1、第五章第五章点点 的的 运运 动动 学学点的三维变速曲线运动5-1 5-1 矢量法矢量法 rr t运动方程运动方程加速度加速度单位单位2m/s22ddddvravrtt提问：如何确定速度和加速度的方向？提问：如何确定速度和加速度的方向？单位单位 速度速度ddrvrtm/s矢端曲线矢端曲线 速度速度矢径矢端曲线切线矢径矢端曲线切线 加速度加速度速度矢端曲线切线速度矢端曲线切线直角坐标与矢径坐标之间的关系直角坐标与矢径坐标之间的关系()()()r tx tiy tjz t k运动方程运动方程()()()xx tyy tzz t5-2 5-2 直角坐标法直角坐标法ddxxvtddyyvtddzzvt
2、ddddddddxyzrxyzvijkv iv jv ktttt速度速度22ddddyyvyatt22ddddzzvzatt22ddddxxvxatt加速度加速度ddddddddyxzxyzvvvvaijka ia ja ktttt求：求：M 点的运动方程；点的运动方程；轨迹；轨迹；速度；速度；加速度。加速度。已知：椭圆规的曲柄已知：椭圆规的曲柄OC 可绕定轴可绕定轴O 转动，其端点转动，其端点C 与规与规尺尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别在相互两端分别在相互垂直的滑槽中运动，垂直的滑槽中运动，taMClBCACOC,例例 5-15-1 点点M作曲线
3、运动，取坐标系作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。如图所示。运动方程运动方程()cos()cosxOCCMlattalAMysin)(sin消去消去t,得轨迹得轨迹1)(2222alyalx）解：解：速度速度talxvxsin talyvycos)(22()sincos(,)2cos 2xvlatv ivlaalt 22()coscos(,)2cos 2yvlatvjvlaalt2222222222()sin()cos2cos2xyvvvlatlatlaalt加速度加速度talxvaxxcos2 talyvayysin2 taltalaaayx24224222sin(cos）2222cos 2
4、laalt22()coscos(,)2cos 2xalata ialaalt 22()sincos(,)2cos 2yalatajalaalt 已知：已知：正弦机构如图所示。曲柄正弦机构如图所示。曲柄OM长为长为r，绕，绕O轴匀速转动，轴匀速转动，它与水平线间的夹角为它与水平线间的夹角为其中其中 为为t=0时的夹角，时的夹角，为一常数。动杆上为一常数。动杆上A，B两点间距离为两点间距离为b。,t例例5-25-2求：点求：点A和和B的运动方程及点的运动方程及点B B的速度和加速度。的速度和加速度。A，B点都作直线运动，取点都作直线运动，取Ox轴如图所示。轴如图所示。运动方程运动方程)sin(si
5、ntrbrbxA)sin(sintrrxBB点的速度和加速度点的速度和加速度trxvBBcos22sinBBBaxrtx 周期运动周期运动()x tTx t频率频率Tf1解：解：已知：如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在套已知：如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度筒内作直线往复运动。设活塞的加速度 （为活塞的速度，为活塞的速度，为比例常数为比例常数)，初速度为，初速度为 。akv v0vk例例5-35-3求：活塞的运动规律。求：活塞的运动规律。活塞作直线运动，取坐标轴活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图所示如图所示ddvakvt 由00ddvtvvktv
6、 得00ln,ektvktvvv 0dedktxvvt由000dedxtktxxvt得001 ektvxxk解：解：分析齿轮上一点的运动分析齿轮上一点的运动外啮合齿轮 5-3 5-3 自然法自然法()sf t1.1.弧坐标弧坐标自然法：自然法：利用点的运动轨迹建立弧坐标和自然轴系，利用它们利用点的运动轨迹建立弧坐标和自然轴系，利用它们 描述和分析点的运动的方法。描述和分析点的运动的方法。弧坐标表示的运动方程，为代数量弧坐标表示的运动方程，为代数量0dlim1drrtss ddrs 切线单位矢量2.2.自然轴系自然轴系 副法线单位矢量副法线单位矢量bn切向单位矢量切向单位矢量n主法线单位矢量主法
7、线单位矢量0时，的极限方向垂直于，亦即n方向。ndddddd1ddddsss因为因为方向同方向同nddns所以所以曲率：曲线切线的转角对弧长的一阶导数的绝对值曲率：曲线切线的转角对弧长的一阶导数的绝对值上式将用于法向加速度的推导上式将用于法向加速度的推导ddddddddrrssvvtstt3.3.速度速度ddddddvvavttt4.4.加速度加速度ddddddsvntst代入代入2ddtnvvanaa nt则则切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度曲线匀变速运动曲线匀变速运动22tddddtstva22n)dd(1tsvan2t2aaa曲线匀速运动曲线匀速运动常数常数tvssvva000t
8、,0常数常数2t00t0t21,tatvsstavva已知：已知：列车沿半径为列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达后，速度到达54km/h。例例5-45-4求：列车起点和未点的加速度。求：列车起点和未点的加速度。列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图。列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图。120smin2t2n2t2m/s308.0aaa222nm/s281.0800mm/s)15(Rva0,0nat2tm/s125.0 aa2tm/s125.0120sm/s15tvatavt有有0,0tva由由 常数常数解
9、：解：由点由点M的运动方程，得的运动方程，得 txatxvxx4sin32,4cos8 tyatyvyy4cos32,4sin8 4,0zzvzaz222222280m s,32m sxyzxyzvvvvaaaa从而2n2.5mva故已知点的运动方程为已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m，z=4t m。求：点运动轨迹的曲率半径求：点运动轨迹的曲率半径 。2ntm/s32,0ddaatva例例5-55-5 解：解：已知：半径为已知：半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称为纯滚动），设轮子转角（称为纯滚动），设轮子转角 为常值），为常值），
10、如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。向加速度。(t 例例5-65-6 M点作曲线运动，取点作曲线运动，取 直角坐标系如图所示。直角坐标系如图所示。OCMCrr t由纯滚动条件由纯滚动条件)sin(sin1ttrMOOCxtrMOCOycos1cos11从而从而解：解：1cos,sinxyvxrtvyrt)202sin2)cos1(222ttrtrvvvyx（22sin,cosxyaxrtayrt222raaayx00d2sind4(1cos)(02)22ttttsv trtrt又点又点M的切向加速度为的切向加速度为2cos2ttrva 2sin22t2ntraaa
