1、金属塑性成形基本工序的力学分析及主应力法 由于接触面上摩擦力的存在，正应力的分布是不均匀的，需要利用应力平衡微分方程、应力应变关系式、变形连续方程和塑性条件等联立求解。但是，这种数学解析法计算十分复杂，用一般的解析方法求解是非常困难的，甚至是不可能的。只有在某些特殊情况下或将实际问题进行一些简化后，对于平面问题和轴对称问题才能求解。因此，为解决变形力的实际问题，需要引进各种假设以简化联立方程，主应力法（也称工程法或切块法）就是在此基础上建立起来的一种近似求解方法。3、1 主应力法的基本原理 为了使问题得以简化，主应力法主要采用以为了使问题得以简化，主应力法主要采用以下基本假设：下基本假设：1、
2、屈服准则的简化 假设工具与坯料的接触表面为主平面或者为最大剪应力平面。以镦粗为例，即是接触面上的摩擦剪应力 或者视为零，或者视为最大值 ，这样平面变形问题的Mises屈服准则就简化为：k2xyk0 xy0 xydd或则：2、力平衡微分方程的简化 力平衡微分方程简化，将变形过程近似地视为平面问题或轴对称问题，并假设法向应力与一个坐标轴无关，因此微分平衡方程不仅可以减少，而且可将偏微分该为常微分。以平面变形条件下的矩形件压缩为例，其Z轴方向不变形，则变形力的平衡微分方程为：00yxxxyyxyxy由于Z轴方向不变形，所以有：故：2yxfyh0zx0zxz 如假设剪应力 在y方向上呈线性分布，则：y
3、x并且设 与y轴无关（即在坯料厚度上，是均匀分布的），则：xxxxdxdx这样，力平衡方程简化为：20fxddxh或者可以从变形体上截取微元体，进行受力分析建立力平衡方程，有：20 xxxfdhlhlldx金属流动方向镦粗方向xyexexdxyyxx+dxyeh2020 xffxdhdxddxh则：（显然，上式也是假设 在y方向均匀分布。）x3、接触表面摩擦规律的简化 接触表面的摩擦多采用近似关系：(0 1fnffmk mk为摩擦因子，取值在）其中 为屈服剪应力。k 4、变形区几何形状的简化 根据所取坐标系以及变形特点，把变形区的几何形状作简化处理。如平锤下镦粗时，侧表面始终保持与接触面垂直关
4、系等。5、其他假设 如将变形区材料视为均匀、各向同性，变形均匀，剪应力在坯料厚度或半径方向线性分布，某些数学近似处理等。（1）平衡方程 ij0ixijxyz（，）（2）几何方程 jiijij1()2uuxx（3）物理方程 ijijmij1122GE 弹性：塑性：1）增量理论 ijijdd3()2eeddijijd3()2eedd3）全量理论 ijij2）应力应变速率方程 求解问题所应用的方程：3()2ee（4）边界条件 物体外表面为S，Sd和St分别表示位移和外力 uuTT 位移给定值 外力给定值（5）补充方程 1）屈服准则 13:|:ssTrescaMises2）连续方程 222221()2
5、xyyxx yyx 2xyyzzxxxyzxy z（+-）3）塑性变形体积不变 1230,000mmxyzd（有3+3个方程）同一平面内不同平面内一、主应力法的基本原理 1、根据实际变形区的情况，将问题简化 为轴对称问题或平面问题，这样联立 方程中的塑性条件就比较简单。对于 形状复杂的变形体，可以根据金属流 动情况，将它划分为若干形状简单的 部分，每一部分分别按照轴对称问题 或平面问题求解。2、切取基元体。根据金属流动方向，沿变形体整个截面切取一个包含接触面的基元体，或沿变形体部分截面切取含有边界条件已知的表面在内的基元体。假设在接触面上有正应力和切应力（摩擦力），设在切面上有与一个坐标轴无关
6、且为均匀分布的正应力为主应力，在研究基元体平衡方程时，方程数目减少的同时，得到的还是常微分方程，大大降低了计算难度。3、假定工具与金属接触面上的边界条件为：正应力为主应力，切应力（摩擦力）服从库仑摩擦条件 或常摩擦条件 。4、忽略各坐标平面上的切应力和摩擦切应力对塑性条件的影响，列出基元体的塑性条件，然后与简化的平衡微分方程联立求解，利用边界条件确定积分常数，得出接触面上的应力分布，进而求得变形力。fnffSk或3、2 镦粗变形例题1:在水平模具间镦粗长矩形截面的钢 坯，宽度为 、高度为 、长度 为 ，且长度远远大于宽度。若接触面上摩擦为常摩擦，即 （为材料屈服应力）。试用主应力法推导接触面上
7、的单位压力 和成形力 。ahlsspP解：1、切取基元体，受力分析，如右图所示。2、列 向受力平衡方程：化简得：（）3、由Tresca屈服准则（忽略 ），其中：；x20 xxxdhlhlldx2xddxh 13s1x 3z 所以：（）将式（）代入式（）中，得：（）、将摩擦条件 代入式（），并积分，得：（）当 时，。所以，积分常数得：（5）xzs 2zddxh s2zsxCh 2ax 0 xszhaCss试用主应力法推导接触面上的单位压力将（5）代入（4）中，得接触面上的正应则：（3）个坐标轴无关，因此微分平衡方程不仅可以减得：（）从凸缘变形区切取一扇形基元体，该单元处于平衡状态，由径向合力为0
8、得：均匀的，需要利用应力平衡微分方程、应力应变关系个坐标轴无关，因此微分平衡方程不仅可以减物体外表面为S，Sd和St分别表将（5）代入（4）中，得接触面上的正镦粗一圆柱体，侧面作用有均布压应力 ，（为材料屈服应力）。5、求接触面上的正应力 将（5）代入（4）中，得接触面上的正 应力：6、求总变形力 和单位压力 hxassz2PphaladxhxalPsass212220halaPps21 镦粗一圆柱体，侧面作用有均布压应力 ，如图所示。设摩擦切应力满足常摩擦条件，即 （为材料屈服应力）。试用主应力法推导接触面上的成形力 和单位流动压力 。例题2:0ssp解：1、切取基元体，受力分析，如右图所示
9、。2、建立沿径向受力平衡方程，并化简得：（）3、因为：，所以：将式（1）改写为：（2）20ddhd 222dd 20ddh、忽略摩擦，又由 ；由应力应变顺序关系，有：由Tresca屈服准则，有：所以：，则：（3）5、将条件 代入式（），并积分，得：（）0,0zzszddddz20zddhs2szCh 6、求接触面上的正应力 由边界条件，知当 时，所以：。积分常数得：（5）将（5）代入（4）中，得接触面上的正应 力：7、求总变形力和单位压力 2D00zs0ssDCh02zssDh2200022312DszsssDDPd ddDhh 0234sSPpDDh拉深凸缘变形区的应力分布 应用主应力法可应用主应力法可以求解凸缘区的应力以求解凸缘区的应力分布。设拉延过程中分布。设拉延过程中板厚不变，且暂不考板厚不变，且暂不考虑外摩擦影响。虑外摩擦影响。从凸缘变形区切取一扇形基元体，该单元处于平衡状态，从凸缘变形区切取一扇形基元体，该单元处于平衡状态，由径向合力为由径向合力为0得：得：()()2sin02rrrdtRddt RdR dtdR(1)例题3:()()2sin02rrrdtRddt RdR dtdR略去高阶微量，整理后得()rrdRdR(2)（式中应力为绝对值表示）因处于塑性状态，根据Mises屈服准则有：()rs(3)联解（2），（3）得rsdRR (4)
