1、1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编1、集合部分2019A 2、若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则的值为 答案： 解析：假如，则最大、最小元素之差不超过 ，而所有元素之和大于，不符合条件故，即为最小元素于是，解得。2019B1. 若实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则的值为 答案： 解析：条件等价于中除最大数以外的另三个数之和为 显然，从而，得2018A1、设集合，集合，集合，则集合的元素个数为 答案：解析：由条件知，故的元素个数为。2018B1、设集合，集合，则集合的所有元素之和是 答案： 解析:易知，所以，元素之和为.2018B三、（本题满
2、分50分）设集合，均为的非空子集（允许）中的最大元与中的最小元分别记为求满足的有序集合对的数目。解析:先计算满足的有序集合对的数目.对给定的，集合是集合的任意一个子集与的并，故共有种取法.又，故是的任意一个非空子集，共有种取法.因此，满足的有序集合对的数目是：由于有序集合对有个，于是满足的有序集合对的数目是2017B二、（本题满分40分）给定正整数 ，证明：存在正整数 ，使得可将正整数集分拆为个互不相交的子集，每个子集中均不存在个数（可以相同），满足证明：取，令，设，则，故，而，所以在中不存在4个数，满足2017B四、（本题满分50分）。设，集合，求的元素个数的最大值。解析：考虑一组满足条件的
3、正整数对，设中取值为的数有个，根据的定义，当时，因此至少有个不在中，注意到，则柯西不等式，我们有从而的元素个数不超过另一方面，取（），（），则对任意（），有等号成立当且仅当，这恰好发生次，此时的元素个数达到综上所述，的元素个数的最大值为160.2016B四、（本题满分50分）设是任意一个元实数集合令集合求的元素个数的最小值解析：记，不妨设若恒成立；由于，这里显然可以发现有18个数在B中，即若，其中时，由于有10个非负数；又有个正数，故此时，当时，如，满足；若，其中时，由于有10个非负数；又，则有8个正数，故此时，若恒成立；同显然可以发现有18个数在B中，即；综上。B的元素个数的最小值为17.2
4、015AB10、（本题满分20分）设是个有理数，使得，求的值。解析：由条件可知，是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由此知，的绝对值互不相等，不妨设，则中最小的与次小的两个数分别是及，最大与次大的两个数分别是及，从而必须有 10 分于是故，15分结合，只可能由此易知，或者检验知这两组解均满足问题的条件故 20 分2015A二、（本题满分40分）设，其中是个互不相同的有限集合（），满足对任意的,均有，若.证明：存在，使得属于中至少个集合（这里表示有限集合的元素个数）。证明：不妨设设在中与不相交的集合有个，重新记为，设包含的集合有个，重新记为由已知条件，即，这样我们得到一个映射 显然是单映
5、射，于是， 10 分设在中除去，后，在剩下的个集合中，设包含的集合有个（），由于剩下的个集合中每个集合与从的交非空，即包含某个，从而 20 分不妨设，则由上式知，即在剩下的个集合中，包含 的集合至少有个又由于，故都包含，因此包含的集合个数至少为（利用）（利用) 40 分2015B 6、设为实数，在平面直角坐标系中有两个点集和，若是单元集，则的值为 答案： 解析：点集A是圆周，点集B是恒过点的直线及下方（包括边界）作出这两个点集知，当A自B是单元集时，直线l是过点P的圆的一条切线故圆的圆心 M (1, l）到直线l的距离等于圆的半径，故结合图像，应取较小根2014A 2、设集合中最大元素与最小元
6、素分别为，则的值为 答案： 解析：由知，当，时，得最大元素，又，当时，得最小元素。因此，。2014A三、（本题满分50分）设，求最大的整数，使得有个互不相同的非空子集，具有性质：对这个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同。解析：对有限非空实数集，用，分别表示中的最小元素和最大元素。考虑的所有包含且至少有两个元素的子集，一共有个，它们显然满足要求，因为，故。下面证明时不存在满足要求的个子集.我们用数学归纳法证明：对整数，集合的任意（）个不同的非空子集中，存在两个不同的子集，满足，且显然只需对的情形证明上述结论。当时，将的全部非空子集分成三
7、组：第一组；第二组；第三组。由抽屉原理，任意4个非空子集必有两个是在同一组，取同组的两个子集，排在前面的记为，则满足；假设当（）时，结论成立，考虑时，若中至少有个子集不含，对其中的个子集用归纳假设，可知存在两个子集满足；若至多有个子集不含，则至少有子集含，将其中子集去掉，得到的个子集。又由于的全体子集可以分成组，每组两个子集互补，故由抽屉原理，在上述个子集中一定有两个属于同一组，即互为补集.因此，相应地有两个子集，满足，这两个子集显然满足结论。故时结论也成立。综上所述，所求的最大值为2013A1、设集合,集合，则集合中所有元素的和为 答案：解析：易得，验证即可得，所以所求为2008A B2、设
8、,，若,则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 答案： D解析：因为有两个实根 ，故等价于且，即且，解之得 2007*6、已知与是集合的两个子集，满足：与的元素个数相同，且为空集，若，则，则集合的元素个数最多为 A. B. C. D. 答案：B解析：先证，只须证，为此只须证若是的任一个元子集，则必存在，使得。证明如下：将分成如下个集合：，共个；， ，共个；，共个；，共个。由于是的元子集，从而由抽屉原理可知上述个集合中至少有一个元集合中的数均属于，即存在，使得。如取, ，则满足题设,且。2006*3、已知集合，且，则整数对的个数为 A. B. C. D. 答案：C解析： ；。要使，则，即
9、。所以数对共有。2004*三、（本题满分50分） )对于整数，求出最小的整数，使得对于任何正整数，集合的任一个元子集中，均至少有个两两互素的元素。解析： 当时，对集合，当为奇数时，互质，当为偶数时，互质即的子集中存在个两两互质的元素，故存在且 取集合，则为的一个子集，且其中任个数无不能两两互质故（表示元素个数）但故 由与得，现计算，取，若取其中任意5个数，当这5个数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数()时，其中至多有1个被5整除，必有1个被3整除，故至少有1个不能被3与5整除，此数与另两个奇数两两互质故而，故. 所以， 对于，成立 设对于成立，当时，由于在中，能被2或3整除
10、的数恰有4个，即使这4个数全部取出，只要在前面的中取出个数就必有3个两两互质的数于是当时，故，比较，知对于，命题成立对于任意，成立又可分段写出结果：2003*9、已知，若，则实数的取值范围是 答案：解析：由题意得；又，因为；当时，因为因为，即恒成立，所以2002*5、已知两个实数集合与，若从到的映射使得中每个元素都有原象，且则这样的映射共有 A.个 B. 个 C. 个 D. 个答案：D解析：不妨设，将中元素按顺序分为非空的组，定义映射，使得第组的元素在之下的象都是 ()，易知这样的满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射的个数与A按足码顺序分为组的分法数相等
11、，而的分法数为，则这样的映射共有，故选D。2001*1、已知为给定的实数，那么集合的子集的个数为 A. B. C. D. 不确定答案：C解析：方程的根的判别式，方程有两个不相等的实数根由有个元素，得集合有个子集2000*1、设全集是实数，若，则是( )A. B. C. D.答案：D解析：由题意得：A=2，B=2，1，故选D1998*2、若非空集合,，则能使成立的所有的集合是( )A. B. C. D.答案：B解析：即，所以，解得。故选B1996*7、集合的真子集的个数是_答案：解析：由已知，得即故该集合有个元素其真子集有个1995*12、设，是的子集且满足条件:当时，则中元素的个数最多是_答案
12、：解析：因为1995=15133故取出所有不是15的倍数的数，共1862个，这此数均符合要求在所有15的倍数的数中，152的倍数有8个，这此数又可以取出，这样共取出了1870个即又()中的两个元素不能同时取出，故综上1994*9、已知点集，则点集中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为_ _答案：解析：如图可知，共有7个点，即(1，3)，(1，4)，(1， 5)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，2)共7点1993*1、若，则的元素个数是（ ）A. B. C. D.答案：D解析：对集合，可得，即()， ()，即圆及圆内的整点数共个选D1993*3、集合的并集，当时，与视为不同的对，
13、则这样的对的个数是（ ）A. B. C. D.答案：D解析： 或，有2种可能，同样或，有2种可能，但与不能同时成立，故有种安排方式，同样也各有种安排方式，故共有种安排方式选D1993*二、（本题满分35分）设是一个有个元素的集合，的个子集两两不包含。试证：，其中表示所含的元素个数，表示从个不同元素中取出个的组合数。证明： 即证：若，则 由于表示个元素的全排列数，而表示先在这个元素中取出个元素排列再把其其余元素排列的方法数，由于互不包含，故成立 且，故1992*二、（本题满分35分） 设集合若是的子集，把中所有数的和称为的“容量”(规定空集的容量为)，若的容量为奇(偶)数，则称为的奇(偶)子集1
14、求证：的奇子集与偶子集个数相等2求证：当时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和3当 时，求的所有奇子集的容量之和证明： 对于的每个奇子集，当时，取，当时，取，则为的偶子集.反之，若为的偶子集，当时，取，当时，取，于是在的奇子集与偶子集之间建立了一个一一对应，故的奇子集与偶子集的个数相等. 对于任一，含的的子集共有个，其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而每个数，在奇子集的和与偶子集的和中，所占的个数是一样的.而对于元素，只要把的所有子集按是否含有配对(即在上证中把换成来证)，于是也可知的奇子集与偶子集中占的个数一样，于是可知每个元素都是在奇子集中与偶子集中占的个数一样.所以的所有
15、奇子集的容量的和，与所有偶子集的容量的和相等. 由于每个元素在奇子集中都出现次，故奇子集的容量和为1991*5设奇数，则( )A B C D答案：A解析：若为奇数，则成立，即又若时，也成立，即得ST，选A1991*12设集合，现对中的任一非空子集,令表示中最大数与最小数的和那么，所有这样的的算术平均值为 答案：解析：对于任一整数()，以为最大数的集合有个，以为最小数的集合有个，以为最小数的集合则有个，以为最大数的集合则有个故与都出现次 所有的和为 所求平均值为又解：对于任一组子集， ()，取子集，若，则此二子集最大数与最小数之和为，平均数为若，则本身的为由于每一子集均可配对故所求算术平均数为1
16、991*一、设，为至少含有两项的公差为正的等差数列，其项都在中，且添加的其他元素于后不能构成与有相同公差的等差数列求这种的个数(这里只有两项的数列也看作等差数列)解析：易知公差设，或时，这样的只有个，或时，这样的数列只有个，或时这样的数列只有个，或时，这样的数列有个，时，这样的数列有个 这样的数列共有个当时，这样的数列有个两种情况可以合并为：这样的共有个(或个)解法二：对于，这样的数列必有连续两项，一项在中，一在中，反之，在此两集合中各取一数，可以其差为公差构成一个，于是共有这样的数列当时，这样的的个数为个；当时，这样的的个数为个 这样的数列有个解法一也可这样写： 设的公差为，则 若为偶数，则
17、当时，公差为的等差数列有个；当时，公差为的等差数列有个故当为偶数时，这样的共有个 若为奇数，则当时，公差为的等差数列有个；当时，公差为的等差数列有个.故当为奇数时，这样的共有个两种情况可以合并为：这样的共有个(或个)解法二：对于，这样的数列必有连续两项，一项在中，一在中，反之，在此两集合中各取一数，可以其差为公差构成一个，于是共有这样的数列当时，这样的的个数为个；当时，这样的的个数为个 这样的数列有个1990*4、点集中的元素个数为（ ）A. B. C. D.多于答案：B解析：由题意得又，等号当且仅当时，即，时成立故选B1989*5.若，则中元素的个数为（ ）A. B. C. D.答案：A解析
18、：的图象为双曲线(，)，的图象为()，二者无公共点选A1989*6.集合，的关系为（ ）A. B. C. D. 答案：A解析：，由于可以取任意整数值，故表示所有4的倍数的集合同理也表示全体4的倍数的集合1988*3.平面上有三个点集:，。则（ ）A. B. C. D.A、B、C都不成立答案：A解析：表示以为顶点的正方形内部的点的集合(不包括边界)；表示焦点为，长轴为的椭圆内部的点的集合，表示由， 围成的六边形内部的点的集合故选A1987*5.已知集合,且，则的值为 （陕西供题）答案： 解析：，但，故只有，即 ，故，或，若，则由得，与元素相异性矛盾故，或，其中同上矛盾故 ； ()故所求值为解：，
19、得故若，则，矛盾，故，原式为1987*6已知集合，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则的值为 (青海供题)答案：或解析：集合的图形是依次连，四点的线段集合的图形是直线，它们交得一个正八边形若此条直线为图中的条实线，则或此正八边形各边与原点距离相等，知直线与原点距离等于所以若此条直线为图中的条虚线，则，得或1984*1、 集合在复平面上的图形是( )A射线 B射线 C射线 D上述答案都不对答案：D解析：由于， ，故选D1983*4、已知，那么使成立的充要条件是（ ）A. B. C. D. 答案：A解析：的充要条件是圆在抛物线内部(上方)即，且方程的解得，选A1982*7、 设，那么（ ）A B C D，其中不同时为负数答案：B解析：是双曲线在第一、四象限内的两支；由，即，若则，而，故即是在第四象限的一支故选B- 13 -
