1、1数学建模概述n 数学模型n 数学建模过程n 数学建模示例n 建立数学模型的方法和步骤n 数学模型的分类1数学模型模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。直观模型： 实物模型，主要追求外观上的逼真。物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模拟试验，间接地研究原型的某些规律。思维模型，符号模型，数学模型数学模型：1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。它是模型的一种。2）本德（美）的定义：数学模型是关于
2、部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用 适当的数学工具得到一个数学结构。数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。古希腊时期：“数理是宇宙的基本原理”。文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试”。微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反映客观世界越来越广泛
3、，越来越精确。费马（P.Fermal 1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间最短的路径前进”。牛顿（Newton 1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二定律：结合开普勒三定律得出万有引力定律航行问题：甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？用分别代表船速、水速，可以列出方程解方程组，得答：船速、水速分别为20千米/小时、5千米小时。数学模型现实对象的信息信息2数学建模过程： 归纳 验 求 证 解数学模型的解答现实对象的解答 解释 实现对象和数学模型的关系 3数学建模示例：建模示例之一 椅子的稳定性问
4、题问题：将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的地面上，是否总能设法使它的四条腿同时着地，即放稳。1假设 1）地面为光滑曲面； 2）相对地面的弯曲程度而言，椅子的腿是足够长的； 3）只要有一点着地就视为已经着地，即将与地面的接 触视为几何上的点接触； 4）椅子的中心不动。2 建模分析表示A,C与地面距离之和，表示B,D与地面距离之和，则由三点着地，有 不失一般性，设初始时： y B B A C A x O C D D 3 数学命题： 假设： 是 的连续函数， 且对任意， 求证：至少存在 ，使得4 模型求解 证明： 将椅子转动 ，对角线互换，由 可得 令 由 的连续性，根据介值定理，在 中至少存在一
5、点，使得 ，即 ，又 ，所以， 。 结论：能放稳。连续函数的介值定理 思考题1：长方形的椅子会有同样的性质吗？4建立数学模型的方法和步骤：方法 机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分析，得到其内在的规律。如：多元统计分析。系统分析法：对复杂性问题或主观性问题的研究方法。把定性的思维和结论用定量的手段表示出来。如：层次分析法。建模步骤模型准备模型假设模型建立模型检验模型分析模型求解模型应用 建模步骤1）模型准备：了解问题的实际背景，明确建模目的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际对象的特征。有时需查资料或到有关单位了解情况等。
6、2）模型假设：根据实际对象的特征和建模目的，对问题进行必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的模型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素，尽量将问题均匀化、线性化。3）模型建立： 分清变量类型，恰当使用数学工具； 抓住问题的本质，简化变量之间的关系； 要有严密的数学推理，模型本身要正确； 要有足够的精确度。4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方法，计
7、算机技 术（编程或软件包）。特别地近似计算方法（泰勒级数，三角级数， 二项式展开、代数近似、有效数字等）。5）模型分析：结果分析、数据分析。变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优决策控制。6）模型检验：把模型分析的结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶段性和部分性符合好。7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。5模型的分类：1） 按变量的性质分：离散模型确定性模型线性模型单变量模型连续模型随机性模型非线性模型多变量模型2）按时间变化对模型的影响分： 静态模型参数定常模型动态模型参数时变模型3）按模型的应用领域（或
8、所属学科）分：人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分：初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。5）按建模目的分：描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。6）按对模型结构的了解程度分：白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现
9、象，如生命科学、社会科学等。建模示例之二 四足动物的身长和体重问题问题：四足动物的躯干（不包括头尾）的长度和它的体重有什么关系？假设：四足动物的躯干为圆柱体，质量为，长度为,断面面积为，直径为。建模： ，重量： , 实际中，根据动物进化，不同种类的动物其截面积与长度之比可视为常数，即 所以，得出： 重量与长度的平方成正比。即 注意：这个公式要在实际中检验，基本符合实际，就可作为经验公式来应用，否则要重新建立和完善模型。事实上，与实际吻合不好。假设：四足动物躯干为一根支撑在四肢上的弹性梁。为下垂度，即梁的最大弯曲度。由弹性理论:因为 即 为相对下垂度，其值太大，四肢无法支撑；其值过小，四肢的材料
10、和尺寸超过了支撑身体的需要，是一种浪费。因此，从生物角度可以认为，经过长期进化，对于每一种动物， 已达到其合适的数值，即是一个常数（不同种类的动物此值不尽相同），于是而 ，所以， 结论： ，可以由统计数据找出。此公式比较符合于实际，可在实际中推广使用。讨论与思考讨论题1 大小包装问题在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。（2）给出单位重量价格c与w的关系，并解释其实际意义。提示：决定商品价格的主要因素：
11、生产成本、包装成本、其他成本。 单价随重量增加而减少单价的减少随重量增加逐渐降低建模示例之三 安全渡河问题 人狗鸡米过河问题问题：三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？(见教材) 二初等模型 1席位分配问题2观众厅地面设计1 问题的提出在影视厅或报告厅，经常会为前边观众遮挡住自己的视线而苦恼。显然，场内的观众都在朝台上看，如果场内地面不做成前低后高的坡度，那么前边观众必然会遮挡后面观众的视线。试建立数学模型设计良好的报告厅地面坡度曲线。2
12、 问题的假设1) 观众厅地面的纵剖面图一致，只需求中轴线上地面的起伏曲线即可。2) 同一排的座位在同一等高线上。3) 每个坐在座位上的观众的眼睛与地面的距离相等。4) 每个坐在座位上的观众的头与地面的距离也相等。5) 所求曲线只要使观众的视线从紧邻的前一个座位的人的头顶擦过即可。建立坐标系o处在台上的设计视点 ya第一排观众与设计视点的水平距离 b第一排观众到x轴的垂 直距离d相邻两排的排距 b 视线升高标准 x表示任一排与设计视点的水平距离 o a d d x问题求任一排x与设计视点o的竖直距离函数 ,使此曲线满足视线的无遮挡要求。3 建模设眼睛升起曲线应满足微分方程 , 初始条件 , 1）
13、 从第一排起，观众眼睛与o点的连线的 y斜率随排数的增加而增加，而眼睛升起曲线显然与这些直线皆相交，故此升起曲线是凹的。 b o a d d x 2）选择某排 和相邻排 y N A Bo a x 相似于 , , ,再计算 , 相似于 , ， ，4 模型求解 微分不等式（比较定理）设函数 定义在某个区域上，且满足1）在D上满足存在唯一性定理的条件；2）在D上由不等式 ，则初值问题 与 的解 在它们共同存在区间上满足 ， 。 ， ， ，所求曲线的近似曲线方程（折衷法） 折衷法 y 总结与讨论 方法 利用微分不等式建模；有时只需求近似解。 o a d d x模型讨论 1）视点移动时升起曲线如何求得？
14、2）怎样减少地面的坡度？调整参数、相邻排错位。3）衡量经济的指标？座位尽量多、升起曲线占据的空间尽量少等。3 棋子颜色的变化问题4 跑步问题三 线性代数模型线性代数模型有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感觉，难以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性空间，利用线性代数的基本知识建立模型，就可以掌握事物的内在规律，预测其发展趋势。1 Durer 魔方 德国著名的艺术家 Albrecht Durer (1471-1521)于1514年曾铸造了一枚名为“Melen cotia I”的铜币。令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、数学数字和几何图形。这里我们仅研究铜币右上角的数字问题。1） Du
15、rer 魔方特点：每行之和、每列之和、对角线之和、四个小方块之和、中心方块之和都相等，为确定的数34。四角之和、中间对边之和均为34。所出现的数是1至16的自然数。最下边一行中心数为1514，正是制币的时间。问题：是否还存在具有这些（或部分）性质的魔方？1632135101189671241514110801001501401105040702016090120130306006118910601509119960711891070160911997定义：如果44数字方，它的每一行、每一列、每一对角线及每个小方块上的数字之和都为一确定的数，则称这个数字方为 Durer 魔方。R=C=D=S你想
16、构造Durer魔方吗？如何构成所有的Durer魔方？Durer魔方有多少？2 ）Durer魔方的生成集所有的Durer魔方的集合为 D00000000000000001111111111111111 O= E= R=C=D=S=0 R=C=D=S=4a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44b11b12b13b14b21b22b23b24b31b32b33b34b41b42b43b44 A= B= 类似于矩阵的加法和数乘，定义魔方的加法和数乘。易验证，D 加法和数乘封闭，且构成一线性空间。记 M =所有的44数字方 ，则其维数为16。而D是
17、M的子集，则D是有限维的线性空间。根据线性空间的性质，如果能得到D的一组基，则任一个Durer方均可由这组基线性表示。由0,1 数字组合，构造所有的R=C=D=S=1的魔方。共有8 个，记为Qi, i=1,2,8。10000010000101001000000101000010Q1= Q2=00011000001001000001010010000010 Q3= Q4=00101000010000010100001010000001 Q5= Q6=00100100000110000100000100101000Q7= Q8=易知, ,则 线性相关。而由0000000000000000 =线性无
18、关。任一Durer方可由它们线性表示。结论：1. Durer方有无穷多个。2. Durer方可由线性组合得到。Albrecht Durer的数字方的构成： 16321351011896712415141 =3 Durer方的应用推广（1）要求数字方的所有数字都相等。，基为，1维空间。（2）要求行和、列和、每条主对角线及付对角线数字和都相等。B 5维空间基为 , , , 例 ，R=C=H=N=46 ，H 主对角线，N付对角线数字和。（3）要求行和、列和及两条对角线数字和相等。8维空间Q，基为 ，D是Q的7维子空间。例 ，R=C=H=N=30（4）要求行和、列和数字相等。10维空间W。基为，（5）
19、对数字没有任何要求的数字方。16维空间M。空间维数0 1 5 7 8 10 16思考：能否构造出其他维数的数字方？练习：完成下面的Durer方R=C=D=S=30 67985976 149488711 R=C=D=S=100作业：构造你自己认为有意义的Durer方。2植物基因的分布设一农业研究所植物园中某植物的的基因型为AA、Aa 和 aa 。研究所计划采用AA型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何？1 建模准备植物遗传规律？动植物都会将本身的特征遗传给后代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成了自己的基因对，基因对就确定了
20、后代所表现的特征。常染色体遗传的规律：后代是从每个亲体的基因对中个继承一个基因，形成自己的基因对，即基因型。如果考虑的遗传特征是由两个基因 A、a控制的，那末就有三种基因对，记为AA、Aa 和 aa 。如：金鱼草花的颜色是由两个遗传因 子决定的，基因型为AA的金鱼草开红花，Aa 型的开粉红花，而 aa型的开白花。人类眼睛的颜色也是通过常染色体来控制的。基因型为AA ，或Aa 型的人眼睛颜色为棕色，而 aa型的人眼睛颜色为蓝色。这里AA ，Aa表示同一外部特征，我们认为基因A支配基因a，即基因a对A来说是隐性的。2 假设假设1.分别表示第n代植物中基因型为AA,Aa,aa的植物占植物总数的百分率
21、。，第n代植物的基因型分布为表示植物基因型初始分布。双亲体结合形成后代的基因型概率矩阵父体-母体的基因对AA-AA AA-Aa AA-aa Aa-Aa Aa-aa aa-aa后代基因对AA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21假设2. 植物中基因型第n-1代分布与第n代分布的关系由上表确定。父体-母体的基因对AA-AA AA-Aa AA-aa后代基因对AA11/20Aa01/21aa0003 建模4 求解模型，关键计算，。特征值为1，1/2，0，M可对角化，即可求出可逆对角矩阵P，使PMP-1。对应于每个特征值的特征向量为 ， ，当时，即经过足够长的时间后，培
22、育出来的植物基本上呈现AA型。三 matlab软件四 lingo软件五 优化模型一 优化模型的一般意义（一）优化模型的数学描述将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数 ，在约束条件 和 下的最大值或最小值，其中 设计变量（决策变量） 目标函数 可行域“受约束于”之意（二）优化模型的分类1.根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。2.根据设计变量的性质 静态问题和动态问题。3.根据目标函数和约束条件表达式的性质 线性规划，非线性规划，二次规划等。（1）非线性规划目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。（2）线性规划（LP） 目标函数和所有的约束条件都是设计变量的线性函数。（3）二次规划
23、问题目标函数为二次函数，约束条件为线性约束（4）根据设计变量的允许值 整数规划（0-1规划）和实数规划。（5）根据变量具有确定值还是随机值 确定规划和随机规划。（三）优化模型建立的一般步骤 1.确定设计变量和目标变量； 2.确定目标函数； 3.寻找约束条件。（四）简单优化模型举例1 存贮模型工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用；商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。存贮量多少合适？存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会导致一次性订购费用增加，或不能及时满足需求。问题1 不允许缺货的存贮模型配件厂为装配线生
24、产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000元，存贮费每日每件1元。如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。问题分析若每天生产一次，每次100件，无存贮费，生产准备费5000元，每天费用5000元；若10天生产一次，每次1000件，存贮费900+800+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用950元；若50天生产一次，每次5000件
25、，存贮费4900+4800+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用2550元；寻找生产周期、产量、需求量、生产准备费和存贮费之间的关系，使每天的费用最少。模型假设1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量；2 产品每日的需求量为常数 r ；3 每次生产准备费 C1，每日每件产品存贮费 C2；4 生产能力为无限大（相对于需求量），当存贮量 降到零时，Q件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。模型建立设 t 时刻的存贮量为 q(t) ，t = 0时生产 Q 件，存贮量 q(0) = Q , q(t) 以需求速率 r 线性递减，直至q(T) = 0
26、，如图，q(t) = Q- r t， Q = r T 。 q Q A o T t不允许缺货模型的存贮量q(t) 一个周期内存贮量 (A的面积)一个周期内存贮费一个周期的总费用每天平均费用模型求解 用微分法 ， ，每天平均最小费用著名的 经济订货批量公式（EOQ公式）。结果解释 ， ，当准备费 c1 增加时，生产周期和产量都变大；当存贮费 c1 增加时，生产周期和产量都变小；当日需求费 r 增加时，生产周期变小而产量变大。这些定性结果符合常识，而定量关系（平方根，系数2 等）凭常识是无法得出的，只能由数学建模得到。 ， ，这里得到的费用C与前面计算得950元有微小差别，你能解释吗？敏感性分析讨论
27、参数 有微小变化时对生产周期T 影响。由相对变化量衡量对参数的敏感程度。T 对c1 的敏感程度记为 ， ， ， ，意义是当准备费增加1%时，生产周期增加0.5% ；而存贮费增加1%时，生产周期减少0.5% ；日需求量增加1%时，生产周期减少0.5% 。当 有微小变化对生产周期影响不太大。思考1 建模中未考虑生产费用（这应是最大一笔费用），在什么情况下才可以不考虑它？2 建模时作了“生产能力无限大”的简化假设，如果生产能力有限，是大于需求量的一个常数，如何建模？问题2 允许缺货的存贮模型模型假设1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量；2 产品每日的需求量为常数 r ；3 每次生产准
28、备费 C1，每日每件产品存贮费 C2；4 生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺货，每天每件产品缺货损失费C3 ，但缺货数量需在下次生产（订货）时不足。模型建立因存贮量不足造成缺货，因此 q(t) 可取负值，q(t) 以需求速率 r 线性递减，直至q(T1) = 0，如图。q(t) = Q-r t， Q = r T1 。 q Q r R A o B T t允许缺货模型的存贮量q(t) 一个周期内存贮费一个周期内缺货损失费一个周期的总费用每天平均费用模型求解用微分法 令 ,每天平均最小费用每个周期的供货量 , 与不允许缺货模型相比较，有结果解释 , 1） 即允许缺货时，周期和供货量增加，周期初的存贮量减少。2）缺货损失费愈大，愈小，愈接近，愈接近。3) 不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例。2 生猪的出售时机问题3 最优捕食者策略假设存在一种捕食者，穴居A处，在B和C处有两个食物源X、Y。捕食者从巢穴A到区域B和C带回一单位的食物所需的时间估计为2分钟和3分钟。捕食者在区域B平均花2分钟捕获一单位食物X，而在区域C只花1分钟就捕获一单位食物Y。一单位X所产生的热量估计为25焦耳，一单位Y所产生的热量估计为30焦耳。假设捕食者每天不可超过120分钟用于从巢穴到食物区来回行走，同时每天不可能花80分钟以上搜寻食物。估
