1、返回目录高考二轮专题复习 第一部分核心专题突破专题四立体几何专题四立体几何返回目录高考二轮专题复习 微专题微专题6多面体的外接球问题多面体的外接球问题返回目录高考二轮专题复习 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球有关多面体外接球的问题，是立体几何的一的外接球有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点研究多面体的外接个重点，也是高考考查的一个热点研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，球问题，
2、既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系必备基础知识有：间的关系必备基础知识有：返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 如果一个几何体的所有顶点可以和长方体或正方体如果一个几何体的所有顶点可以和长方体或正方体部分顶点重合，可以把这个几何体补成长方体或正方部分顶点重合，可以把这个几何体补成长方体或正方体，长方体或正方体的外接球就是这个几何体的外接体，长方体或正方体的外接球就是这个几何体的外接球球方法一方法一 补形补形返回目录高考二轮专题复习【例【例1】已知
3、如图是一个空间几何体的三视图，则已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为该几何体的外接球的表面积为()A8 B4 C16 D32答案答案 A返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 解析解析 该该四面四面体对体对棱棱相等，可以补成相等，可以补成长方长方体，如图体，如图所所示示返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 根据根据“球心一定在过多边形球心一定在过多边形(顶点均在球面上顶点均在球面上)外接外接圆圆心且垂直于此多边形所
4、在平面的垂线上圆圆心且垂直于此多边形所在平面的垂线上”分析出球分析出球心的大致位置，选择一个球心所在截面，在直角三角形心的大致位置，选择一个球心所在截面，在直角三角形中求半径中求半径方法二方法二 分析含球心的截面分析含球心的截面返回目录高考二轮专题复习 答案答案 D 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习【例【例6】直三棱柱直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球的各顶点都在同一球面上，若面上，若ABACAA12，BAC120，则此球，则此球的表面积等于的表面积等于_.返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 球心到每个顶点距离相等，如果几何
5、体中垂直关系球心到每个顶点距离相等，如果几何体中垂直关系很多，可以直接观察出球心很多，可以直接观察出球心方法三方法三 观察球心位置观察球心位置返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 答案答案C返回目录高考二轮专题复习 如果几何体有明显的垂直关系，通过建立直角坐标如果几何体有明显的垂直关系，通过建立直角坐标系，容易得到各点坐标，可以建立直角坐标系，设出球系，容易得到各点坐标，可以建立直角坐标系，设出球心坐标，根据球心到每个顶点距离相等得到方程心坐标，根据球心到每个顶点距离相等得到方程方法四方法四 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系 返回目录高考二轮专题复习【例【例8】已知在三棱锥已
6、知在三棱锥ABCD中，中，AD平面平面ABC，BAC120，ABADAC2，则该棱锥的外接球，则该棱锥的外接球半径为半径为_.返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 答案答案C返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 答案答案C返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 4如图，网格纸上小正方如图，网格纸上小正方形的边长为形的边长为1，粗线画出的是某，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球体
7、的所有顶点都在球O的表面的表面上，则球上，则球O的表面积是的表面积是()A36 B48C56 D64返回目录高考二轮专题复习 答案答案C解析解析 根根据据三视三视图知图知几何几何体是体是三棱锥三棱锥，且且此此三棱锥三棱锥DABC是是棱长棱长为为4的正的正方方体一体一部部分，分，直直观图如图观图如图所所示示返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 答案答案D返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习
8、 9如图，网格纸上小正方形的边长为如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为的表面积为_.返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 10如图，网格纸上小如图，网格纸上小正方形的边长为正方形的边长为1，粗线画出，粗线画出的是某几何体的三视图，则的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球半径为该几何体的外接球半径为_.返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 返回目录高考二轮专题复习 球与正方体的球与正方体的“切切
9、”“”“接接”问题问题返回目录高考二轮专题复习 正方体的内切球正方体的内切球直径直径正方体的外接球正方体的外接球直径直径与正方体所有棱相切的球与正方体所有棱相切的球直径直径 若正方体的棱长为若正方体的棱长为a，则，则返回目录高考二轮专题复习 中截面中截面球的外切正方体的棱长等于球直径。球的外切正方体的棱长等于球直径。ABCDD1C1B1A1O返回目录高考二轮专题复习 ABCDD1C1B1A1O中截面中截面正方形的对角线等于球的直径。正方形的对角线等于球的直径。.返回目录高考二轮专题复习 ABCDD1C1B1A1OA1AC1CO对角面对角面2R球的内接正方体的对角线等于球直径。球的内接正方体的对
10、角线等于球直径。返回目录高考二轮专题复习 正方体的内切球正方体的内切球直径直径正方体的外接球正方体的外接球直径直径与正方体所有棱相切的球与正方体所有棱相切的球直径直径 若正方体的棱长为若正方体的棱长为a，则，则 a3a2a返回目录高考二轮专题复习 多面体外接球的半径的求法多面体外接球的半径的求法方法一：方法一：直接法直接法方法二：方法二：构造直角三角形构造直角三角形方法三：方法三：补形补形返回目录高考二轮专题复习 一、直接法一、直接法A1AC1CO2010 年文(7)设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（A）3a2（B）6a2（C）12a2（D）24
11、a2B返回目录高考二轮专题复习 直接法的使用技巧直接法的使用技巧2222abclabcR设长方体的长、宽、高分别为、，则,23aRa设正方体的边长为则有返回目录高考二轮专题复习 变式变式1：返回目录高考二轮专题复习 二、构造直角三角形二、构造直角三角形2211OBOOO B返回目录高考二轮专题复习 构造直角三角形使用技巧构造直角三角形使用技巧22,r,2llRr设柱体的高为 底面外接圆的半径为 则有任意直棱柱的外接球任意直棱柱的外接球圆柱的外接球圆柱的外接球返回目录高考二轮专题复习 如何求直棱柱的外接球半径呢？（1）先找外接球的球心：）先找外接球的球心：它的球心是连接上下两个多边形的外心它的球
12、心是连接上下两个多边形的外心 的线段的中点；的线段的中点；（2）再构造直角三角形，勾股定理求解。再构造直角三角形，勾股定理求解。返回目录高考二轮专题复习 构造直角三角形使用技巧构造直角三角形使用技巧圆锥的外接球圆锥的外接球22,r,hRrhR设椎体的高为底面外接圆的半径为 则有正棱椎的外接球正棱椎的外接球返回目录高考二轮专题复习 例例：已已知知正正四四棱棱锥锥的的底底面面边边长长为为a,侧侧棱棱长长为为a2，求求它它的的外外接接球球的的半半径径：返回目录高考二轮专题复习 解解析析：连接连接 AC 与与 BD 交交于于 E,在在正正四四棱锥棱锥 S-ABCD 中中，所以所以 SE是是棱锥棱锥的的
13、高高，设设球心球心为为 O，球球的的半径半径为为 R,知知球心球心 O 在在高高 AE 上上，在在直角直角三角形三角形 OEC 中中，222OEECOC 2222222 a,262622263A CE CaS ES CE CaaRaRRa 返回目录高考二轮专题复习 构造直角三角形使用技巧构造直角三角形使用技巧球心在几何体外部球心在几何体外部222)(hRrRrh则有，底面外接圆的半径为设椎体的高为返回目录高考二轮专题复习 球心在几何体内部球心在几何体内部222)(RhrRrh则有，底面外接圆的半径为设椎体的高为返回目录高考二轮专题复习 226.4Ra将正四面体放到正方体中，得正方体的棱长为a,
14、且正四面体的外接球即正方体的外接球，所以 -aP ABC例4：求棱长为 的正四面体的外接球的表面积。三、三、补形法补形法返回目录高考二轮专题复习 222222222123322bbcabcR将正四面体放到长方体中，边长为a,b,c,则有：aca ABCDAB=CD=2AC=BD=3AD=BC=1变式：四面体，求其外接球体积三、三、补形法补形法对棱相等的四面体对棱相等的四面体返回目录高考二轮专题复习 三、三、补形法补形法 5P-ABCABCPA=8PB=PC=73AB=3例：已知三棱锥中，三角形为等边三角形，且，则其外接球的体积为返回目录高考二轮专题复习 补形法的使用技巧补形法的使用技巧根据题中
15、给出的线面位置关系，将其放到特殊的几何体中，转化为直接法或构造直角三角形法。返回目录高考二轮专题复习 构造直角三角形使用技巧构造直角三角形使用技巧22,r,2llRr设柱体的高为 底面外接圆的半径为 则有任意直棱柱的外接球任意直棱柱的外接球圆柱的外接球圆柱的外接球返回目录高考二轮专题复习 构造直角三角形使用技巧构造直角三角形使用技巧椎体的外接球椎体的外接球22,r,hRrhR设椎体的高为底面外接圆的半径为 则有返回目录高考二轮专题复习 补形法的使用技巧补形法的使用技巧根据题中给出的线面位置关系，将其放到特殊的几何体中，转化为直接法或构造直角三角形法。返回目录高考二轮专题复习 特例特例1 1出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。心为直角三角形斜边中点。AC是球的直径是球的直径返回目录高考二轮专题复习 特例特例2 2出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系利用向量知识求解利用向量知识求解ABCDzxy返回目录高考二轮专题复习 ABCDzxy
