1、第六章第六章梁的位移梁的位移6-1 概述概述6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分6-4 梁的刚度条件梁的刚度条件 提高粱刚度的措施提高粱刚度的措施6-3 用叠加法求梁的位移用叠加法求梁的位移目目 录录挠曲线1.挠度和转角的概念挠度和转角的概念xyzBAFzyCF0yzIy、z为形心主轴为形心主轴wCC挠度挠度：任一横截面的形心在垂直于原来轴线方向的线位任一横截面的形心在垂直于原来轴线方向的线位移（移（y方向），称为该截面的方向），称为该截面的挠度挠度，用，用w表示。表示。转角转角：任一横截面对其原方位的角位移，称为该截面的任一横截面对其原方位的角位移，称为该截面
2、的转角转角，用，用表示。表示。符号规定：符号规定：w（）“+”（）“+”x挠曲线xyzBAFwCC ww x挠度方程挠度方程 x转角方程转角方程2.挠度和转角的关系挠度和转角的关系因为因为角非常小，故转角方程可表示为角非常小，故转角方程可表示为 tanxx dw xdx w x即：即：xw x（挠曲线上任一点处切线的斜率等于该点处横（挠曲线上任一点处切线的斜率等于该点处横截面的转角）截面的转角）lBAlBA0AAw0B0Bw 0A0Aw 0B0Bw 变形和位移是两个不同的概念，但又互相联系。变形和位移是两个不同的概念，但又互相联系。eMeMeM1 zMEI由可知梁的弯曲变形仅与弯矩和梁的弯曲刚
3、度有关，而位移不仅与弯矩、梁的弯曲变形仅与弯矩和梁的弯曲刚度有关，而位移不仅与弯矩、弯曲刚度有关，还与梁的约束条件有关。弯曲刚度有关，还与梁的约束条件有关。两根梁的长度、材料、横截面的形状和尺寸以及受力情况均相同。两根梁的长度、材料、横截面的形状和尺寸以及受力情况均相同。两根梁的弯曲变形程度相同，但位移明显不同。两根梁的弯曲变形程度相同，但位移明显不同。3.研究梁的位移的目的研究梁的位移的目的刚度校核（刚度校核（6-46-4）为解超静定梁打下基础为解超静定梁打下基础（8-5）1MEI纯弯曲时梁中性层的曲率为纯弯曲时梁中性层的曲率为(5-1)yxOMM0M 10yxOMM0M 101MEI 于是
4、（于是（5-1）式写成）式写成（a）横力弯曲时，横力弯曲时，若梁的跨度远大于横截面高度时，剪力对位移的若梁的跨度远大于横截面高度时，剪力对位移的影响很小，可忽略不计。所以（影响很小，可忽略不计。所以（a）式仍可沿用但应作相应变化。）式仍可沿用但应作相应变化。1M xxEI（b）1wxx 32211wxxw x 2 11w x数学上：数学上：1M xxEI（b）（c）工程中，梁的挠曲线通常是一条极其平坦的曲线，工程中，梁的挠曲线通常是一条极其平坦的曲线，很小。很小。w x则，则，(c)式变为式变为（d）将（将（d）式带入（）式带入（b）式，得）式，得 M xwxEI 或或 EIwxM x(6-1
5、)（6-1）式称为梁的）式称为梁的挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程w近似原因近似原因 不计剪力不计剪力FS对位移的影响对位移的影响 211w x 1EIw xM x dxC 12EIw xM x dx dxC xC 积分一次积分一次 再积分一次再积分一次 12CC、为积分常数，可通过已知的位移条件来确定。为积分常数，可通过已知的位移条件来确定。EIwxM x 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程用积分法求梁的挠度和转角用积分法求梁的挠度和转角例如铰支座处的挠度等于零；固定端处的挠度和转角均等于零。例如铰支座处的挠度等于零；固定端处的挠度和转角均等于零。这种已知的位移条件，通常称为这种已知的
6、位移条件，通常称为位移边界条件。位移边界条件。当弯矩方程需分段列出时，挠曲线近似微分方程也应分段建立。当弯矩方程需分段列出时，挠曲线近似微分方程也应分段建立。此时除了要应用位移边界条件之外，还需利用分段处挠曲线的连此时除了要应用位移边界条件之外，还需利用分段处挠曲线的连续、光滑条件。这种位移条件通常称为续、光滑条件。这种位移条件通常称为位移连续条件位移连续条件。积分常数的确定积分常数的确定xFAB一个弯矩方程，两个积分常数一个弯矩方程，两个积分常数位移边界条件：位移边界条件：00000 xw，；两个弯矩方程，四个积分常数两个弯矩方程，四个积分常数位移边界条件：位移边界条件：BACF1x2xab
7、l10 x 0 Aw；2xl0 Bw 位移连续条件：位移连续条件：12xxa CCww左右 CC左右一个弯矩方程，两个积分常数一个弯矩方程，两个积分常数位移边界条件：位移边界条件：00Axw，BBDxlwl，qBAlxaEADB例例6-1 求求 ，并确定，并确定 和和 。EI为常数。为常数。(),()x w xmaxmaxwFlBAEIxxy 解：解：(1)列弯矩方程列弯矩方程 M xF lx(2)建立挠曲线近似微分方程，建立挠曲线近似微分方程，并对其积分并对其积分 EIwxM xFlFx 2112EIw xFlxFxC 23121126EIw xFlxFxC xC(3)确定积分常数确定积分常
8、数 0,(0)0 xw位移边界条件位移边界条件：10C20C(4)转角方程和挠度方程转角方程和挠度方程 212FxwxFlxxEI 23126FlFw xxxEI0,(0)0 xw物理意义物理意义 100CEIwEI 200CEIwEIw(5)求求 和和maxmaxwFlBAEIxxymaxmaxwmax maxww l maxw l（）212FxwxFlxxEI 23126FlFw xxxEI22FlEI33FlEI 例例6-2 求求 ，并确定，并确定 和和 。EI为常数。为常数。(),()x w xmaxmaxwxyBACxlFabxAFbFlBFaFl解：解：(1)分段列弯矩方程分段列弯
9、矩方程 1FbMxxl0 xaAC段段 211 (1)2FbEIwxxCl axl CB段段 3112 (2)6FbEIwxxC xCl AB 11FbEIwxMxxl 2FbMxxF xal(2)建立挠曲线近似微分方程并积分建立挠曲线近似微分方程并积分AC段段0 xa注注：（：（1）始终以）始终以x左段梁左段梁为分离体为分离体（2）保留（）保留（x-a）积分变量）积分变量 2221 322FbFEIwxxxaDl 33212 466FbFEIwxxxaD xDl 22EIwxMx xyBACxlFabxAFbFlBFaFlABaxl CB段段 FbxF xal(3)确定积分常数确定积分常数C
10、1、C2、D1、D2位移边界条件：位移边界条件：10,00 xw20C 2,0 xl wl2312066FbFlbDlD 5 6xyBACxlFabxAFbFlBFaFlAB位移连续条件：位移连续条件：12,xa w awa11CD 12,xa w awa22CD 7 8由（由（5）式得，）式得，220CD由（由（6）式得，）式得，22116FbCDlbl(4)确定转角方程和挠度方程确定转角方程和挠度方程AC段段0 xa 22211126FbFbxwxxlbEIll转角方程：转角方程：挠度方程：挠度方程：32211 66FbFbwxxlbxEIllxyBACxlFabxAFbFlBFaFlAB
11、axl CB段段 转角方程：转角方程：2222221226FbFFbxwxxxalbEIll挠度方程：挠度方程：332221666FbFFbwxxxalbxEIll(5)求求 和和maxmaxwmaxAB由挠曲线大致形状可见，由挠曲线大致形状可见，可能为可能为 或或 。当当ab 时，时，max6BFablaEIl（）2()6BFabllaEIl（）1(0)6AFablbEIl（）2213lbx 322max11 9 3FbwwxlbEIlxyBAClFabAFbFlBFaFlAB简支梁最大挠度必定在转角为零处。设该截面的位置为简支梁最大挠度必定在转角为零处。设该截面的位置为x1，先研究，先研究
12、AC段，段，令令 ，即，即110 x2221026FbFbxlbll23ab a当当ab 时，由上式得时，由上式得x1a，即表明转角为零的点确在，即表明转角为零的点确在AC段，从而有段，从而有1xmaxwxyBACxlFabxAFbFlBFaFlABmaxw的近似值的近似值 当集中荷载当集中荷载F离右支座非常离右支座非常近时，即当近时，即当b值甚小，则值甚小，则2213lbx23l0.577l可见，即使在这种极端情况下，最大挠度仍在跨中附近。可见，即使在这种极端情况下，最大挠度仍在跨中附近。322max119 3FbwwxlbEIl20.0642FblEI跨中挠度：跨中挠度：2212/2344
13、8Fbw lw llbEI39 3FblEIl216FblEI20.0625FblEImaxmax21002.5%ww lw2lwmaxw在工程中，只要简支梁挠曲线上无拐点在工程中，只要简支梁挠曲线上无拐点,就可用就可用代替代替误差：误差：例例6-3 画图示梁挠曲线的大致形状。画图示梁挠曲线的大致形状。xMFaFa解：挠曲线的大致形状，是根据解：挠曲线的大致形状，是根据梁的梁的M图和约束情况图和约束情况(位移条件位移条件)画出的。画出的。A为固定端，为固定端，0,0AAw2FeMFaBACDaaaEAE段段M为负，挠曲线为上凸；为负，挠曲线为上凸；ED段段M为正，挠曲线为下凸；为正，挠曲线为下
14、凸；E截面弯矩为零，故截面弯矩为零，故E点为挠点为挠曲线上的拐点（反弯点）曲线上的拐点（反弯点）DB段段M=0，挠曲线为斜直线；，挠曲线为斜直线；AEDCB 叠加法：叠加法：小变形且材料在线弹性范围内工作时，梁在几种荷载小变形且材料在线弹性范围内工作时，梁在几种荷载同时作用下的位移，等于梁在各种荷载单独作用下的位移之和。同时作用下的位移，等于梁在各种荷载单独作用下的位移之和。积分法是求梁位移的基本方法，由转角方程和挠度方程，可积分法是求梁位移的基本方法，由转角方程和挠度方程，可以求任意截面的转角和挠度，但计算过程冗长。以求任意截面的转角和挠度，但计算过程冗长。实际应用中，常常只需确定某些指定截
15、面的位移值，为此可将实际应用中，常常只需确定某些指定截面的位移值，为此可将梁在简单荷载作用下的位移值列成表格梁在简单荷载作用下的位移值列成表格(见表见表6-1，P115页页)，利用叠，利用叠加法求在几种荷载同时作用下梁的位移。加法求在几种荷载同时作用下梁的位移。FBACDEIlllF叠加法叠加法荷载叠加：荷载叠加：变形叠加：变形叠加：（书例（书例6-4、6-5、6-6）（书例（书例6-7、6-8、6-9）例例6-4 用叠加法求用叠加法求 ，EI为常量。为常量。,CABwqBACeMBACeAMeBMeCMwAqBqCqw解：解：eCCqCMwww,eeAAqAMBBqBM由表由表6-1查得查得
16、 45384CqqlwEI 216eeCMM lwEI 24538416eCM lqlwEIEI将相应的位移叠加，得将相应的位移叠加，得3246eAM lqlEIEI（）3243eBM lqlEIEI（）（）324AqqlEI（）324BqqlEI（）6eeAMM lEI（）3eeBMM lEI eMqBAC2l2lxy例例6-5 用叠加法求用叠加法求 ，EI为常量。为常量。BBw和(b)2FaaBAC1Cw1Ca1Cw1C(c)eMaaBAC2Bw2B图图(b)梁的梁的CB段的挠曲线为斜直线，所以段的挠曲线为斜直线，所以解：将图解：将图(a)所示梁分解为图所示梁分解为图(b)和和图图(c)两
17、种情况。两种情况。111tanBCCwwa11BC由表6-1查得 1332233CF aFawEIEI（）12222CF aFaEIEI2FeMFaaaBAC(a)xy11CCwa 13232533BFaFaFawaEIEIEI（）112BCFaEI由表由表6-1查得，在图查得，在图c中中 223222eBMaFawEIEI 2222eBMaFaEIEI （）将相应位移叠加，可得将相应位移叠加，可得 3335233BFaFaFawEIEIEI 2222BFaFaFaEIEIEI（）1323CFawEI（）12CFaEI(b)2FaaBAC1Cw1Ca1Cw1C(c)eMaaBAC2Bw2B例例
18、6-6 用叠加法求用叠加法求 ，EI为常量。为常量。,CABw1A1B1CwqBAC2l2lxy(a)BAC(c)2q2qBAC2q(b)为了利用表为了利用表6-1中的结果，把图中的结果，把图（a）所示梁分解成图（）所示梁分解成图（b）和）和图（图（c）两种情况的叠加。）两种情况的叠加。解：解：144525384768CqlqlwEIEI（）13322448AqlqlEIEI1348BqlEI（）图（图（b）为对称结构受对称荷载作用，故其挠曲线形状也是对称）为对称结构受对称荷载作用，故其挠曲线形状也是对称的。由表的。由表6-1得得BAC(c)2q2q2A2BA2q2A2lCBC2q2B2l20
19、Cw20C0CM故故C处可看作一铰支座，即可将处可看作一铰支座，即可将AC段和段和CB段分别看作受均布荷载段分别看作受均布荷载作用的简支梁。作用的简支梁。2332224384AlqqlEIEI （）23384BqlEI（）图（图（c）为对称结构受反对称荷载作用，故其挠曲线形状也是反对）为对称结构受反对称荷载作用，故其挠曲线形状也是反对称的。称的。则：则：又又1A1B1CwBAC(c)2q2q2A2BBAC2q(b)将相应的位移叠加，得将相应的位移叠加，得 145768CqlwEI（）1348AqlEI1348BqlEI（）23384AqlEI（）45768CqlwEI333748384384A
20、qlqlqlEIEIEI（）（）333948384384BqlqlqlEIEIEI 23384BqlEI（）20CwqBAC2l2lxy(a)讨论：利用对称性使解题更加简便，要能灵活运用。讨论：利用对称性使解题更加简便，要能灵活运用。qBAC2l2lxyqBAC2l2lxyBACqBACq利用对称性易得分解后利用对称性易得分解后的的C点的挠度点的挠度利用对称性易得分解后利用对称性易得分解后的的C点的挠度点的挠度 441 552 384768CqlqlwEIEI 45768CqlwEIBACq1BACq2BACeM2l2l练习练习 用叠加法求用叠加法求 ，EI为常量。为常量。ABC、原图为对称结
21、构受反对称荷载作用，故其挠曲线形状也是反对称原图为对称结构受反对称荷载作用，故其挠曲线形状也是反对称的。的。（）22624eeAMlM lEIEI 24eBM lEI（）AA2lC2eMBCB2l2eMCABC22312eeCMlM lEIEI（）练习练习 用叠加法求用叠加法求 ，EI为常量。为常量。BBw、qaaBAC12BBB12BBBwwwqBACBACq1B1Bw2Cw2C2Ca2Cw查表查表6-1144228BqaqawEIEI1332463BqaqaEIEI248CqawEI 236CqaEI 22244476824BCCqaqaqawawEIEIEI 2236BCqaEI 444
22、27412424qaqaqaEIEIEI33347366qaqaqaEIEIEI（）例例6-7 用叠加法求用叠加法求 ，EI为常量。为常量。,CDDww解解:（1）先考虑）先考虑AB段的变形，不考虑段的变形，不考虑BD段的变形（图段的变形（图b）FBACDCwDwaaaxy(a)D本题采用变形叠加本题采用变形叠加(c)DF2Dw2DBFBACDeMFa(b)（2）再考虑）再考虑BD段的变形，不考虑段的变形，不考虑AB段的变形（图段的变形（图c）232164CFaaFawEIEI （）22233BFaaFaEIEI（）1223DBFaEI 1323DBFawaEICw1DwB1DFBACDCwD
23、waaaxy(a)D(c)DF2Dw2DB（）222DFaEI 233DFawEI将相应的位移叠加，得将相应的位移叠加，得 333233DFaFaFawEIEIEI（）22227326DFaFaFaEIEIEI（）1223DFaEI 1323DFawEIFBACDeMFa(b)Cw1DwB1D练习：求练习：求CwFBAxC/2eMFlFCB32/2/2/232CF lFllwEIEI 3548FlEICwFl/2BAxyl/2CCw练习：求练习：求CwqCBqaaBACCwBACFqa212eMqaqCw2234/2832Cqaaqa aqawEIEIEI 41724qaEI例例6-8 求图示
24、阶梯状简支梁的跨中挠度求图示阶梯状简支梁的跨中挠度wC。已知。已知I1=2I2FABCDE122II2I2I4l4l4l4l2F2F解：由变形的对称性可知，跨中解：由变形的对称性可知，跨中截面截面C的转角为零。这样，可把的转角为零。这样，可把阶梯状梁的阶梯状梁的CB部分（或部分（或AC部分）部分）看做是悬臂梁。看做是悬臂梁。2FCBD/8eMFl1BwDwD3211/2/4/8/432DFlFllwEIEI 315768FlEI 211/2/4/8/42DFlFllEIEI 21364FlEI D2Bw2FBCwC2FCBCwBwD2FCBD/8eMFl1BwD2Bw2FDwD12BBBwww
25、1/4BDDwwlDw 315768FlEID21364FlEI3114768FlEI 23322/2/43384BFlFlwEIEI B314768FlEI 3311183768128FlFlEIEI 313128CBFlwwEI故故C截面挠度为截面挠度为2FCBCwBwD讨论：当结构对称，荷载对称时，可采用类似的方法求位移讨论：当结构对称，荷载对称时，可采用类似的方法求位移求求C截面的挠度截面的挠度wC，EI为常数。为常数。FABCaaaaFCwFFCFCBCwBwFABCaaaaqqaCBCwBwqCwqaqaCCBww例例6-9 用叠加法求用叠加法求 ，EI为常量。为常量。,DDwFB
26、ACDaaa主梁主梁副梁副梁解：（解：（1）受力分析：先）受力分析：先分析副梁，再研究主梁分析副梁，再研究主梁BCDFFBAF（2）求位移：先分析）求位移：先分析主梁，再分析副梁，利主梁，再分析副梁，利用变形叠加用变形叠加Bw1DwBwBACDBCDFCDF3DwBCDFeMFa2DwC 33BFawEI Bw123DDDDwwwwFBACDaaa1DwBwBACDBwBCDFeMFa2DwCCDF3Dw 33BFawEI 3BCDwaw33333Fa aFaFaaEIEIEI 3FaEI122DDCwFaaEI222332FaFaFaEIEIEI27()6FaEI一、刚度条件一、刚度条件要保
27、证梁能正常地工作，不仅要求它有足够的强度，而且还要求具要保证梁能正常地工作，不仅要求它有足够的强度，而且还要求具有足够的刚度，即要求梁的位移不能过大。例如，若铁路桥梁的挠有足够的刚度，即要求梁的位移不能过大。例如，若铁路桥梁的挠度过大，当火车过桥时将出现爬坡现象，而且还会引起较大的振动。度过大，当火车过桥时将出现爬坡现象，而且还会引起较大的振动。又如若车床主轴的位移过大，将影响齿轮的正常啮合，造成轴和轴又如若车床主轴的位移过大，将影响齿轮的正常啮合，造成轴和轴承的严重磨损，必然影响加工精度。为此，需检查梁的位移是否超承的严重磨损，必然影响加工精度。为此，需检查梁的位移是否超过按使用要求所规定的
28、许用值。对于梁的挠度通常是限制挠度与跨过按使用要求所规定的许用值。对于梁的挠度通常是限制挠度与跨度的比值，故刚度条件为度的比值，故刚度条件为maxwwll max房建钢梁：房建钢梁：11400250wl铁路钢桥：铁路钢桥：11900700wl普通机床主轴：普通机床主轴：11100002000wl 0.0010.005rad二、提高梁刚度的措施二、提高梁刚度的措施 由表由表6-1可见，可见，w和和均与均与EI成反比，与成反比，与l的的n次方成正比。可见，为次方成正比。可见，为了减小梁的位移，可采取如下措施：了减小梁的位移，可采取如下措施：1.增大梁的弯曲刚度增大梁的弯曲刚度EI。对于钢梁来说，因
29、各种钢材的弹性模量对于钢梁来说，因各种钢材的弹性模量E相差很小。故选用高强度相差很小。故选用高强度的优质钢并不能有效地提高梁的弯曲刚度，而应设法增大截面的的优质钢并不能有效地提高梁的弯曲刚度，而应设法增大截面的惯性矩惯性矩I。2.减小梁的跨度或增加支承。减小梁的跨度或增加支承。qqq例例6-10 =170MPa，=100MPa，E=200GPa，1250wl选择工字钢的型号。选择工字钢的型号。5kN m80kN80kNBA4m0.4m0.4m解：梁必须同时满足解：梁必须同时满足 max maxmaxwwll时，才能正常工作。时，才能正常工作。3max642 10 N.m170 10 PazMW
30、4332.47 10 m247cm查型钢表查型钢表,20b号工字钢号工字钢 34250cm,2500cmzzWI:16.9cm,9mmzzISd1.由正应力强度条件选择型号由正应力强度条件选择型号2mNF8890890888(kN)xM(kN.m)35.635.642x2.校核切应力强度校核切应力强度33290 10 N9 10 m 16.9 10 m3.校核刚度校核刚度224max345238448FblbqlwEIEI22433984984N80 10 N0.4m3 4m4 0.4m55 104mm2384 200 10 Pa2500 10 m48 200 10 Pa2500 10 m315.7 10 m=15.7mm 4000mm15mm250250lw maxww可选可选20b号工字钢。号工字钢。5kN m80kN80kNBA4m0.4m0.4m,maxmaxSzzFd IS 659.2 10 Pa=59.2MPa2mNF8890890888(kN)x
