全国高中数学联赛试题分类汇编

1、www.ks5u.com1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编组合与构造部分2019A四、（本题满分 50 分）设V 是空间中 2019 个点构成的集合，其中任意四点不共面某些点之间连有线段，记 E 为这些线段构成的集合试求最小的正整数n，满足条件：若 E 至少有n个元素，则 E 一定含有 908 个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集解析：为了叙述方便，称一个图中的两条相邻的边构成一个“角”先证明一个引理：设是一个简单图，且是连通的，则含有个两两无公共边的角（这里表示实数的整数部分）引理的证明。

2、高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家www.ks5u.com1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编不定方程部分2011B一、（本题满分40分）求所有三元整数组，使其满足解析：由，得因，且，所以等价于或对方程组，消去得，即若，则与矛盾；若，则与矛盾；若，则与矛盾；综上方程组无解；对方程组，由可得，中有两个为，一个为。若，则或，代入的第一个方程，无解；代入的第一个方程，解得，若，同理可得，若，同理可得，综上，满足条件的三元数组为，2010AB 8、方程满足的正整数解的个数是 答案： 解析：首先易知的正整数解的个数为 .把满足。

3、高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家www.ks5u.com1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编复数部分2019A 11、称一个复数数列为“有趣的”，若，且对任意正整数，均有，求最大的常数，使得对一切有趣的数列及任意正整数，均有。解析：考虑有趣的复数数列归纳地可知 由条件得（），解得（），因此，故（）进而有记（）则当为偶数时，记，由得。当为奇数时，记，由得，故当时，综上知满足要求。另一方面，当，（），时，易验证得为“有趣的”数列，此时，这表明，综上知。2019B 11. （本题满分20分）设复数数列满足：，且对任意正整数。

4、高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家www.ks5u.com1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编立体几何部分2019A7、如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，且将正方体分成体积比为的两部分，则的值为 答案：解析：作图延长交于点,连接交于点，则截面为，由于面面，知为棱台，则.不妨设正方体棱长为，则正方体体积为，结合条件知棱台的体积为，设，则，由于所以，解得。所以.2019B 4. 设三棱锥满足，则该三棱锥的体积的最大值为 答案： 解析：设三棱锥的高为取为棱的中点，则，当平面垂直于平面时，取到最大值此时三棱锥的体积取到。

5、高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 1981 年年2019 年全国高中数学联赛二试试题分类汇编年全国高中数学联赛二试试题分类汇编 平面几何部分平面几何部分 2019A2019A 一、一、 （本题满分（本题满分 4040 分）分）如图，在锐角中，是边的中点点在ABCMBCP 内，使得平分直线与,的外接圆分别相交于不同于ABCAPBACMPABPACP 点的两点P,D E 证明：若，则DEMP2BCBP 证明：证明：延长到点，使得.连接 PMFMFME,BF BD CE 由条件可知 10 分 BDPBAPCAPCEPCEM 因为且，所以且 BMCMEMFMBFCE/ /BFCE 于是，进而 20 分 FCEMBDP BDBF。

6、高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家www.ks5u.com1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编解析几何部分2019A 4、设为椭圆G 的长轴顶点，为G 的两个焦点，, , 为G上一点，满足，则的面积为 答案： 解析：设椭圆G的方程为（），则，可知，,所以，又，所以，即为直角，进而得面积为。2019A 10、在平面直角坐标系中，圆与抛物线恰有一个公共点，且圆与轴相切于的焦点求圆的半径解析：易知的焦点的坐标为设圆 的半径为() 由对称性，不妨设在轴上方与轴相切于，故的方程为，将代入消去得，显然，所以由于圆与轴相切于的焦点则恰有一个正。

7、高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家www.ks5u.com1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编平面向量与解三角形部分2019A 3、平面直角坐标系中，是单位向量，向量满足，且对任意实数恒成立，则的取值范围为 。答案： 解析：不妨设，由得，等价于，即，解得，所以。2019A 9、在中，若是与的等比中项，且是与的等差中项，求的值解析：因为是与的等比中项，故存在，使得由是与的等差中项，得，结合正余弦定理得，即，将代入得，解得，所以。2019B 2. 若平面向量与垂直，其中为实数，则的模为 答案： 解析：由条件得，解得，所以。2019B 。

8、www.ks5u.com1981年2019年全国高中数学联赛二试试题分类汇编数论部分2019A 5、在 中随机选出一个数，在 中随机选出一个数，则被整除的概率为 答案： 解析：首先数组有 种等概率的选法 考虑其中使被整除的选法数N若被 3 整除，则也被 3 整除此时各有3种选法，这样的有 组若不被 3 整除，则，从而此时有7 种选法，有4种选法，这样的有组 因此于是所求概率为。2019A三、（本题满分 50 分）设为整数，整数数列满足：不全为零，且对任意正整数，均有证明：若存在整数, ( )使得，则解析：证明：不妨设互素（否则，若，则互素，并且用代替，条件。

9、高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家www.ks5u.com1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编逻辑部分2014B 3、对于实数的任意子集，我们在上定义函数，如果是实数的两个子集，则，的充分必要条件是 答案：互为补集 解析：对于任意的，这说明中至少有一个是，即，所以，另一方面，中仅有一个是，即，从而互为补集。2001*15、（本题满分20分）用电阻值分别为 () 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论解析：首先，对电路图进行截取分段考虑，如下三个图设6个电阻的组件（如图3。

10、高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家www.ks5u.com1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编三角函数部分2019A 6、对任意闭区间，用表示函数在上的最大值若正数满足，则的值为 答案：或解析：若，,与条件不符，所以，此时，于是存在非负整数，使得，且处至少有一处取到等号。当时，得或，经检验得或均满足条件；当时，由于，故不存在满足的。综上或。2018B 5、设满足，则的值为 答案： 解析:由两角差的正切公式可知，即可得2017A 2、若实数满足，则的取值范围为 答案： 解析：由得，得，所以，可求得其范围为。2016A 6、设函数，其中。

11、高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 1981 年年2019 年全国高中数学联赛试题分类汇编年全国高中数学联赛试题分类汇编 计数问题、概率与统计部分计数问题、概率与统计部分 2019A2019A 5 5、在中随机选出一个数，在中随机选出一1,2,3,10a1, 2, 3, 10 个数，则被 整除的概率为 b 2 ab3 答案：答案： 37 100 解析：解析：首先数组有种等概率的选法 考虑其中使被, a b10 10100 2 ab 整除的选法数 N若被 3 整除，则也被 3 整除此时各有 3 种选法，3ab, a b 这样的有 , a b 组若不被 3 整除，则，从而此时有 7 3 39 a 2 1。

12、高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家www.ks5u.com1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编不等式部分2019B一、（本题满分40分）设正实数满足（） 记（），证明：。证明：注意到对，由平均值不等式知 ， 10 分 从而有 20 分 记的右端为 ，则对任意，在的分子中的次数为，在 的分母中的次数为从而。30 分 又（） ，故，结合得40分2018B一、（本题满分40分）设是实数，函数。证明：存在，使得。证明:用反证法.假设对任意的，均有，则，即，注意到又矛盾！所以原命题得证。2017A 9、（本题满分16分）设为实数，不等式对所有成立，证明。

13、高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家www.ks5u.com1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编数列部分2019B 8. 设等差数列的各项均为整数，首项，且对任意正整数，总存在正整数，使得这样的数列的个数为 答案： 解析：设的公差为由条件知（是某个正整数），则，即，因此必有，且这样就有，而此时对任意正整数，确实为中的一项 因此，仅需考虑使成立的正整数k 的个数注意到，易知可取这个值，对应得到个满足条件的等差数列2019B二、（本题满分40分）求满足以下条件的所有正整数： (1) 至少有 4 个正约数； (2) 若是的所有正约数，则构。

14、www.ks5u.com1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编函数与方程部分2019A1、已知正实数满足，则的值为 答案： 解析：由条件知，故，所以。2019A二、（本题满分 40 分）设整数满足 记，求的最小值并确定使成立的数组的个数解析：由条件知 由于及（）均为非负整数，故有且于是 10 分由、得，结合及，可知 20 分 另一方面，令，（），此时验证知上述所有不等式均取到等号，从而的最小值30 分 以下考虑的取等条件此时，且中的不等式均取等， 即，（）。因此，且对每个（），中至少有两项等于易验证知这也是取等的充分条件 对每个（），设中。

15、www.ks5u.com1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编1、集合部分2019A 2、若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则的值为 答案： 解析：假如，则最大、最小元素之差不超过 ，而所有元素之和大于，不符合条件故，即为最小元素于是，解得。2019B1. 若实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则的值为 答案： 解析：条件等价于中除最大数以外的另三个数之和为 显然，从而，得2018A1、设集合，集合，集合，则集合的元素个数为 答案：解析：由条件知，故的元素个数为。2018B1、设集合，集合，则集合的所有元。