1、27.2.2 27.2.2 相似三角形的性质相似三角形的性质27.2 27.2 相似三角形相似三角形相似三角形的判定方法有哪几种？相似三角形的判定方法有哪几种？1.对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似.2.平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似角形与原三角形相似.3.三边对应成比例的两三角形相似三边对应成比例的两三角形相似.4.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.5.两角分别相等的两个三角形相似两角分别相等的两个三角形相似.6.两边对应成比例的两直角
2、三角形相似两边对应成比例的两直角三角形相似.导入新知导入新知三角形除了三个角三角形除了三个角,三条边外三条边外,还有哪些要素还有哪些要素?【思考思考】如果两个三角形相似，那么它们的这些要素如果两个三角形相似，那么它们的这些要素有一些怎样的性质呢有一些怎样的性质呢?导入新知导入新知三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？高、角平分线、中线的长度，周长、面积等高、角平分线、中线的长度，周长、面积等高高角平分线角平分线中线中线探究新知探究新知ABCABC探究新知探究新知知识点 1 如图，如图，ABC ABC ABCABC，相似比为，相似比为 ，它们对应
3、高线、对应中线、对应角平分线的比各是它们对应高线、对应中线、对应角平分线的比各是多少？多少？21ACBA B C（2）探究新知探究新知ABC ABC相似比为相似比为21对应高的比对应高的比21DAADD D CA B C（1）探究新知探究新知ABC ABC相似比为相似比为21对应中线的比对应中线的比21DAADD D ABCA B C（3）探究新知探究新知ABC ABC相似比为相似比为21对应角平分线的比对应角平分线的比21DAADD D AB 如图，如图，ABC ABC ABC ABC，若相似比为，若相似比为k k，它，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比又各是多少？们对应高、对应中线、对
4、应角平分线的比又各是多少？ABCABC探究新知探究新知相似三角形对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比证明：证明：ABCABC，B=B又又 ADB=ADB=90,ABDABD从而从而A DA Bk ADAB 如图，如图，ABC ABC，相似比为，相似比为k，分别作，分别作BC，BC上的高上的高AD，AD 求证：求证：.kADDA探究新知探究新知证明：证明：ABCABCDEF.DEF.相似三角形对应中线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等于相似比.ABCMDEFN.EFBCDEAB又又AM、DN分别是分别是ABC和和DEF的中线的中线.ABMDEN.求证：求证：已知：已知：ABCD
5、EF.AM、DN分别为中线分别为中线.DEABDNAM探究新知探究新知BC=2BM,EF=2EN,.ABBMDEEN.AMABDNDEB=E,证明：证明：ABCABCDEF.DEF.B=E,BAC=EDF.B=E,BAC=EDF.又又AMAM、DNDN分别是分别是BACBAC和和EDFEDF的角平分线的角平分线.相似三角形对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应角平分线的比等于相似比.ABCMDEFN求证：求证：已知：已知：ABCDEF.AM、DN分别为角平分线分别为角平分线.AMABDNDE探究新知探究新知.AMABDNDEBAM=EDN.AMBDNE.BACBAM21EDFEDA21 ，相
6、似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.相似三角形对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比.一般地，我们有：一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比相似三角形对应线段的比等于相似比.探究新知探究新知 归纳总结归纳总结解：解：ABC ABC DEFDEF，DEFH 例例1 1 已知已知 ABCABCDEFDEF，BGBG、EH EH 分别是分别是 ABCABC和和 DEF DEF 的角平分线，的角平分线，BC=6 cmBC=6 cm，EF=4cmEF=4cm，BG=4.8 cm.BG=4.8 cm.求求 EH EH 的长的长.BG
7、BCEHEF ，解得，解得 EH=3.2.4.864EHAGBC故故 EH 的长为的长为 3.2 cm.探究新知探究新知素养考点素养考点 1利用相似三角形对应线段的比求线段的长度利用相似三角形对应线段的比求线段的长度1.相似三角形对应边的比为相似三角形对应边的比为2 3,那么相似比为那么相似比为_,对应角的角平分线的比为对应角的角平分线的比为 .2 32 32.两个相似三角形对应边上的高的比为两个相似三角形对应边上的高的比为1 4,若一个三角若一个三角形的最长边是为形的最长边是为12，则另一个三角形的最长边是，则另一个三角形的最长边是_.3或或48巩固练习巩固练习 相似三角形的周长比也等于相似
8、比吗？为什么？相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？【想一想】探究新知探究新知相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比.已知：已知：求证：求证：BAABACCBBACABCAB证明证明1 1：ACCACBBCBAABBAABACCBBACABCAB(等比性质等比性质)ACBBAC探究新知探究新知ABC ABCABC ABCABC证明证明2 2：AB=kAB，BC=kBC，AC=kAC探究新知探究新知相似三角形的周长比等于相似比相似三角形的周长比等于相似比ABC ABC，相似比为相似比为kABBCACkABBCACk AB+BCACkAB+BC+ACABCAB+BCACABC
9、AB+BC+AC的周长的周长ABC3.相似三角形对应边的比为相似三角形对应边的比为2 5,那么周长比为那么周长比为_.2 54.两个相似三角形周长的比为两个相似三角形周长的比为1 7,则它们的相似则它们的相似比为比为_,对应边上角平分线的比为对应边上角平分线的比为_.1 71 7巩固练习巩固练习 如图，ABC ABC，相似比为k，它们的面积比是多少？ABCABC探究新知探究新知知识点 2由前面的结论，我们有由前面的结论，我们有212.12ABCA B CBC ADSBCADk kkSB CA DB C A DABCABCDD探究新知探究新知几何表述几何表述:相似三角形性质定理相似三角形性质定理
10、:相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方.探究新知探究新知ABC ABC，相似比为，相似比为k，归纳归纳:2kSSCBAABCABCABC5.已知两个三角形相似，请完成下列表格：已知两个三角形相似，请完成下列表格：相似比相似比2 k周长比周长比面积比面积比1000013241319100100kk2巩固练习巩固练习解：在解：在 ABC ABC 和和 DEF DEF 中，中，AB=2DEAB=2DE，AC=2DFAC=2DF，又又 D=A，DEF ABC，相似比为，相似比为 1:2.ABCDEF1.2DEDFABAC 例例2 2 如图，在如图，在 ABC ABC 和
11、和 DEF DEF 中，中，AB=2 DE AB=2 DE，AC=2 DFAC=2 DF，A=D.A=D.若若 ABC ABC 的边的边 BC BC 上的高为上的高为 6 6，面积为面积为 ，求，求 DEF DEF 的边的边 EF EF 上的高和面积上的高和面积.125探究新知探究新知素养考点素养考点 1利用相似三角形面积的比求面积或线段利用相似三角形面积的比求面积或线段ABCDEF面积为面积为 2112 53 5.2 探究新知探究新知DEF 的边的边 EF 上的高为上的高为 ，3621ABC 的边的边 BC 上的高为上的高为 6，面积为，面积为 ，1256.如果两个相似三角形的面积之比为如果
12、两个相似三角形的面积之比为 4:9，较大三，较大三角形一边上的高为角形一边上的高为 18，则较小三角形对应边上的高，则较小三角形对应边上的高为为_.巩固练习巩固练习12 例例3 3 如图，如图，D D，E E 分别是分别是 ACAC，AB AB 上的点，已知上的点，已知ABC ABC 的的面积为面积为100 cm2100 cm2，且，且 ，求四边形，求四边形 BCDE BCDE 的面积的面积.ADE ABC.它们的相似比为它们的相似比为 3:3:5 5，面积比为面积比为 9:25.9:25.BCADE解：解：BAC=DAEBAC=DAE，且，且 35AEADACAB，素养考点素养考点 2利用相
13、似三角形面积的比求多边形的面积利用相似三角形面积的比求多边形的面积(比）比）探究新知探究新知35AEADACAB又又 ABC 的面积为的面积为 100 cm2，ADE 的面积为的面积为 36 cm2.四边形四边形 BCDE 的面积为的面积为10036=64(cm2).7.如图，这是圆桌正上方的灯泡如图，这是圆桌正上方的灯泡（点（点A）发出的光线照射桌发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2米，桌面距离地米，桌面距离地面为面为 1 米，若灯泡距离地面米，若灯泡距离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积米，则地面上阴影部分的面积约为多少约为多少
14、(结果保留两位小数结果保留两位小数)？ADEFCBH解：解：FH=1 FH=1 米，米，AH=3 AH=3 米，桌面的直径为米，桌面的直径为 1.2 1.2 米，米，AF=AHAF=AHFH=2(FH=2(米米)，DF=1.2DF=1.22=0.6(2=0.6(米米).).DFCH DFCH，ADF ADF ACHACH，巩固练习巩固练习DFAFCHAH，即0 623.CH，解得解得 CH=0.9米米.220.92.54CH(平方米平方米).).答：地面上阴影部分的面积为答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米平方米.巩固练习巩固练习 阴影部分的面积为：阴影部分的面积为：ADEFCBH1.
15、（2018玉林）两三角形的相似比是玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（，则其面积之比是（）A B2：3 C4：9 D8：27连 接 中 考连 接 中 考巩固练习巩固练习C32：2.（2018铜仁市）已知铜仁市）已知ABCDEF，相似比为，相似比为2，且，且ABC的面积为的面积为16，则，则DEF的面积为（）的面积为（）A32 B8 C4 D16C2.（2018吉林）如图是测量河宽的示意图，吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与与BC相交于点相交于点D，B=C=90，测得，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求，求得河宽得河宽AB=_m1.（2018广东）在广东）在ABC中
16、，点中，点D、E分别为边分别为边AB、AC的中点，的中点，则则ADE与与ABC的面积之比为（）的面积之比为（）A B C DC21课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题1003141613.把一个三角形变成和它相似的三角形，把一个三角形变成和它相似的三角形，(1)如果边长扩大为原来的如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为倍，那么面积扩大为 原来的原来的_倍；倍；(2)如果面积扩大为原来的如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大倍，那么边长扩大 为原来的为原来的_倍倍.2510基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题课堂检测课堂检测4.两个相似三角形的一对对应边分别是两个相
17、似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm，(1)它们的周长差它们的周长差 60 cm，这两个三角形的周长分别是，这两个三角形的周长分别是_；(2)它们的面积之和是它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面积分别，这两个三角形的面积分别是是_.100 cm、40 cm50 cm2、8 cm2基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题课堂检测课堂检测 如图，如图，ABC ABC 中，点中，点 D D、E E、F F 分别在分别在 ABAB、ACAC、BC BC 上，且上，且 DEBCDEBC，EFAB.EFAB.当当 D D 点为点为 AB AB 中点时，求中点时，求 S S四边形四边形
18、BFED:BFED:S SABC ABC 的值的值.ABCDFE解：解：DEBCDEBC，D D 为为 AB AB 中点，中点，ADE ADE ABC ABC，相似比为相似比为 1:21:2，因此面积比为因此面积比为 1:4.1:4.12AEAD.ACAB课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题ABCDFE又又 EFAB，EFC ABC，相似比为，相似比为 1:2，面积比为面积比为 1:4.设设 SABC=4，则，则 SADE=1，SEFC=1，S四边形四边形BFED=SABCSADESEFC=411=2，S四边形四边形BFED:SABC =2:4=课堂检测课堂检测能 力 提 升
19、题能 力 提 升 题12 如图，如图，ABC 中，中，DEBC，DE 分别交分别交 AB、AC 于点于点 D、E，SADE2 SDCE，求，求 SADE SABC解：过点解：过点 D D 作作 AC AC 的垂线，交点为的垂线，交点为 F F，则，则12212ADEDCEAE DFSAESECEC DF，23AE.AC 又又 DEBCDEBC，ADE ADE ABC.ABC.ABCDEF课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题222439ADEABCSAESAC，即即 SADE:SABC 4:9.课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题ABCDEF相似相似三角三角形的形的性质性质相似三角形对应线段的比相似三角形对应线段的比等于相似比等于相似比相似三角形面积的比等于相似三角形面积的比等于相似比的平方相似比的平方相似三角形性质的运用相似三角形性质的运用课堂小结课堂小结
