1、第一单元 数的整除特征 熟记整除的性质，以及能被2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、125整除的数的特征，能应用性质和特征解决简单的数字问题及生活中的问题（一）整除约数、倍数 像1535，6379这样，一般的，如果a、b、c为整数，b0，且abc，即整数a除以整数b所得的商正好等于c且没有余数，我们就说a能被能被b整除整除（或者说b能整除a），记作：ba，否则，称a不能被b整除（或b不能整除a），记作：b a（二）数的整除性质 1、看下面的两个例子：我们知道 210 ，26，2能整除10与6的和或者差吗 能。2（106）且 2（106）我们再看 525，510 ，5能整除25与10的
2、和或差吗？能。5（2510），5（2510）你能从上面的题目中得到上面规律？数的整除性质1 性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和或差和或差也能被c整除。即：如果如果ca，cb 那么那么 c（ab）你能再举出一个例子吗？数的整除性质2 2、我们再来看一组例子：15能整除45，3515，3和5都能整除45吗？3721，21能整除84，3和7都能整除84吗？5945，45能整除135，5和9都能整除135吗？上面的3个例子有什么共同点？如果一个数能被两个数的积整除，它能被这两个数整除吗？数的整除性质 性质2：如果b、c的积能整除a,那么b和c都能整除a。即：如果如果bca，那么，那么 ba，
3、ca 反过来，如果ba，ca 那么bca一定正确吗？数的整除性质3 3、我们看下面的例子：4能够整除36，6也能整除36，4与6的积能整除36吗？4能够整除80，5也能整除80，4与5的积能整除80吗？5能够整除80，8也能整除80，5与8的积能整除80吗？这说明这两个数需要满足一定的条件！不能能能数的整除性质3 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c ，那么b、c的积能整除a。即：如果如果ba，ca 且（且（b，c）1，那么那么 bca。例如 8324685008，9324685008 且（8，9）1，那么 324685008。互质互质72数的整除性质4 4、我们最后再看一个问题：如果c能整
4、除b，b能整除a，那么c一定能整除a吗？自己出几个题目试试？7能整除14，14能整除140，那么，7能整除140吗？9能整除18，18能整除54，那么，9能整除54吗？能能数的整除性质4 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果如果cb，ba 那么那么 ca。我们来总结一下 性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和或差也能被c整除。即：如果如果ca，cb 那么那么 c（ab）性质性质2：如果b、c的积能整除a,那么b和c都能整除a。即：如果如果bca，那么，那么 ba，ca 性质性质3：如果b、c都能整除a，且b和c 互质，那么b、c的积能整除a。即：如果如果ba，
5、ca 且（且（b，c）1，那么，那么 bca。性质性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果如果cb，ba 那么那么 ca。（三）数的整除特征（一）：能被2、3、5、9、整除的数的整除特征；（二）能被4、25整除：末两位数能被4和25整除；能被8、125整除：末三位数能被8、125整除；能被11整除：奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除；能被7、11、13整除：末三位与末三位前面的数的差（大减小）能被7、11、13整除。应用举例（一）判断一个数能不能被整除 例1、判断35112能不能被7、11、13整除 33333333468375能不能被125整除 1234
6、567891011121314能不能被3和9整除 判断35112能不能被7、11、13整除 回忆：能被7、11、13整除的数的特征：末三位数字与前面的数字的差（大减小）能被7、11、13整除。解：1123577 因为 7 77，11 77，13 77 答：答：35112能被能被7和和11整除，但不能被整除，但不能被13整整除。除。33333333468375能不能被125整除 回忆：能被125整除的数的特征：末三位数字能被125整除。解：因为这个数的末三位数字375能被125整除，所以33333333468375能被125整除。1234567891011121314能不能被3和9整除。回忆：能
7、被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字的和能被3（或9）整除。解：123456789101112131460 因为 3 60 9 60 所以这个数能被3整除而不能被9整除。答：这个数能被3整除而不能被9整除。应用举例（二）根据规律填空 例2、已知45 求所有满足条件的六位数。yx1993解：因为4559，根据整除的性质，可知5 ，9 所以 y可以是0或者5，当y0时，根据9 及数的整除特及数的整除特征可知征可知x ；当当y5时，根据时，根据 9 及数的整除特征可知x 答：满足条件的六位数是 或 。yx1993yx1993yx1993yx199359519930919935（2）李老师为学校一
8、共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元，已知处数字相同，请问：每支钢笔多少元？分析：由28支钢笔的价格相同可知，总钱数9.2是28 的倍数，同上面的解题思路类似，可以用数的整除性质和数的整除特征结合起来解答。9.2元92分 解：2847，根据整除的性质，可知492 且792 根据4的整除特征可知可以填0、4、8，7 9020，7 9424；7 9828。处应当填处应当填 。28 （分）（分）（元）（元）答：每支钢笔的价格是 元。898283513.513.51思路回眸 要判断一个数能否被一个合数整除，或者要确定一个能被合数整除的数，可以根据性质，把合数拆成两个互质数相乘，再根据整除的特
9、征确定所求的数。今日小结 1、数的整除的有关概念；2、数的整除性质；3、数的整除特征；4、典型例题：判断一个数能否被另一个数整除；根据整除的性质和整除的特征求符合条件的数。今日作业1.只修改只修改970405的某一个数字，就可使修改后的六位数能的某一个数字，就可使修改后的六位数能 被被225整除，修改后的六位数是整除，修改后的六位数是_。（安徽省1997年小学数学竞赛题）2.在在32的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能 被被15整除的数中最大的一个，这个数是多少？整除的数中最大的一个，这个数是多少？（山东省1997年小学生数学竞赛初赛试题）3.一
10、位采购员买了一位采购员买了72只桶，在记账本上记下这笔账。由于他只桶，在记账本上记下这笔账。由于他 不小心，墨汁落在账本上把这笔账的总数污掉了两个数字。不小心，墨汁落在账本上把这笔账的总数污掉了两个数字。账本是这样写的：账本是这样写的：72只桶，共用去只桶，共用去67.9元（为被污掉元（为被污掉 的数字），请你帮忙把这笔账补上。应是的数字），请你帮忙把这笔账补上。应是_元。元。（德阳市第十届小学生数学邀请赛试题）。4、四位数、四位数“3AA1”是是9的倍数，那么的倍数，那么A=_5、在在“2579这个数的内填上一个数字这个数的内填上一个数字,使这个数使这个数 能被能被11整除整除,方格内应填方格内应填_。6、在、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们 分别能被分别能被2 3、5、11整除，这个七位数最小值是多整除，这个七位数最小值是多少？
