1、高等数学_课程教案授课类型 理 论 课 授课时间 2 节授课题目（教学章节或主题）：第九章 重积分第一节 二重积分的概念与性质本授课单元教学目标或要求： 理解二重积分的概念及几何意义，了解二重积分的性质，知道二重积分中值定理。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容： 一、二重积分的概念1、曲顶柱体的体积2、平面薄片的质量3、二重积分的定义 几何意义：若,二重积分表示以为顶,以为底的曲顶柱体的体积。如果是负的，柱体就在面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的。如果在的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的
2、，我们可以把面上方的柱体体积取成正，下方的柱体体积取成负，则在上的二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的代数和。二、二重积分的性质1、【线性性】 其中:是常数。2、【对区域的可加性】若区域分为两个部分区域与,则3、若在上, ,为区域的面积,则： 几何意义: 高为的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。4、若在上,则有不等式：特别地,由于，有：5、【估值不等式】设与分别是在闭区域上最大值和最小值, 是的面积,则6、【二重积分的中值定理】设函数在闭区域上连续, 是的面积,则在上至少存在一点,使得 重点与难点：二重积分的概念及性质 三、讲解例题：【例1】估计二重积分 的值, 是圆域。解: 求被积
3、函数 f(x,y)=x2+4y2+9在区域上的最值：,于是有【例2】比较积分与的大小, 其中D是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0)。解：三角形斜边方程，在D内有,故,于是,因此 。本授课单元教学手段与方法： 多媒体教学，启发式本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处。 作业P79 5(2,3)本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实
4、习课、练习或习题课。_高等数学_课程教案授课类型 理 论 课 授课时间 2 节授课题目（教学章节或主题）：第十章 重积分第二节 二重积分的计算法（1）本授课单元教学目标或要求： 熟练掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容： 一、利用直角坐标计算二重积分 如果积分区域D为X型：，其中函数、在区间上连续。的值等于以D为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积。应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得： 如果积分区域D为Y型：，其中函数、在区间上连续。 。重点与难点：确定积分区域的类型，将二重积分如何转化
5、为二次积分。 二、讲解例题：【例1】改变积分 的次序.【例2】改变积分的次序.【例3】计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域。解：(法一) , (法二) , 【例4】求，其中D是以为顶点的三角形.解: 解：无法用初等函数表示， 积分时必须考虑次序。注意：在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序。这时，即要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的特性。【例5】求由曲面及所围成的立体的体积。解:立体在面的投影区域为： 本授课单元教学手段与方法： 多媒体教学，启发式本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题设在上连续，并设，求 作业P95 1（4） 2（1，2）P96 6
6、（3，5） 8 10本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。_高等数学_课程教案授课类型 理 论 课 授课时间 2 节授课题目（教学章节或主题）：第十一章 重积分第二节 二重积分的计算法（2）第三节 三重积分（1）本授课单元教学目标或要求：1 熟练掌握二重积分在极坐标下的计算方法2 理解三重积分的概念 3 掌握三重积分在直角坐标系的计算方法。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解
7、决重点难点的方法、例题等）：基本内容： 一、利用极坐标计算二重积分 极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。【情形一】，其中函数, 在上连续。 【情形二】，极点O在区域D的边界曲线上。【情形三】，极点O在区域D的内部。二、三重积分的概念三、利用直角坐标计算三重积分若，则三重积分可化为如下三次积分：重点与难点：二重积分在极坐标下的计算方法，三重积分在直角坐标系的计算方法。 四、讲解例题：【例1】将下列区域用极坐标变量表示1、2、【例2】计算，其中D 是由中心在原点，半径为的圆周所围成的闭区域.注意：使用极坐标变换计算二重积分的原则：(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(
8、含圆弧,直线段 )；（2）、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单【例3】计算, 其中为球面及三坐标面所围成的位于第一卦限的立体。【例4】计算三重积分，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域【例5】 计算三重积分，其中 是由椭球面所成的空间闭区域.本授课单元教学手段与方法： 多媒体教学，启发式本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题为六个平面围成的区域，在上连续，则累次积分 作业P97 14（2） 15（4） 16P106 1（3） 5本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分
9、要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。_高等数学_课程教案授课类型 理 论 课 授课时间 2 节授课题目（教学章节或主题）：第十二章 重积分第三节 三重积分（2）本授课单元教学目标或要求：4 掌握三重积分在柱面坐标下的计算方法5 掌握三重积分在球面坐标系的计算方法。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容： 一、利用柱面坐标计算三重积分 用柱面坐标表示积分区域的方法如下：(1)、找出在面上的投影区域, 并用极坐标变量表示之；(2)、在内任取一点, 过此点作平行于轴的直线穿过区域, 此直线与边界曲面的两交点
10、之竖坐标( 将此竖坐标表示成的函数 )即为的变化范围。二、利用球面坐标计算三重积分重点与难点：三重积分在柱面与球面坐标系的计算方法。 三、讲解例题：【例1】求下述立体在柱面坐标下的表示形式1 球面与三坐标面所围成的立体且位于第一卦限内的部分。2 由锥面与平面所围成的立体。【例2】利用柱坐标计算三重积分,其中是由曲面与平面所围成的闭区域。【例3】求半径为的球面与半顶角为饿内接锥面所围成的立体的体积。本授课单元教学手段与方法： 多媒体教学，启发式本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题若为中关于面对称的有界闭区域，为上的连续函数，则当关于 奇函数时，；当关于 为偶函数时， 其中为在面上的部分。 作
11、业P106 9（1） 10（2）P107 11（2，4） 13本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。_高等数学_课程教案授课类型 理 论 课 授课时间 2 节授课题目（教学章节或主题）：第十三章 重积分第四节 三重积分的应用本授课单元教学目标或要求：会用重积分来表达一些几何量（如平面图形的面积、体积、曲面面积）和物理量（如质量、质心坐标、转动惯量、引力等）本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点
12、，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：一、曲面的面积，即： 二、质心，如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则三、转动惯量，四、引力重点与难点：曲面面积计算方法。 三、讲解例题：【例1】求球面含在柱面() 内部的面积【例2】求位于两圆和之间的均匀薄片的质心。【例3】求由抛物线及直线所围成的均匀薄片(面密度为常数)对于直线的转动惯量。【例4】设半径为的匀质球占有空间闭区域，求它对位于 处的单位质量的质点的引力。本授课单元教学手段与方法： 多媒体教学，启发式本授课单元思考题、讨论题、作业： 作业P116 1 3P117 11本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。 第 页，共 页
