1、13-1 3-1 力对点之矩矢力对点之矩矢3-2 3-2 力对轴之矩矢力对轴之矩矢3-3 3-3 力偶矩矢力偶矩矢3-4 3-4 力偶的等效条件力偶的等效条件3-5 3-5 力偶系的合成力偶系的合成3-6 3-6 力偶系的平衡条件力偶系的平衡条件2A3-1 3-1 力对点之矩矢力对点之矩矢 平面上的力平面上的力 F 对刚体产生的绕平面上某对刚体产生的绕平面上某一点一点O的转动效应取决于两个要素：的转动效应取决于两个要素：1.1.强弱程度：强弱程度：F 为作用于刚体上的一为作用于刚体上的一个力，个力，O 为位于为位于F F 作用线作用线外的一点外的一点F F 有使刚体绕有使刚体绕 O 转动的趋势
2、（效应）转动的趋势（效应）2.2.转动方向：转动方向：O称为称为矩心矩心，O 到力到力F F 的的作用线的垂直距离作用线的垂直距离 h 称称为为力臂力臂一、平面中力对点之矩逆时针为正逆时针为正顺时针为负顺时针为负()OMFhF力力 F 与力臂与力臂 h 的乘积的乘积33.3.转动轴的方位转动轴的方位 （或者说力（或者说力 F 与与O 所在的平面的法线方位）所在的平面的法线方位）二、空间中力对点之矩的概念 在一般情况下，力在一般情况下，力 F 对刚体产生的某对刚体产生的某一点一点O的转动效应取决于三个要素：的转动效应取决于三个要素：1.1.强弱程度强弱程度;2.2.转动方向转动方向;()OMFr
3、FFrd1.1.力对点之矩矢的数学描述力对点之矩矢的数学描述（1 1）矢量表示式：矢量表示式：q4（2 2）矢量解析表示式矢量解析表示式kjiFkjirzyxFFFzyxzyxFFFzyxkjiOxOyOzMMMijkOMrFxyOzzxOyyzOxyFxFMxFzFMzFyFM力对点之矩在轴上的投影：力对点之矩在轴上的投影：xyzijkrFxyzxFzFyF52.2.力对点之矩的基本性质力对点之矩的基本性质 力对点之矩服从矢量的合成法则：力对点之矩服从矢量的合成法则：作用于刚体上的二力对刚体产生的绕任一点作用于刚体上的二力对刚体产生的绕任一点O的的转动效应，可以用该点的矩矢来度量，这个矩矢转
4、动效应，可以用该点的矩矢来度量，这个矩矢等于二力分别对该点矩矢的矢量和：等于二力分别对该点矩矢的矢量和：12()()OOOMMFMF同样，由同样，由 n 个力组成的力系对刚体产生的绕任个力组成的力系对刚体产生的绕任一点一点O的转动效应，可以用该点的矩矢来度量：的转动效应，可以用该点的矩矢来度量：12()()()()OOiOOOnMMFMFMFMF63.3.力对点之矩的合力矩定理力对点之矩的合力矩定理：则有：则有：)()(1iniOFMFMRO若作用在刚体上的力系存在合力若作用在刚体上的力系存在合力,21RnFFFFxyzO1F2FnFRF1r2rnrRrniiiRR1FrFr7F3-2 3-2
5、 力对轴之矩力对轴之矩8zodFxyFq力对轴之矩的计算力对轴之矩的计算 代数量正负的判断：代数量正负的判断：右手定则右手定则()()zzxyxyMMF dFF9xzijkyFzFyFxFyxzxFxyFxyzyFxFM)(FzxyxFzFM)(F10力对轴之矩力对轴之矩xyzzxyyzxyFxFMxFzFMzFyFM)()()(FFFOzzOyyOxxMMMMMM)()()(FFF结论：结论：力对轴之矩等于力对轴上任意一点之矩在该轴上的投影力对轴之矩等于力对轴上任意一点之矩在该轴上的投影xyzOrFOM问题：问题：力对轴之矩与力对点之矩有什么关系？力对轴之矩与力对点之矩有什么关系？力对点之矩
6、力对点之矩111nOROiiMFMF1nxRxiiMMFF结论结论:力系的合力对某一轴之矩等于各分力对该轴之矩力系的合力对某一轴之矩等于各分力对该轴之矩的代数和的代数和q 力对轴之矩的合力矩定理力对轴之矩的合力矩定理 12力偶与力偶系力偶与力偶系FF,由两个等值、反向、不共线的（平行）由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作力组成的力系称为力偶，记作 二力所在平面二力所在平面力偶作用面力偶作用面FF作用于刚体上的一群力偶作用于刚体上的一群力偶力偶系力偶系力偶只对刚体产生转动效应力偶只对刚体产生转动效应13ABFFBAr力偶矩矢力偶矩矢 力偶对刚体转动效应的度量力偶对刚体转动
7、效应的度量FABFFF)()(FMFMMOOOFrFrBA)(FrFrBAFrr)(BABArFrBAdM=FdM注：注：力偶矩矢垂直于力偶所在的平面，其大小和方向与取矩点力偶矩矢垂直于力偶所在的平面，其大小和方向与取矩点无关。无关。OBrAr力偶矩矢力偶矩矢141 1、力偶的等效条件、力偶的等效条件(定理）定理）两个力偶等效的条件是它们的两个力偶等效的条件是它们的力偶矩力偶矩矢矢相等相等 2211FrMMFrDCBA,22FFFF1111FrMBA22FrMDCBAr1MAB1F1FDCr2MCD2F2F15F性质一性质一 力偶不能与一个力等效力偶不能与一个力等效,RFFF2 2、力偶的性质
8、、力偶的性质MrF思考：思考：主动力偶主动力偶 M 和主动力和主动力 F 作用在可绕作用在可绕中心轴转动的轮上，如图所示。中心轴转动的轮上，如图所示。当当力偶矩与力满足关系力偶矩与力满足关系 MFr 时，轮轮处于平衡状态。这不正说明力偶可以处于平衡状态。这不正说明力偶可以与一个力等效吗？与一个力等效吗？16xxFFaaaABFaaaABFFF性质二性质二 力偶可在力偶可在其作用面其作用面内任意平移和转动（或移到另一内任意平移和转动（或移到另一平行平面平行平面),),而不改变对刚体的作用效应而不改变对刚体的作用效应FFaFF17性质三性质三 只要力偶矩矢量的方向和大小不变（只要力偶矩矢量的方向和
9、大小不变（F，d 可变），可变），则力偶对刚体的作用效应就不变。则力偶对刚体的作用效应就不变。aaaABF2F2FFF18证：证：设物体的某一平面上作用一力偶设物体的某一平面上作用一力偶(F F,FF)(1)(1)沿力偶臂沿力偶臂AB方向方向加一对平衡力加一对平衡力(Q,Q),),Q,F合成合成R，(2)(2)再将再将Q,F合成合成R，得到新力偶得到新力偶(R,R),(3)将将R,R移到移到A,B点，则点，则(R,R)与与原力偶等效原力偶等效思考：思考：如何证明力偶如何证明力偶可在其作用面内任意可在其作用面内任意转动转动FFABQQRR(4)最后将力偶最后将力偶(R,R)的力臂调整到与原力偶相
10、等的力臂调整到与原力偶相等191M2M21FFF21FFF设作用于刚体上的两个力偶设作用于刚体上的两个力偶21,MM1111,MFFrF2222,MFFrF,FFMRFrMR)(21FFr21FrFr21MM 结论：结论：两个力偶的合成的结果是一个合力偶，合力偶的力偶两个力偶的合成的结果是一个合力偶，合力偶的力偶矩矢等于此二力偶力偶矩矢的矢量和矩矢等于此二力偶力偶矩矢的矢量和FF1F1Fr20n1iiMMR222()()()RxyzMMMMn1in1in1ikjiiziyixMMM,21RnMMMM作用于刚体上的力偶系合成为一力偶作用于刚体上的力偶系合成为一力偶 cos(,)xRRMMM ic
11、os(,)yRRMMM jcos(,)zRRMMM kq任意个力偶的合成任意个力偶的合成 合力偶的大小：合力偶的大小：合力偶的方向：合力偶的方向：21平衡的充分必要条件平衡的充分必要条件:0,21RnMMMM000zyxMMM空间力偶系空间力偶系的平衡条件：的平衡条件：平面力偶系平面力偶系的平衡条件：的平衡条件：0M可解三个未知量可解三个未知量可解一个未知量可解一个未知量22ABMOABMO（A）（B）例：例：结构如图所示，已知主动力偶结构如图所示，已知主动力偶 M，哪种情况铰链的，哪种情况铰链的约束力较小约束力较小,并确定约束力的方向（不计构件自重）并确定约束力的方向（不计构件自重）1 1、
12、研究、研究OAOA杆杆 FFFF2 2、研究、研究ABAB杆杆 23ABMOM思考题：思考题：结构如图所示，已知各杆均作用一个主动力偶结构如图所示，已知各杆均作用一个主动力偶 M，确定各个铰链约束力的方向（不计构件自重）确定各个铰链约束力的方向（不计构件自重）ABMOMFOFB令令 MFO,FB00000或BOFFMMMMM24例：例：主动力偶主动力偶 M，确定支座，确定支座A A和杆和杆AEAE上铰链上铰链E E处的约束力处的约束力（不计构件自重）。（不计构件自重）。MEABC(1)选取整体为研究对象，确定选取整体为研究对象，确定FAyFBFAy0,0BAyMMF llMFAy/D (2)选
13、取选取AE杆为研究对象，确定杆为研究对象，确定FEFCDFAyFEFElFCDFAyEA251M1sinDMNBD2DMNAD研究研究BD研究研究AC2M1Mcossin221MADBDMADBDMBNDNDNAN例例:。21,MM2M262.画刚体所受的所有主动力偶和约束反力偶，画刚体所受的所有主动力偶和约束反力偶，并移动到并移动到 O 点点 例：例：轴线处于轴线处于同一平面内同一平面内的四根直杆的四根直杆OA,OB,OC,OD彼此刚性连彼此刚性连接，圆盘的直径分别为接，圆盘的直径分别为dA=60cm,dB=40cm,dC=20cm,aa1201200 0,求求直杆直杆D端受到的约束反力偶的
14、大小和方向。端受到的约束反力偶的大小和方向。解：解：10 0.6 N m,5 0.4 N m20 0.2 N mABCMMM3.平衡条件平衡条件cos300sin300 xBDxCyADyCMMMMMMMM 1.464 N m4 N mDxDyMM 2204.15tan,69.9DDxDyDyDxMMMN mMM 大小：方向：5N5NBOyAC10N10N20N20Na axD D30AMBMCMODyMDxM1.选取刚体整体为研究对象，建立坐标系选取刚体整体为研究对象，建立坐标系 27思考题：思考题：力对点之矩与力偶矩有何异同？力对点之矩与力偶矩有何异同？相同之处：都是转动效应的度量。相同之处：都是转动效应的度量。不同之处：力对点之矩与矩心有关，力偶矩与矩不同之处：力对点之矩与矩心有关，力偶矩与矩心无关。心无关。28空间力偶系平衡的几何条件是：空间力偶系平衡的几何条件是：力偶矩矢量多边形自行封闭。力偶矩矢量多边形自行封闭。作用在刚体上的两个力偶使刚体平衡，这作用在刚体上的两个力偶使刚体平衡，这两个力偶必然：两个力偶必然：力偶矩矢量等值反向。力偶矩矢量等值反向。29作业：作业：32，35，36
