呈偶对称。具体情况如图所示情况如图所示20 212N1 Nnh(n)nd(n)0002 2121
11、sinNngnndH2N1N211/14/202216以上情况以上情况1和情况和情况2可用于选频滤波器，但需要可用于选频滤波器，但需要同时注意情况同时注意情况2不适合设计数字高通和带阻滤波器。不适合设计数字高通和带阻滤波器。情况情况3和情况和情况4对于任何频率都有一个固定的对于任何频率都有一个固定的/2相移，相移，通常微分器和通常微分器和90相移器可以采用这两种情况。相移器可以采用这两种情况。6.1.3 线性相位线性相位FIR滤波器零点分布和网滤波器零点分布和网络结构络结构 线性相位线性相位FIR滤波器是众多滤波器是众多FIR数字滤波器数字滤波器当中的特例，因此，它的零点分布和网络结构都有当中
12、的特例，因此，它的零点分布和网络结构都有其特殊性，下面就分别进行介绍。其特殊性，下面就分别进行介绍。11/14/2022171、线性相位、线性相位FIR滤波器零点分布滤波器零点分布 FIR滤波器系统函数滤波器系统函数H(z)在在Z平面上有平面上有N-1个零点个零点和和N-1个极点，极点皆位于原点，而零点可处于有限个极点，极点皆位于原点，而零点可处于有限Z平面内的任何位置。对于第一类和第二类线性相位平面内的任何位置。对于第一类和第二类线性相位的的FIR滤波器的系统函数，综合起来可以用下式表示：滤波器的系统函数，综合起来可以用下式表示：如果如果z=zi是系统函数是系统函数H(z)的零点，其倒数也必
13、定的零点，其倒数也必定是是H(z)的零点。又因为，的零点。又因为，h(n)是实序列，是实序列，H(z)的零点的零点必定共轭成对出现，因此，必定共轭成对出现，因此，和和 也是其零点。也是其零点。11zHzzHNiz1iz11/14/202218线性相位的线性相位的FIR滤波器系统函数滤波器系统函数H(z)的零点分布的零点分布总结成以下四种情况：总结成以下四种情况：(1)如果是不在单位圆上的实零点，则以一对零如果是不在单位圆上的实零点，则以一对零点出现，如图中的点出现，如图中的z1和和 ；(2)如果是不在单位圆上的复数零点，则以四个如果是不在单位圆上的复数零点，则以四个为一组地出现，它们对应于复数
14、共轭和倒数，如图为一组地出现，它们对应于复数共轭和倒数，如图中的中的z2、和和 ；(3)如果有一零点在单位圆上，它的倒数也就是如果有一零点在单位圆上，它的倒数也就是它的共扼，这样在单位圆上的复数零点就成对出现它的共扼，这样在单位圆上的复数零点就成对出现，如图中的，如图中的z3和和 ；11z12z2z12z3z11/14/202219(4)如果在如果在z=1处的零点，其倒数和复数共轭都处的零点，其倒数和复数共轭都是它自己，在图中表示为是它自己，在图中表示为z4。zRe zImz4z111zz22z12zz33z 12z图6.1-5 线性相位FIR滤波器零点分布11/14/2022202、线性相位
15、、线性相位FIR滤波器网络结构滤波器网络结构 设线性相位设线性相位FIR滤波器的单位序列响应滤波器的单位序列响应h(n)的长的长度为度为N，如果如果N为偶数，则有为偶数，则有 令令m=N-n-1，则有则有 因为因为FIR滤波器具有线性相位特性，则滤波器具有线性相位特性，则 h(n)=h(N-n-1)1212010NNnnNnnNnnznhznhznhzH 120112012011201011NnnNNnnNmmNNnnNnnznNhznhzmNhznhznhzH11/14/202221式中式中“+”代表第一类线性相位，代表第一类线性相位，“-”代表第代表第二类线性相位，可得二类线性相位，可得
16、如果如果N为奇数，则将中间项为奇数，则将中间项h(N-1)/2单独列出，单独列出，可得可得 1201NnnNnzznhzH 211210121NNnnNnzNhzznhzH11/14/202222 第一类线性相位特性的网络结构第一类线性相位特性的网络结构 x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶数N 奇数h(N3)/2)h(N/22)11/14/202223第二类线性相位特性的网络结构第二类线性相位特性的网络结构 x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h
17、(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶数N 奇数111111111h(N3)/2)h(N/22)11/14/2022246.2.1 窗函数设计法的基本思想窗函数设计法的基本思想 假设希望设计的滤波器传输函数为假设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ej)，hd(n)是与其对应的单位序列响应，因此有是与其对应的单位序列响应，因此有 设计时给出所要设计滤波器设计时给出所要设计滤波器Hd(ej)的具体指标，的具体指标，进而得到进而得到hd(n)的表达式，再经的表达式，再经Z变换即可得到滤波器变换即可得到滤波器的系统函数。的系统函
18、数。nnjdjdenheH deeHnhnjjdd2111/14/202225假设要求设计一个低通滤波器，其频谱函数假设要求设计一个低通滤波器，其频谱函数Hd(ej)可表示为可表示为相应的单位序列响应相应的单位序列响应hd(n)为为 由上式可以看到，理想低通滤波器的单位序列由上式可以看到，理想低通滤波器的单位序列响应响应hd(n)是一个无限长，且非因果序列。是一个无限长，且非因果序列。为了构造一个长度为为了构造一个长度为N的线性相位的线性相位FIR数字滤波数字滤波器，只有将器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。对称。ccjjdeeH,0
19、,nndeenhcccnjjdsin2111/14/202226设截取的一段序列用设截取的一段序列用h(n)表示，即表示，即 nRnhnhNd(a)(b)(c)000nnnhd(n)RN(n)h(n)=hd(n)RN(n)121NN-1N-1111/14/202227这样实现滤波器的单位序列响应就变为这样实现滤波器的单位序列响应就变为h(n)，它的长度为它的长度为N，所对应的系统函数为所对应的系统函数为 利用有限长度为利用有限长度为N的单位序列响应的单位序列响应h(n)去替代去替代hd(n)，会产生误差，表现在频域就是通常所说的吉会产生误差，表现在频域就是通常所说的吉布斯布斯(Gibbs)效应
20、。吉布斯效应能够引起通带内和阻效应。吉布斯效应能够引起通带内和阻带内的波动，使阻带内的衰减减小。带内的波动，使阻带内的衰减减小。吉布斯效应产生的原因是由于将吉布斯效应产生的原因是由于将hd(n)直接截断直接截断所引起的，因此，它也称为截断效应，如何选择窗所引起的，因此，它也称为截断效应，如何选择窗函数以减小截断效应，成为线性相位函数以减小截断效应，成为线性相位FIR数字滤波数字滤波器设计的关键。器设计的关键。10NnnznhzH11/14/202228显然，在利用有限长度为显然，在利用有限长度为N的单位序列响应的单位序列响应h(n)去替代去替代hd(n)时，序列长度时，序列长度N越大，越大，h
21、(n)就越接近于就越接近于hd(n)，这样所引起的误差就越小。这样所引起的误差就越小。下面就讨论利用矩形窗进行截断所带来的问题。下面就讨论利用矩形窗进行截断所带来的问题。时域相乘对应于频域卷积，因此，频域描述为时域相乘对应于频域卷积，因此，频域描述为式中式中 deReHeReHeHjNjdjNjdj2121 jNNnnjNnnjNjNeReenReR1010 21,2sin2sinNNRN11/14/202229理想低通滤波器可以表示成为理想低通滤波器可以表示成为 通过化简以后可得到的系统函数是通过化简以后可得到的系统函数是 线性相位线性相位FIR数字低通滤波器的幅度特性数字低通滤波器的幅度特
22、性H()等于理想低通滤波器幅度特性等于理想低通滤波器幅度特性Hd()和矩形窗幅度特和矩形窗幅度特性性RN()的卷积。的卷积。jdjdeHeH ccdH,0,1 NdRHH2111/14/202230矩矩形形窗窗对对理理想想低低通通滤滤波波器器的的影影响响11/14/202231H()和原理想低通滤波器幅度特性和原理想低通滤波器幅度特性Hd()有着有着明显的区别，这些差别主要表现在以下几方面：明显的区别，这些差别主要表现在以下几方面：(1)在幅度特性在幅度特性Hd()的不连续点的不连续点=c附近形成附近形成过渡带宽度近似等于过渡带宽度近似等于RN()主瓣宽度，即主瓣宽度，即4/N。(2)在过渡带
23、两侧形成持续时间很长，逐渐衰减在过渡带两侧形成持续时间很长，逐渐衰减的波纹，即通带内增加了波动，在的波纹，即通带内增加了波动，在c-2/N处出现最处出现最大的肩峰值。而阻带内产生了余振，在大的肩峰值。而阻带内产生了余振，在c+2/N处处出现绝对值最大的负肩峰。出现绝对值最大的负肩峰。以上两点就是用窗函数以上两点就是用窗函数RN()直接截断直接截断Hd()后，后，在频域中的反映，称之为吉布斯效应。在频域中的反映，称之为吉布斯效应。11/14/202232调控窗口长度调控窗口长度N只能有效地控制过渡带的宽度只能有效地控制过渡带的宽度，不能减少带内波动和加大阻带衰减。，不能减少带内波动和加大阻带衰减
24、。6.2.2 常用的窗函数常用的窗函数在利用窗函数法设计线性相位在利用窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器数字滤波器时，较为理想的窗函数应具有以下特性：时，较为理想的窗函数应具有以下特性：(1)所选窗幅度特性的主瓣应该尽量的窄，同时所选窗幅度特性的主瓣应该尽量的窄，同时需要包含尽可能多的能量，以获得较陡的过渡带。需要包含尽可能多的能量，以获得较陡的过渡带。(2)所选窗幅度特性的旁瓣应该尽可能小，使肩所选窗幅度特性的旁瓣应该尽可能小，使肩峰和波纹减少，从而得到平坦的幅度特性，以及足峰和波纹减少，从而得到平坦的幅度特性，以及足够的阻带衰减。够的阻带衰减。11/14/2022331、矩形窗、矩形窗(
25、Rectangle Window)wR(n)=RN(n)可以得到其频率响应为可以得到其频率响应为 主瓣宽度为主瓣宽度为4/N，第一旁瓣比主瓣低第一旁瓣比主瓣低13dB。2、三角形窗三角形窗(Bartlett Window)三角形窗有时也被称作巴特利特窗，它的时域三角形窗有时也被称作巴特利特窗，它的时域描述形式为描述形式为 121102sin2sinNjNnnjNjReNenReW 1121,1221210,12NnNNnNnNnnwBr11/14/202234其频率响应为其频率响应为 主瓣宽度为主瓣宽度为8/N，第一旁瓣比主瓣低第一旁瓣比主瓣低26dB。2122sin4sin2NjjBreNN
26、eW11/14/2022353、汉宁、汉宁(Hanning)窗窗 汉宁窗有时也被称作升余弦窗，它的时域描述汉宁窗有时也被称作升余弦窗，它的时域描述形式为形式为其频率响应为其频率响应为 幅度特性可以表示为幅度特性可以表示为 主瓣宽度为主瓣宽度为8/N，第一旁瓣比主瓣低第一旁瓣比主瓣低31dB。其它,010,12cos121NnNnnwHn 121121225.05.0NjRRRjHneNWNWWeW NWNWWWRRRHn2225.05.011/14/2022364、哈明、哈明(Hamming)窗窗 哈明窗是一种改进型的汉宁窗，它的时域描述哈明窗是一种改进型的汉宁窗，它的时域描述形式为形式为 哈
27、明窗的幅度特性可以表示为哈明窗的幅度特性可以表示为这种改进的汉宁窗，能量更加集中在主瓣中，这种改进的汉宁窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量约占主瓣的能量约占99.96%，第一旁瓣峰值比主瓣低，第一旁瓣峰值比主瓣低40dB，但主瓣宽度和汉宁窗相同，仍为但主瓣宽度和汉宁窗相同，仍为8/N。其它,010,12cos46.054.0NnNnnwHm 121223.054.0NWNWWWRRRHm11/14/2022375、布莱克曼、布莱克曼(Blackman)窗窗 对汉宁窗再加一个二次谐波的余弦分量，这样得对汉宁窗再加一个二次谐波的余弦分量，这样得到的窗函数就是布莱克曼窗，其时域描述形式为到的窗函数
28、就是布莱克曼窗，其时域描述形式为 布莱克曼窗的幅度特性可以表示为布莱克曼窗的幅度特性可以表示为 第一旁瓣峰值比主瓣低第一旁瓣峰值比主瓣低57dB，但主瓣宽度是矩但主瓣宽度是矩形窗的形窗的3倍，为倍，为12/N。其它,010,14cos08.012cos5.042.0NnNnNnnwBl 141404.0121225.042.0NWNWNWNWWWRRRRRBl11/14/2022386、凯塞、凯塞贝塞尔贝塞尔(Kaiser-Basel)窗窗 凯塞凯塞贝塞尔窗有时也简称为凯塞窗，它是一贝塞尔窗有时也简称为凯塞窗，它是一种适应性较强的窗函数族，在旁瓣峰值幅度确定的种适应性较强的窗函数族，在旁瓣峰值
29、幅度确定的条件下，可以最大限度地减小主瓣宽度，在各种窗条件下，可以最大限度地减小主瓣宽度，在各种窗函数中接近最佳。其时域描述形式为函数中接近最佳。其时域描述形式为 I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数。是零阶第一类修正贝塞尔函数。10,00NnIInwk21121Nn11/14/2022396.2.3 用窗函数法设计用窗函数法设计FIR滤波器滤波器 用窗函数设计线性相位用窗函数设计线性相位FIR滤波器步骤如下：滤波器步骤如下：1、根据技术要求确定待求滤波器的单位序列响、根据技术要求确定待求滤波器的单位序列响应应hd(n)给出待求滤波器的频谱函数给出待求滤波器的频谱函数Hd(ej)，那么单位那么
30、单位序列响应序列响应hd(n)可以应用下式求出可以应用下式求出 如果如果Hd(ej)比较复杂，可以对比较复杂，可以对Hd(ej)在在0到到2范围内进行范围内进行M点采样，得到其采样值，应用下点采样，得到其采样值，应用下式进行计算。式进行计算。deeHnhnjjdd2111/14/202240hM(n)与与hd(n)应满足如下关系应满足如下关系 实际计算上式时，可以用实际计算上式时，可以用Hd(ej)的的M点采样值，点采样值，进行进行M点点IDFT(IFFT)得到。得到。如果给定的技术要求为通带和阻带衰减，以及如果给定的技术要求为通带和阻带衰减，以及滤波器的边界频率的要求，这时就可以选用理想滤滤
31、波器的边界频率的要求，这时就可以选用理想滤波器作为逼近函数。波器作为逼近函数。10221MkknMjkMjdMeeHMnh rdMrMnhnh11/14/2022412、根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函、根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度数的形式，并估计窗口长度N 由于过渡带由于过渡带近似与窗口长度近似与窗口长度N成反比，这样成反比，这样就可以表示为就可以表示为 式中，式中，A的选择取决于窗口形式，例如，矩形的选择取决于窗口形式，例如，矩形窗窗A=4，哈明窗哈明窗A=8等，等，根据对过渡带及阻带衰根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，其原则是在保证阻
32、减的要求，选择窗函数的形式，其原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函数数w(n)。AN11/14/2022423、计算滤波器的单位序列响应、计算滤波器的单位序列响应h(n)在得到在得到hd(n)和和w(n)以后，就可以利用下式计算以后，就可以利用下式计算h(n)，即即 h(n)hd(n)w(n)如果要求线性相位，则要求如果要求线性相位，则要求hd(n)和和w(n)均对均对(N-1)/2对称，前面介绍的几种窗函数均可以保证对对称，前面介绍的几种窗函数均可以保证对(N-1)/2偶对称。偶对称。如果希望如果希望h(n)对对(N-1)/2
33、奇对称，只要保奇对称，只要保证证hd(n)对对(N-1)/2奇对称就可以了。奇对称就可以了。11/14/2022434、验算技术指标是否满足要求、验算技术指标是否满足要求 设计出的滤波器频率响应可以应用下式进行计算设计出的滤波器频率响应可以应用下式进行计算 上式计算时，通过适当的变换，然后采用上式计算时，通过适当的变换，然后采用FFT算法算法实现。如果实现。如果H(ej)不符合技术指标要求，则需要根据具不符合技术指标要求，则需要根据具体情况，重复步骤体情况，重复步骤2，3，4步直到满足要求为止。步直到满足要求为止。注意：注意：例例6.2-1 小结：小结：窗函数设计法是一种从时域出发的设计方窗函
34、数设计法是一种从时域出发的设计方法，具有简单、方便、实用的优点，它的缺点是边界法，具有简单、方便、实用的优点，它的缺点是边界频率不易控制。频率不易控制。10NnnjjenheH11/14/202244FIR数字滤波器的窗函数设计法，其基本设计思数字滤波器的窗函数设计法，其基本设计思想是使所设计的想是使所设计的FIR数字滤波器的单位序列响应数字滤波器的单位序列响应h(n)逼近所需的逼近所需的hd(n)，所以它是一种时域设计方法。但是所以它是一种时域设计方法。但是在工程实践中，更多的是给定频域上的技术指标，因在工程实践中，更多的是给定频域上的技术指标，因此，采用频域设计法将更为方便和直接。此，采用
35、频域设计法将更为方便和直接。11/14/2022456.3.1 FIR网络的频率采样结构网络的频率采样结构 设设FIR滤波器单位序列响应长度为滤波器单位序列响应长度为M，系统函数系统函数为为H(z)，则频域采样值则频域采样值H(k)可以用下式表示可以用下式表示 要求频率域采样点数要求频率域采样点数NM。实际上提供了一种频率采样的实际上提供了一种频率采样的FIR网络结构，即网络结构，即式中式中 Hc(z)=1-z-N 10,2NkzHkHkNjez 101NkkczHzHNzH 11zWkHzHkNk11/14/202246H(z)是由是由Hc(z)和和N个个Hk(z)的并联结构进行级联的并联结
36、构进行级联构成的，其中把构成的，其中把Hc(z)称为梳状滤波器。称为梳状滤波器。y(n)z1z1 zNH(0)H(1)H(N1)0NW1NW1NNWz1N111/14/202247反馈支路均由反馈支路均由Hk(z)产生，其产生，其N个极点等间隔的个极点等间隔的分布在单位圆上，但是需要同时注意，梳状滤波器分布在单位圆上，但是需要同时注意，梳状滤波器Hc(z)的零点也分布在单位圆上，的零点也分布在单位圆上，N个零点刚好和个零点刚好和N个极点一一对应，理论上讲零、极点能够相互抵消，个极点一一对应，理论上讲零、极点能够相互抵消，这正好保证了网络的稳定性。这正好保证了网络的稳定性。从结构上看，频率采样结
37、构从结构上看，频率采样结构FIR网络适合于设网络适合于设计窄带滤波器。计窄带滤波器。可以看到，可以看到，FIR网络的频率采样结构具有以下网络的频率采样结构具有以下两个突出的优点：两个突出的优点：(1)在频率采样点在频率采样点k上，只要调整上，只要调整H(k)，就可以就可以有效地调整频响特性，得到不同的系统函数；有效地调整频响特性，得到不同的系统函数；11/14/202248(2)只要只要h(n)长度长度N相同，对于任何频响特性，相同，对于任何频响特性，其梳状滤波器部分和其梳状滤波器部分和N个一阶网络部分结构都是完个一阶网络部分结构都是完全相同的，只是各支路增益全相同的，只是各支路增益H(k)不
38、同。这样的结构不同。这样的结构形式便于标准化、模块化。形式便于标准化、模块化。然而，上述频率采样结构亦有两个缺点：然而，上述频率采样结构亦有两个缺点：(1)系统稳定是靠位于单位圆上的系统稳定是靠位于单位圆上的N对零、极点对零、极点对消来保证的；对消来保证的；(2)在结构中，在结构中，H(k)和和 一般为复数，要求乘一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。kNW11/14/202249为了克服上述缺点，对为了克服上述缺点，对FIR网络的频率采样结网络的频率采样结构做以下修正构做以下修正：(1)将单位圆上的零、极点向单位圆内收缩
39、一点，将单位圆上的零、极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径为收缩到半径为r的圆上，取的圆上，取r 1且且r1。此时此时H(z)就就变为变为(2)将网络结构中的一阶网络合并为二阶网络，将网络结构中的一阶网络合并为二阶网络，这时构造出的新网络放大系数均为实数。这时构造出的新网络放大系数均为实数。101111NkkNrNNzrWkHNzrzH11/14/2022506.3.2 频率采样法的基本思想频率采样法的基本思想 基本思想是使所设计的基本思想是使所设计的FIR数字滤波器，在频数字滤波器，在频率采样点上的值，准确地等于所需设计滤波器对应率采样点上的值，准确地等于所需设计滤波器对应点上的值，而其它频率
40、处则有较好的逼近特性。下点上的值，而其它频率处则有较好的逼近特性。下面就进行具体的分析。面就进行具体的分析。设待设计滤波器的频谱函数用设待设计滤波器的频谱函数用Hd(ej)表示，在表示，在=0到到2之间等间隔采样之间等间隔采样N点，得到点，得到Hd(k)，即即 再对再对N点的点的Hd(k)进行进行IDFT，得到得到h(n)。1,1,0,2NkeHkHkNjdd 1,1,0,1102NnekHNnhNkknNjd11/14/202251在上式中，在上式中，h(n)就是所设计的滤波器的单位序就是所设计的滤波器的单位序列响应，其系统函数列响应，其系统函数H(z)可表示为可表示为 归纳起来，频率采样设
41、计法基本设计思路如下：归纳起来，频率采样设计法基本设计思路如下：确定频率特性指标确定频率特性指标Hd(ej)频率采样后得到频率采样后得到Hd(k)IDFT后得到后得到h(n)H(z)10NnnznhzH11/14/2022526.3.3 频率采样法需要解决的问题与对策频率采样法需要解决的问题与对策 存在两个需要解决的问题：一个是如何保证存在两个需要解决的问题：一个是如何保证FIR滤波器的线性相位特性；另一个是如何减小逼滤波器的线性相位特性；另一个是如何减小逼近误差，增大阻带衰减。近误差，增大阻带衰减。1、用频率采样法设计线性相位滤波器的条件、用频率采样法设计线性相位滤波器的条件具有线性相位具有
42、线性相位FIR滤波器，其单位序列响应滤波器，其单位序列响应h(n)首先是实序列，其次需要满足等式首先是实序列，其次需要满足等式h(n)=h(N-n-1)或或h(n)=-h(N-n-1)。这里仅讨论这里仅讨论FIR滤波器满足第一类线性相位的滤波器满足第一类线性相位的条件，即条件，即h(n)=h(N-n-1)时时，对应频谱函数。，对应频谱函数。11/14/202253N取奇数，则线性相位取奇数，则线性相位FIR滤波器幅度特性属于滤波器幅度特性属于情况情况1，其幅度特性如式，其幅度特性如式因此，有因此，有 即即 210cosNngnnaH 22coscos210210gNnNngHnnannaH 2
43、ggHH11/14/202254如果如果N取偶数，则属于情况取偶数，则属于情况2，其幅度特性如式，其幅度特性如式所示所示因此，有因此，有即即 2121cosNngnnbH gNnNnNngHnnbnnnbnnbH21212121cos2112cos212cos2 2ggHH11/14/202255综合起来，并写成综合起来，并写成k的函数，则的函数，则 以上就是频率采样法设计的以上就是频率采样法设计的FIR滤波器满足线滤波器满足线性相位的条件。性相位的条件。注意：注意：例例6.3-2 kjgdekHkH kNNkNNk1221 奇数NkNHkHgg,偶数NkNHkHgg,11/14/202256
44、2、逼近误差的产生及其改进措施、逼近误差的产生及其改进措施 如果待设计的滤波器为如果待设计的滤波器为Hd(ej)，对应的单位序对应的单位序列响应为列响应为hd(n)，则则 对对Hd(ej)进行等间隔进行等间隔N点采样，得到点采样，得到Hd(k)，再再对对Hd(k)进行进行IDFT就得到了就得到了h(n)。由频率域采样定理由频率域采样定理可知可知h(n)是是hd(n)以以N为周期的延拓，即为周期的延拓，即 如果如果Hd(ej)有间断点，那么相应单位序列响应有间断点，那么相应单位序列响应hd(n)应是无限长的，这样就会由于时域混叠，引起应是无限长的，这样就会由于时域混叠，引起所设计的所设计的h(n
45、)和希望实现的和希望实现的hd(n)有偏差。有偏差。deeHnhnjjdd21 rNdnRrNnhnh11/14/202257下面从频域再进行分析。由采样定理可以得到下面从频域再进行分析。由采样定理可以得到频域的插值公式如式所示，将频域的插值公式如式所示，将z=ej代入式可得代入式可得 在采样点上在采样点上H(ej)和和Hd(k)相等，这时的逼近误相等，这时的逼近误差为差为0，在采样点之间，在采样点之间，H(ej)由有限项由有限项 之和形成，其逼近误差和之和形成，其逼近误差和Hd(ej)特性的平滑程度有特性的平滑程度有关，特性愈平滑的区域，误差愈小；特性曲线间断关，特性愈平滑的区域，误差愈小；
46、特性曲线间断点处，逼近误差最大。点处，逼近误差最大。102NkdjkNkHeH 212sin2sin1NjeNN NkkHd211/14/202258减小间断点处逼近误差过大的方法，是在频响间减小间断点处逼近误差过大的方法，是在频响间断点附近插一个或几个过渡采样点，使得不连续的断点附近插一个或几个过渡采样点，使得不连续的点变成缓慢过渡，如图所示。这样虽然加大了过渡点变成缓慢过渡，如图所示。这样虽然加大了过渡带宽度，但可以明显减小逼近误差，增大阻带衰减。带宽度，但可以明显减小逼近误差，增大阻带衰减。注意：注意：例例6.3-2 kHHd,c kHHd,c00H1H1H2 kHHd,c0H1H2H3
47、(a)(b)(c)11/14/202259小结：频率采样法设计小结：频率采样法设计FIR滤波器其最大的优滤波器其最大的优点是直接从频域进行设计，这种设计方法物理概念点是直接从频域进行设计，这种设计方法物理概念清晰，直观方便。但是边界频率不容易控制，如果清晰，直观方便。但是边界频率不容易控制，如果增加采样点数增加采样点数N固然可以有效改善固然可以有效改善FIR滤波器的性能，滤波器的性能，但会增加但会增加FIR滤波器的结构复杂性和硬件制造成本，滤波器的结构复杂性和硬件制造成本，因此，频率采样法适合于窄带滤波器设计。因此，频率采样法适合于窄带滤波器设计。11/14/202260IIR滤波器的主要优点
48、包括：滤波器的主要优点包括：(1)可以利用一些现成的公式和系数表格设计各类可以利用一些现成的公式和系数表格设计各类选频滤波器。选频滤波器。(2)在满足一定技术要求和幅度特性的情况下，在满足一定技术要求和幅度特性的情况下，IIR滤波器网络结构中具有反馈结构，所以它的阶次滤波器网络结构中具有反馈结构，所以它的阶次一般比一般比FIR滤波器要低，所用存储单元要少，因此，滤波器要低，所用存储单元要少，因此，滤波器体积也小。滤波器体积也小。11/14/202261IIR滤波器的主要缺点包括：滤波器的主要缺点包括：(1)只能设计出有限频段的低、高、带通和带阻只能设计出有限频段的低、高、带通和带阻等选频滤波器
49、。除了幅度特性能够满足技术要求外等选频滤波器。除了幅度特性能够满足技术要求外，它们的相位特性往往是非线性的，这就会使信号，它们的相位特性往往是非线性的，这就会使信号波形产生失真。波形产生失真。(2)由于由于IIR滤波中采用反馈结构，系统存在极滤波中采用反馈结构，系统存在极点，因此，设计系统函数时，必须把所有的极点置点，因此，设计系统函数时，必须把所有的极点置于单位圆内，否则系统不稳定。于单位圆内，否则系统不稳定。11/14/202262FIR滤波器的主要优点包括：滤波器的主要优点包括：(1)可以方便地设计出具有线性相位的可以方便地设计出具有线性相位的FIR滤波滤波器，从而保证信号在传输过程中不
50、会产生失真。器，从而保证信号在传输过程中不会产生失真。(2)FIR滤波器中没有反馈结构，不论在理论上滤波器中没有反馈结构，不论在理论上或实际应用中，或实际应用中，FIR滤波器系统都是稳定的。滤波器系统都是稳定的。(3)FIR滤波器可以采用滤波器可以采用FFT算法，因此，运算算法，因此，运算速度快。速度快。11/14/202263FIR滤波器的主要缺点包括：滤波器的主要缺点包括：(1)虽然可以采用窗函数法或频率采样法等简单虽然可以采用窗函数法或频率采样法等简单方法设计方法设计FIR滤波器，但往往在过渡带上和阻带衰滤波器，但往往在过渡带上和阻带衰减上难以满足要求，因此，不得不采用多次迭代或减上难以
