1、附录附录 截面的几何性质截面的几何性质A、IP均为与截面的几何形状和尺寸大小有关的几何量，均为与截面的几何形状和尺寸大小有关的几何量，称为称为截面的几何性质截面的几何性质。本章将介绍这些几何性质的定义和计算方法。本章将介绍这些几何性质的定义和计算方法。NFA拉压：拉压：NF llEA 扭转：扭转：PTIPTlGI弯曲：弯曲：zzyzSII、-1 -1 截面的静面矩和形心位置截面的静面矩和形心位置-2 -2 惯性矩、惯性积和惯性半径惯性矩、惯性积和惯性半径-4 -4 转轴公式转轴公式 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩-3 -3 平行移轴公式平行移轴公式目目 录录一、截面的静面矩（静矩）一、截
2、面的静面矩（静矩）特点：特点：1 1、静面矩不仅与平面图形的形状尺寸有关，还与所选坐标的、静面矩不仅与平面图形的形状尺寸有关，还与所选坐标的 位置有关。同一平面图形对不同的坐标轴，其静面矩不同。位置有关。同一平面图形对不同的坐标轴，其静面矩不同。2 2、静面矩的数值可正可负，也可以为零。、静面矩的数值可正可负，也可以为零。3、静面矩的单位：、静面矩的单位：m3或或 mm3 定义：定义：ydAzdAyS AAzS 截面对截面对z z轴的静面矩轴的静面矩截面对截面对y y轴的静面矩轴的静面矩zyOdAzyA二、平面图形的形心位置二、平面图形的形心位置dACyAyA图示为均质等厚薄板，厚度为图示为均
3、质等厚薄板，厚度为，面积，面积为为A，单位体积的重量为，单位体积的重量为。设重心为。设重心为C点，其坐标为点，其坐标为yC C、zC C。xyzoCyCz22C利用合力矩定理可求得重心的坐标利用合力矩定理可求得重心的坐标公式为公式为dd,AACCyAzAyzWW zyoCCyCzWWA为薄板的总重量，将带入上式dACzAzA（a）（b）dACyAyAdACzAzA（a）（b）平面图形的形心坐标公式平面图形的形心坐标公式yASzdAdAoyzCyCzyzCzASydA则：则：,zCSyAyCSzA或或,zCSy AyCSz A(I-2a)(I-2b)(I-1)推论：推论：(1)0,zSz若则 轴
4、必过截面的形心；(2),0zzS 若 轴过截面的形心 则。即：即：z z轴过形心轴过形心 Sz=0=0 例例I-1I-1求半径为求半径为R的半圆截面对直径轴的半圆截面对直径轴z z的静面矩的静面矩Sz z，并确定其，并确定其形心坐标。形心坐标。ozydyyCyCR 222b yRy解：解：取对称轴为取对称轴为y轴，则形心必轴，则形心必位于位于y轴上。轴上。dAb y dy222 Ry dy根据定义：根据定义：zASydA2202RyRydy22220RRy d Ry 323RzCSyA322/3/2RR43R23d求图示截面对求图示截面对y、z轴的静面矩以及形心位置轴的静面矩以及形心位置zyO
5、R解法解法1 1：220ddRzASyAy Ryy22201d2RRyy313R31 3ySR同理可得32143134zCRSRyAR2222012RRy d Ry 思考：思考：ydy43CRz同理：CyCzC解法解法2 2：zyOrdrdrrddzASyA2200sinddRrr331R200sinddRrrr 解：解：I、II两部分的面积及形心的两部分的面积及形心的y坐标坐标分别为分别为I1II21331 ,;,4848CCAbhyhAbhyh 2I1I313 8432zCSy Ahbhbh2II2II133 8432zCSyAhbhbh IIIII zzzSSS 由此可见因为整个矩形截面
6、对因为整个矩形截面对z轴的静面矩恒等于零，即轴的静面矩恒等于零，即III0zzzSSSIIIII zzzSSS 故得例例I-2I-2求求I I、IIII两部分面积对两部分面积对z z轴的静面矩轴的静面矩S SzIzI和和S SzIIzII，并对其结果进行分析。，并对其结果进行分析。2b2b8h38h2h2hC1C2C4hzy三、组合截面的静面矩和形心位置三、组合截面的静面矩和形心位置组合截面对于某一轴的静面矩就等于该截面的各组成部分对于组合截面对于某一轴的静面矩就等于该截面的各组成部分对于同一轴的静面矩的代数和，即：同一轴的静面矩的代数和，即：11,nnziCiyiCiiiSA ySAz其中：
7、其中：Ai，yCi，zCi 分别代表第分别代表第i个简单图形的面积和形心个简单图形的面积和形心坐标，坐标，n为组成此截面的简单图形的个数。为组成此截面的简单图形的个数。(I-3)1.组合截面的静面矩组合截面的静面矩2 2、组合截面的形心坐标公式、组合截面的形心坐标公式11niCiizCniiA ySyAA其中：其中：yC 、zC为组合截面的形心坐标为组合截面的形心坐标 Sz、Sy为组合截面对为组合截面对z、y轴的静面矩轴的静面矩 A为组合截面的总面积为组合截面的总面积,niiAA1CzyoCyCz11niCiyiCniiAzSzAA(I-4)1002014020yCyC2120 1002000
8、mmA 求图示求图示T T形截面的形心位置形截面的形心位置例例I-3I-32220 1402800mmA 110mmCy290mmCy112212iCiCCCiA yA yA yyAAA2000 102800 9056.7mm20002800解：解：1C2Cz把把T形截面看做由形截面看做由、两两个矩形截面组成。个矩形截面组成。-2 -2 惯性矩、惯性积和惯性半径惯性矩、惯性积和惯性半径一、惯性矩与惯性积一、惯性矩与惯性积惯性矩定义惯性矩定义2dyA特点：特点：（3）惯性矩的量纲为长度的四次方，单位为）惯性矩的量纲为长度的四次方，单位为m4。（2 2）惯性矩恒为正值）惯性矩恒为正值2dzAAzI
9、 截面对截面对z z轴的惯性矩轴的惯性矩AyI 截面对截面对y y轴的惯性矩轴的惯性矩zyOdAzyA（1 1）惯性矩不仅与截面的形状尺寸有关，还与所选坐标轴的位）惯性矩不仅与截面的形状尺寸有关，还与所选坐标轴的位 置有关，同一截面对不同坐标轴惯性矩不同。置有关，同一截面对不同坐标轴惯性矩不同。惯性积定义惯性积定义特点特点:(2)其值可正、可负，可零。其值可正、可负，可零。dyzAAyzI截面对截面对y y、z z轴的惯性积轴的惯性积zyOdAzyA(1)惯性积的量纲为长度的四次方，单位为惯性积的量纲为长度的四次方，单位为m4。(3)若截面有一个对称轴，则截面对包含此对若截面有一个对称轴，则截
10、面对包含此对称轴在内的正交坐标轴的惯性积必为零。称轴在内的正交坐标轴的惯性积必为零。dAyzzydAyz（对称轴）（对称轴）0yzI其中其中iz、iy分别称为截面对分别称为截面对z轴和轴和y轴的轴的惯性半径惯性半径。工程中常把惯性矩表示为截面的面积与某一长度平方的乘积工程中常把惯性矩表示为截面的面积与某一长度平方的乘积,即即22yyzzAiIAiI或或AIiAIiyyzz二、惯性半径（下册用到）二、惯性半径（下册用到）惯性半径的常用单位为米（惯性半径的常用单位为米（m m）或毫米（）或毫米（mmmm）。）。任意截面对其所在平面内任一点的极任意截面对其所在平面内任一点的极惯性矩惯性矩Ip p，等
11、于该截面对过此点的，等于该截面对过此点的一一对正交坐标轴的惯性矩之和。对正交坐标轴的惯性矩之和。三、极惯性矩三、极惯性矩定义定义AIApd222dAyzAzyOdAzyAzyII22ddAAyAzA pzyIII即（I-7）（I-7）式表明：）式表明：oyz1y1z pIzyII11zyIIAIApd2求矩形截面对其对称轴求矩形截面对其对称轴z和和y轴的惯性矩轴的惯性矩例例I-4I-4解：解：dAbdy2zAIy dA2yAIz dAdAhdz四、常用截面惯性矩公式四、常用截面惯性矩公式hbCyzydyz dz/22/2hhby dy312bh222bbhz dz312hb32 1zbhI 即
12、32 1yhbI 即 0yzI2yI求图示圆截面对其形心轴求图示圆截面对其形心轴z、y的惯性矩的惯性矩例例I-5I-5yzII解：解：PIdyzO方法一：方法一：432d2zI4 64zydII方法二：（定义）方法二：（定义）ydy2zAIy dA2222RRyRydy44R464d4 64zydIIdDyz同理，对于空心圆：同理，对于空心圆：44(1)64zyDIIdD例例I-6I-6 试计算图示三角形截面对平行于底边的形心轴试计算图示三角形截面对平行于底边的形心轴z z的惯性矩的惯性矩I Iz z23h3hCzyb b yydy解：解：2:3hb ybyh得得 23bhb yyh 23bh
13、dAb y dyy dyh2zAIy dA/3232/323hhbbyydyh336bh/322/323hhbhyy dyh36 3zbhI 即33001212zb hbhI 3300112b hbh3 12zbhI 3 12yhbI 0yzI1?zI1?yI1 1?y zI则则hbCyz1y1z-3 -3 平行移轴公式平行移轴公式OabzyCCyCzCyCzyzdAA CCyyzz，CCC Cyzy zyzyzIIIIII已知：、，求、2CyyIIa A2CzzIIb AC Cyzy zIIabA平行移轴公式平行移轴公式证明证明:(第二式第二式)坐标关系：坐标关系：,CCyyb zzaAzd
14、AyI2222CCAAAy dAby dAbdA2()CAyb dACzICzSA02CzzIIb A(1)两对平行轴中必须有一对为形心轴。两对平行轴中必须有一对为形心轴。(2)在应用惯性积平行移轴公式时，注意在应用惯性积平行移轴公式时，注意a、b 的正负号。的正负号。注意：注意：OabzyCCyCzCyCzyzdAA2CyyIIa A2CzzIIb AC Cyzy zIIabA平行移轴公式平行移轴公式CCC Cyzyzyzy zIIIIII已知：、，求、2CyyIIa A2CzzIIb AC Cy zyzIIabA反移轴公式反移轴公式hbCyz1y1z111 1yzy zIII求、1 yI2
15、2ybIbh33124hbhb33hb1 zI22zhIbh33124bhbh33bh1 1 y zI22yzbhIbh2204b h224b h例例I-6求图示截面对形心轴求图示截面对形心轴y、z的惯性矩的惯性矩。解解：(1)计算三部分对计算三部分对y、z 轴的惯性矩轴的惯性矩3I12zbhI（2 2）计算截面的惯性矩）计算截面的惯性矩IIIIIIzzzzIIIIIIIIIzzII4IIIII64yydIIIIIIIIyyyyIIII4h4h4h4hbyzIIIIIIdd3I12yhbI2426444dhd4226464dh d341232hbd3422123232bhdh d例例 I-7
16、求图示半圆截面对平行于底边的求图示半圆截面对平行于底边的z轴的惯性矩。轴的惯性矩。解：解：整个圆截面对整个圆截面对z1轴的惯性矩为轴的惯性矩为 ，则半圆对，则半圆对z1轴惯性矩为轴惯性矩为464d1441264128zddI虽然虽然z轴与轴与z1轴平行，但它们都不轴平行，但它们都不是半圆截面的形心轴，故不能直是半圆截面的形心轴，故不能直接移轴，即接移轴，即12228zzddII122238CzzddII222238CzzdddII122222382 238zzddIIddd42222128438zddddI1zOydzCCz23d223ddzy23dbC4040a100a100例例I-8 求图
17、示截面对形心轴求图示截面对形心轴z、y的惯性矩。的惯性矩。解：解：(1)计算半圆对计算半圆对z轴的惯性矩轴的惯性矩41128zdI21CzzIIb A故故2CzzIIabA半122zIb AabA122zIa AabA422280100802 100 178012888 6434.68 10 mm1zCz2173db80d C2zzzIII矩半6312 34.68 1080 2001264122.7 10 mmzy23dbC4040a100a1002yIIIy矩y半342212812a dd(2)计算计算Iz(3)计算计算Iy4380200 802128126410.54 10 mm6434.
18、68 10 mmzI半例例I-9 求图示截面对水平求图示截面对水平z(过形心过形心)轴的惯性矩。轴的惯性矩。解：解：可以看成外面的大矩形对可以看成外面的大矩形对z轴的惯性矩轴的惯性矩减去里面的小矩形对减去里面的小矩形对z轴的惯性矩。轴的惯性矩。形心坐标：形心坐标：0cz 350500 250250 400 300350 500250 400cy利用平行移轴公式，可得外面的大矩形对利用平行移轴公式，可得外面的大矩形对z轴的惯性矩为：轴的惯性矩为：同理可得里面的小矩形对同理可得里面的小矩形对z轴的惯性矩为：轴的惯性矩为：2zI所以所以12zzzIIIzy183.3mm31350 50012944.
19、42 10 mm2350 500(250 183.3)1zI942.69 10 mm31250 400122250 400(300 183.3)99944.42 102.69 101.73 10 mm练习练习求图示截面对水平形心轴求图示截面对水平形心轴z 的惯性矩。的惯性矩。解：解：可以看成外面的大矩形对可以看成外面的大矩形对z轴的惯性矩减轴的惯性矩减去里面的小矩形对去里面的小矩形对z轴的惯性矩。轴的惯性矩。形心坐标：形心坐标：0cz 500 800 400400 550 425369.4mm500 800400 550cyzy外面的大矩形对外面的大矩形对Z轴的惯性矩为：轴的惯性矩为：利用平行
20、移轴公式，可得利用平行移轴公式，可得3210411500 800500 800(400369.4)2.17 10 mm12zI里面的小矩形对里面的小矩形对z轴的惯性矩为：轴的惯性矩为：3210421400 550400 550(425369.4)0.62 10 mm12zI所以所以1010104122.17 100.62 101.55 10 mmzzzIIIyCzzCy100mmd 100mm100mm100mm100mm练习练习求图示截面对水平形心轴求图示截面对水平形心轴zC的惯性矩。的惯性矩。2212 100200200100100100832002001008cy 211zzcIIb A
21、32120020012102.310020020022422222102.3 1001283883zdddddI642.857 10 mm84121.307 10 mmzczzIII102.3mm 841.335410 mm故：故：-4 -4 转轴公式转轴公式 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩dAzy1y1z1z1yzyO一、惯性矩和惯性积的转轴公式一、惯性矩和惯性积的转轴公式1z 则截面对则截面对y1轴的惯性矩为轴的惯性矩为已知：已知：Iy、Iz、Iyz 求：求：Iy1、Iz1 、Iy1z1坐标关系：坐标关系：1y 121yAIz dA2cossinAzydA2222cossin2sin
22、 cosAAAz dAy dAyzdA22cossinsin2yzyzIIIcosysinzcoszsiny1cos2sin 222yzyzyyzIIIIII1z1yzyO122cossinsin2yyzyzIIII带入上式，整理得带入上式，整理得21 cos2cos 221 cos2sin 2（I-11a）1cos2sin22 2 yzyzzyzIIIIII1 1 sin2cos22yzy zyzIIII 同理可得（I-11b）（I-11c）11yzII1cos2sin 222yzyzyyzIIIIII（I-11a）1cos2sin22 2 yzyzzyzIIIIII（I-11b）将（将（I
23、-11a）和（）和（I-11b）式相加，可得）式相加，可得yzII1z1yzyOpI上式表明截面对于通过同一点的任意上式表明截面对于通过同一点的任意一对正交坐标轴的两惯性矩之和为一一对正交坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩。惯性矩。zy1z1y0y0z0二、截面的主惯性轴和主惯性二、截面的主惯性轴和主惯性矩矩yzI1 1y zI当坐标轴转动当坐标轴转动90之后之后由此可知，在坐标轴转动的过程中，必然由此可知，在坐标轴转动的过程中，必然会有一对坐标轴的惯性积会有一对坐标轴的惯性积0 00y zI则则y0、z0就称之为就称之为主惯性轴主惯
24、性轴，简称，简称主轴主轴。截。截面对主轴的惯性矩称之为面对主轴的惯性矩称之为主惯性矩主惯性矩。0 000sin2cos22yzy zyzIIII02 tan2yzyzIII00主轴位置：主轴位置：000y（I-13）0cos20sin20221422yzyyzyzIIIIII0221422yzzyzyzIIIIII主惯性矩：主惯性矩：02tan2 yzyzIII由可以得到zy0y0z02011tan 2224yzyzyzIIIII020tan21tan 22224yzyzyzIIII（I-14a）（I-14b）此时此时 恒大于恒大于 ，这是由于（，这是由于（I-13）式中负号放在分子上所致。）
25、式中负号放在分子上所致。0yI0zI11ydId 1cos2sin 222yzyzyyzIIIIII（I-11a）zy0y0z01z1y111 yI设时有极值，则有11sin22cos2yzyzIII 012tan2yzyzIII02 t an2 yzyzIII而 10说明：说明：主惯性矩为极值惯性矩主惯性矩为极值惯性矩由于截面对过同一点的任一对正交坐标轴的两惯性矩之和为一常由于截面对过同一点的任一对正交坐标轴的两惯性矩之和为一常数，故上述主惯性矩数，故上述主惯性矩 是截面对过该点的所有坐标轴的惯性矩中是截面对过该点的所有坐标轴的惯性矩中之最大值，而之最大值，而 则为最小值。则为最小值。0yI
26、0zI则则y0 0、z0 0称称为为形心主惯性轴形心主惯性轴可以证明：任意平面图形必定存在一对相可以证明：任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴互垂直的形心主惯性轴三、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩三、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩若若0 00y zI，且交点与截面的形心重合，且交点与截面的形心重合00yzII、称为惯形心主性矩常见截面形心主轴的位置常见截面形心主轴的位置（简称（简称形心主轴形心主轴）(1)有两个对称轴的截面有两个对称轴的截面0z0yzyC（形心）（形心）CzyCzyy、z即为形心主轴即为形心主轴maxIminImaxIminI(2)有一个对称轴的截面有一个对称轴的
27、截面yCzzzCyy、z即为形心主轴即为形心主轴(3)没有对称轴的截面，同样存在一对形心主轴。没有对称轴的截面，同样存在一对形心主轴。(书例书例I-10)(4)圆截面圆截面Cyz1y1zy、z、y1、z1均为均为形心主轴形心主轴yC确定无对称轴截面形心主轴的步骤：确定无对称轴截面形心主轴的步骤：确定截面的形心位置，选取一对形心轴为参考轴；确定截面的形心位置，选取一对形心轴为参考轴；求出截面对参考轴的惯性矩和惯性积；求出截面对参考轴的惯性矩和惯性积；由（由（I-13I-13）式解出）式解出 值，从而确定形心主轴值，从而确定形心主轴 y0 0的位置。再利用的位置。再利用（I-14aI-14a）和（
28、）和（I-14bI-14b）式，即可求得截面的形心主惯性矩。）式，即可求得截面的形心主惯性矩。0例例I-10 试确定图示试确定图示Z形截面的形心主形截面的形心主轴的位置，并计算形心主惯性矩。轴的位置，并计算形心主惯性矩。9090102002020IIIIIICyz解：解：(1)确定截面的形心位置确定截面的形心位置由于由于Z形截面有一对称中心形截面有一对称中心C，故故C点即为该截面的形心。选取点即为该截面的形心。选取通过形心通过形心C的水平轴的水平轴z和竖直轴和竖直轴y为参考轴。为参考轴。9090102002020IIIIIICyz(2)求截面对求截面对y、z轴惯性矩和惯性积轴惯性矩和惯性积矩形
29、矩形I II zI441464 10 mmI yI44571.5 10 mmIyzI44810 10 mm390 201229090 20 320 901225090 20 0905090 20 矩形矩形IIII344II10 200666.7 10 mm12zI344II200 101.67 10 mm12yIII0yzI9090102002020IIIIIICyz矩形矩形IIIIII44IIII1464 10 mmzzII44IIII571.5 10 mmyyII44IIII810 10 mmyzyzII整个截面对整个截面对y、z轴的惯性矩轴的惯性矩和惯性积：和惯性积：743.59 10
30、mm442 571.5 10+1.67 10yI 4742 810 10=1.62 10 mmyzI故故 y、z轴不是形心主轴轴不是形心主轴442 1464 10666.7 10zI 741.14 10 mm002tan2yzyzIII7474742 1.62 10 mm1.14 10 mm3.59 10 mm 因为因为tan2 0分子分母都为负，说分子分母都为负，说明明tan2 0应该在第三象限应该在第三象限02o0 116.45740.334 10 mm0221422yzyyzyzIIIIII(3)确定形心主轴的位置确定形心主轴的位置由（由（I-13）式：）式：3.242.451.322o
31、180o52.99090102002020IIIIIICyz00y0z744.396 10 mm(4)求形心主惯性矩求形心主惯性矩0221422yzzyzyzIIIIIIzy1y1z2y2z1证明：证明：取取y轴为对称轴，轴为对称轴，0yzI再取再取y2为对称轴，为对称轴，2 20y zI11sin2cos22yzyzIII1 1sin2cos22yzy zyzIIII yzII所以过形心的轴均为形心主轴所以过形心的轴均为形心主轴例例 I-11 证明图示正八边形截面的形心轴均为形心主轴，且截面对证明图示正八边形截面的形心轴均为形心主轴，且截面对所有形心轴的惯性矩均相等。（所有形心轴的惯性矩均相
32、等。（C为形心）为形心）设设y1、z1为任意形心轴为任意形心轴(角角 为任意值为任意值)则：则：C则：则：02 2y zI1 10y zI1yI0yzI yzII把把 带入，有带入，有 12yzyIIIzIzy1y1z2y2z1CyI所以截面对所有形心轴的惯性矩均相等。所以截面对所有形心轴的惯性矩均相等。以上证明中，并没有用到正以上证明中，并没有用到正八边形的个体性质。因此，八边形的个体性质。因此，可以推论，可以推论，对任意正多边形对任意正多边形截面，过形心的轴均为形心截面，过形心的轴均为形心主轴，截面对所有形心轴的主轴，截面对所有形心轴的惯性矩均相等惯性矩均相等。aayz1zC1yzzIII412acos2sin222yzyzyzIIIII
