1、高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册数列专项突破3第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1已知an是公差为d（d0）的等差数列，若存在实数x1，x2，x3，x9满足方程组，则d的最小值为（）ABCD2已知数列的各项都是正数且满足，是数列的前项和，则下列选项中错误的一项是（ ）A若单调递增，则；B若，则；C若，则D若，则.3已知数列满足：.若正整数使得成立，则A16B17C18D194已知各项都为正数的数列满足，给出下列三个结论：若，则数列仅有有限项；若，则数列单调递增；若，则对任意的，陼存在，使得成立则上述结论中正确的为（ ）ABCD5数列中，若，则下列命题中真命题个数是
2、（ ）（1）若数列为常数数列，则；（2）若，数列都是单调递增数列；（3）若，任取中的项构成数列的子数（），则都是单调数列.A个B 个C个D个6已知数列an满足：a1=0，（nN*），前n项和为Sn (参考数据： ln20.693，ln31.099)，则下列选项中错误的是（ ）A是单调递增数列，是单调递减数列BCD二、多选题7已知数列满足：，设，数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ）A数列单调递增，数列单调递减BCD8已知数列满足，其中表示不超过实数的最大整数，则下列说法正确的是（ ）A存在，使得B是等比数列C的个位数是5D的个位数是1第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题
3、9已知数列的通项公式分别为，其中，令（表示三者中的最大值），则对于任意，的最小值为_10任意实数a，b，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，则=_；11对于数列定义：，称数列为数列的阶差分数列.如果（常数），那么称数列是阶等差数列.现在设数列是阶等差数列，且，则数列的通项公式为_.12定义“穿杨二元函数”如下：.例如：.对于奇数，若，（彼此相异），满足，则最小的正整数的值为_.四、解答题13设数列an和bn的项数均为m，则将数列an和bn的距离定义为.（1）给出数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；（2）设A为满足递推关系an+1=的所有数列an的集合，bn和cn为A中的两
4、个元素，且项数均为m，若b1=2，c1=3，bn和cn的距离小于2016，求m的最大值；（3）记S是所有7项数列an|1n7，an=0或1的集合，TS，且T中任何两个元素的距离大于或等于3，证明：T中的元素个数小于或等于16.14在无穷数列中，是给定的正整数，.若，写出，的值；证明：存在，当时，数列中的项呈周期变化；若，的最大公约数是，证明数列中必有无穷多项为.15给定数列，对，该数列前i项的最大值记为，后项的最小值记为，（1）设，求；（2）设是公比大于1的等比数列，且时，证明：成等比数列；（3）设是公差大于0的等差数列，且，证明：成等差数列16已知数列满足.（1）当时，求证：数列不可能是常数
5、列；（2）若，求数列的前项的和；（3）当时，令，判断对任意，是否为正整数，请说明理由.试卷第3页，共4页参考答案1C【分析】把方程组中的都用和表示，求得的表达式，根据方程组从整体分析可知：当，时，取最小值【详解】解：把方程组中的都用和表示得：，把代入得：，根据分母结构特点及可知：当，时，取最小值为故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据方程组从整体分析得：当，时，取最小值2D【分析】由数列递增可得，结合数列的递推式，解不等式可判断；分别求得，比较可判断；由数列的递推式可得，由累乘法可判断；求得，可判断【详解】解：数列的各项都是正数且满足，若单调递增，可得，即为，可得，且，由，可得，故正
6、确；若，可得，解得（负值已舍去），由，而在，的范围是，而，则，故方程的解在，内，故正确；由，可得，即，即，可得，故正确；若，可得，解得，由，可得，故错误故选：D【点睛】本题考查数列的递推公式的运用，考查数列中的项的范围和单调性，以及数列的求和，考查化简运算能力、推理能力3B【分析】由题意可得，时，将换为，两式相除，累加法求得即有，结合条件，即可得到所求值【详解】解：，即，时，两式相除可得，则，由，可得，且，正整数时，要使得成立，则，则，故选：【点睛】本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题.4A【分析】对于
7、，利用数列的单调性，通过累加法即可作出判断；对于，先证明，再借助作差法即可得到结果；对于，判断数列是有界的还是发散的即可.【详解】对于，又数列各项都为正数，数列单调递减，；，即，即，即，而为定值，数列仅有有限项，命题正确；对于，先用数学归纳法证明.（1）当时，显然成立；（2）假设时，则，记，在上单调递增，对，都有.，又在上单调递增，又，数列单调递增，命题正确；对于，即，又，显然存在上界，即存在上界，命题错误.故选：A【点睛】方法点睛：递推关系显然无法确定通项，从而要从项间关系切入，利用单调性、最值、周期性等，结合放缩思想即可得到结果.5C【分析】对（1），由数列为常数数列，则，解方程可得的值；
8、对（2），由函数，求得导数和极值，可判断单调性；对（3），由，判断奇偶性和单调性，结合正弦函数的单调性，即可得到结论【详解】数列中，若，（1）若数列为常数数列，则，解得或，故（1）不正确；（2）若，由函数，由，可得极值点唯一且为，极值为，由，可得，则，即有.由于，由正弦函数的单调性，可得，则数列都是单调递增数列，故（2）正确；（3）若，任取中的9项，构成数列的子数列，2，9，是单调递增数列；由，可得，为奇函数；当时，时，；当时，；时，运用正弦函数的单调性可得或时，数列单调递增；或时，数列单调递减所以数列都是单调数列，故（3）正确；故选：C.【点睛】本题考查数列的单调性的判断和运用，考查正弦函数
9、的单调性，以及分类讨论思想方法，属于难题6C【分析】设，则有，构建，求导分析可知导函数恒大于零，即数列都是单调数列，分别判定，即得单调性，数列与数列的单调性一致，可判定A选项正确；B、C选项利用分析法证明，可知B正确，C错误；D选项利用数学归纳法证分两边证，即可证得.【详解】由题可知，a1=0，设，则有，即令，则，这里将视为上的前后两点，因函数单调递增，所以，所以数列都是单调数列又因为同理可知，所以单调递增，单调递减因为数列与数列的单调性一致，所以单调递增，单调递减，故A选项正确；因为，则，欲证，即由，上式化为，显然时，当时，故成立；所以原不等式成立故B选项正确；欲证，只需证，即即，显然成立故
10、，所以故C选项错误；欲证，因单调性一致则只需证，只需证因为，若，则；又因为，若，则；由数学归纳法有，则成立故D选项正确。故答案为：C【点睛】本题考查二阶线性数列的综合问题，涉及单调数列的证明，还考查了分析法证明与数学归纳法的证明，属于难题.7ABC【分析】由给定条件可得，由此构造函数，利用导数研究其单调性而判断选项A，利用不等式性质探求出可判断选项B，由的范围探求出的范围而判断选项C，取特值说明而判断选项D.【详解】因，则，即，令，则，在上单调递增，点与是函数图象上的两点，于是有，则，都单调，又，则，即，所以单调递增，单调递减，A正确；显然，而，即，则，于是，则有，所以，B正确；，而，所以，C
11、正确；若，则，而，即对和都不成立，D不正确.故选：ABC【点睛】关键点睛：涉及单调性的某些数列问题，数列是一类特殊的函数，准确构造相应的函数，借助函数导数研究其单调性是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.8BD【分析】根据取整函数的性质可得数列为递增数列，根据整数的性质可得，从而可求数列的通项，从而可判断AB的正误，利用二项式定理可判断C的正误，从而可判断D的正误.【详解】，.由题可得为正整数，故，所以数列为递增数列，故当时，又当时，即，故即.又，结合、均为正整数可得，其中，而，故，其中.故，又，故，故，故数列是以为首项，3为公比的等比数列，因此，因此A错误，B正确又，因为为10
12、的倍数，故的个位数为，因此C错误设，则，故的个位数为，因此D正确.故选：BD【点睛】思路点睛：以取整函数为背景的数列的递推关系，需结合递推关系的形式和整数的性质挖掘新的隐含的递推关系，从而把问题转化为常见的递推关系，与个位数或余数有关的问题，多从二项式定理去考虑.9【分析】当时，可得，再根据数列的单调性求得，取得最小值，而，分别求出，比较可得时，的最小值，然后当时，根据函数的单调性，分别求出可能取得最小值时的值，比较即可得答案【详解】当时，可得，因为数列为单调递减数列，数列为单调递增数列，所以当时， 取得最小值，此时，因为，而，又因为，所以当时，的最小值为，当时，因为数列为单调递减数列，数列为
13、单调递增数列，所以当时，取得最小值，此时，因为，而，此时的最小值为 ， 当时，所以，令，因为数列为单调递减数列，数列为单调递增数列，所以当时，取得最小值，此时，因为，而，又因为 ，此时的最小值为 ，综上，的最小值为，故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查数列的单调性的应用，考查分类思想，解题的关键是分别当，和时，根据题意求出的最小值，然后比较可得答案，考查计算能力，属于难题10【解析】【分析】根据定义可得函数的解析式对等比数列的公比分三种情况讨论，再结合对数的运算性质即可求得数列的首项【详解】因为对任意实数a，b，定义函数 数列是公比大于0的等比数列，且 当时，因为所以，由等比数列通项公式可得
14、，所以整个数列为因为所以代入可得即由对数运算所以化简后可得，即所以当时，此时，所以不成立 当时，所以整个数列为所以，因为代入可得即由对数运算所以化简后可得因为当时，所以等式左边大于0，等式右边小于0，方程无解综上所述，故答案为【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及性质的综合应用，指数与对数的互换、对数的综合运算及求值，分类讨论思想的应用，计算量大，过程繁琐，需要很强的计算推理能力，属于难题11【分析】根据定义，利用迭加法求得，继续迭加后，得出，先求出的表达式，即可得出数列的通项公式.【详解】解：由题知：，迭加得：，则，.又，则，迭加得：，则，则，迭加得：，则，则.故答案为：.【点睛】本题考查由
15、新定义求数列通项公式以及迭加法的运用，考查逻辑思维和计算能力.129765【分析】先求出，由题设可知至少有5个不同的正的奇约数，且5个奇约数中，至少有一个为的形式，据此可得的最小值.【详解】因为，故.由题设，存在5组不同的，使得奇数，故有5个不同的形如形式正的奇约数，又，又，故的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查数列的求和以及正奇数的因数分解，注意对题设条件要合理转化，从而得到正奇数满足的性质，本题属于难题.13（1）7；（2）3455；（3）证明见解析.【分析】（1）由数列距离的定义直接求出所给两个数列的距离；（2）令a1=p，由递推公式，求出a2，a3，a4，a5，探求出A中数列项的周
16、期性，即得数列bn和cn规律，由结合周期性及，求得m的最大值；（3）假设T中的元素个数大于等于17个，设出cn，dn，fn，最终求得和中必有一个成立，与已知矛盾即可得解.【详解】（1）依题意，数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为1+0+5+1=7；（2）设a1=p，其中p0，且p1，由，得，a5=p，因此，a1=a5，则有A中数列的项呈周期性重复，且间隔4项重复一次，在数列bn中，b4k-3=2，b4k-2=-3，b4k-1=-，b4k=，kN*，在数列cn中，b4k-3=3，b4k-2=-2，b4k-1=-，b4k=，kN*，得项数m越大，数列bn和cn的距离越大，由得：，于是得
17、m3456时，所以m的最大值为3455；（3）假设T中的元素个数大于等于17个，在数列an中，ai=0或1，则仅由数列前三项组成的数组(a1，a2，a3)有且仅有8个，(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)，那么这17个元素(即数列)之中必有三个具有相同的a1，a2，a3，设这个数列分别为cn：c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7，dn：d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7，fn：f1，f2，f3，f4，f5，f6，f7，其中c1=d1=f1，c2=d2=f2，c3=d3=f3，因为这三个数列中每两
18、个的距离大于等于3，则在bn和cn中，cidi(i=4，5，6，7)中至少有三个成立，不妨设c4d4，c5d5，c6d6，由题意，c4和d4中一个等于0，而另一个等于1，又因f4=0或1，于是得f4=c4和f4=d4中必有一个成立，同理，得f5=c5和f5=d5中必有一个成立，f6=c6和f6=d6中必有一个成立，因此，“fi=ci(i=4，5，6)中至少有两个成立”或“fi=di(i=4，5，6)中至少有两个成立”中必有一个成立，从而得和中必有一个成立，与T中任何两个元素的距离大于或等于3矛盾，即假设不成立，所以T中的元素个数小于或等于16.【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理
19、解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并合理地运用计算、分析、推理等方法综合解决.14，；证明见解析；证明见解析.【分析】由，结合，可求出，的值；利用反证法证明，假设，由于，证得当时，数列中的项呈周期变化；利用反证法证明数列中必有，再利用综合法证明数列中必有无穷多项为.【详解】解：由，得，.从第四项开始满足，.所以，.证明：反证法：假设，由于，记，则，.则，.由数学归纳法易得，当时，与矛盾.故存在，使.所以数列必在有限项后出现值为的项，故存在，当时，数列中的项呈周期变化.证明：先证数列中必有（反证法）：假设数列中没有，由知数列中必有项，设第一个项是，令，则必有，于是由，则，因
20、此是的因数，由，则或，因此是的因数，依次递推，可得是，的因数，因为，所以这与，的最大公约数是矛盾，所以数列中必有；再证数列中必有无穷多项为：假设数列中第一个项为，令，则，若，则数列中的项从开始依次为“，”的无限循环，故有无穷多项为；若，则，若，则进入“，”的无限循环，故有无穷多项为；若，则从开始的项依次为，必出现连续两个，从而进入“，”的无限循环，故有无穷多项为；综合可知，数列中必有无穷多项为.【点睛】本题主要考查递推数列，合情推理及数列有关的证明，考查分析问题能力，综合性很强，属于难题.15（1）；（2）证明详见解析；（3）证明详见解析.【分析】（1）先求得，由此求得.（2）通过证明（为常数
21、），证得成等比数列.（3）通过证明（为常数），证得成等差数列.【详解】（1）依题意，所以.（2）设数列的公比为，则，所以数列是所有项都为正数的递增数列.所以（）.所以=；，所以，所以成等比数列.（3）设数列的公差为，则，因为，所以；同理，所以.因为，所以，同理.所以，所以，所以.所以数列是递增数列.又因为，所以，即，所以，所以；同理，所以.所以成等差数列.【点睛】本小题主要考查数列新定义，考查等差数列、等比数列的证明，属于难题.16（1）证明见解析（2）当时，；当时，.（3）对任意，是正整数，理由见解析.【分析】（1）由题干条件得到，故可说明数列不可能是常数列；（2）分，与，两种情况进行求解；
22、（3）先求出，故猜想对任意，是正整数，对平方后整理为，代入中，消去，得到关于的式子，再进行整理得到，故可类推出结果.（1）证明：，因为，所以，故当时，数列不可能是常数列（2）因为，所以当时，时，即当为奇数时，当为偶数时，设数列的前项的和为，当为奇数时，当为偶数时，综上：当时，时，此时为等比数列，首项为2，公比为，当时，当时，故.（3）对任意，是正整数，理由如下：当时，所以，猜想：为正整数，证明：，则，代入到得：，整理得：，从而，（），于是，所以，因此知，当时，当时，以此类推，对任意，证毕.【点睛】数列的压轴题一般要用函数思想，需要结合不等式及特殊到一般的处理思路，比如本题第三问，在求解对任意，是否为正整数时，要先结合，再使用消元思想来进行解决.答案第21页，共22页
