1、 12一、简单图形的形心一、简单图形的形心AydAASyAzcAzdAASzAyc知识要点回顾形心确定的规律：形心确定的规律：（1）、图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。（2）、图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。二、组合图形的形心：二、组合图形的形心：izicASyiyicASz三、简单图形的惯性矩三、简单图形的惯性矩AzdAyI2AydAzI23四、惯性矩的平移轴公式四、惯性矩的平移轴公式五、组合图形的惯性矩五、组合图形的惯性矩zizIIyiyIIabAIIAbIIAaIIzcyczyycyzcz22注意：注意：ZC、YC 必须是形心坐标。必须是形心坐标。a a、b b为图形为
2、图形形心在形心在yozyoz坐标系的坐标值，有正负之分。坐标系的坐标值，有正负之分。知识要点回顾六、六、七、七、yE ZIMy八、八、第第十一十一章章 弯曲应力弯曲应力目录4正应力分布正应力分布ZIMyZmaxmaxIMymaxZMWZmaxZIWy11-211-2对称对称弯曲时的正应力弯曲时的正应力目录MM 与中性轴距离相等的点，与中性轴距离相等的点，正应正应力相等；力相等；正应力大小与其到中性轴距离正应力大小与其到中性轴距离成正比；成正比；中性轴上中性轴上,正应力等于零正应力等于零minZMW 5常见截面的常见截面的 IZ 和和 WZ Z圆截面圆截面矩形截面矩形截面空心圆截面空心圆截面空心
3、矩形截面空心矩形截面AdAyI2ZZmaxyzIW 644ZdI332zdW)1(6444ZDI34(1)32zDW123ZbhI 26zbhW 12123300ZbhhbI33000()/(/2)1212zb hbhWh11-211-2对称对称弯曲时的正应力弯曲时的正应力目录6目录 弹性力学精确分析表明，弹性力学精确分析表明，当跨度当跨度 l 与横截面高度与横截面高度 h 之之比比 l/h 5（细长梁）时，（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲近似成立。n 横力弯曲横力弯曲711-211-2对称对称弯曲时的正应力弯曲时的正应力n横力弯曲正应力公横力弯
4、曲正应力公式式ZIMymaxmaxmaxmaxZZMyMIW横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力目录细长梁的细长梁的纯弯曲纯弯曲或或横力弯曲横力弯曲横截面惯性积横截面惯性积 I IYZ YZ=0=0弹性变形阶段弹性变形阶段公式适用范围公式适用范围811-211-2对称对称弯曲时的正应力弯曲时的正应力911-4 11-4 弯曲切应力弯曲切应力1011-4 11-4 弯曲切应力弯曲切应力目录xdxxyPmq(x)ABmnm1n1n 分几种截面形状讨论弯曲切应力分几种截面形状讨论弯曲切应力一、矩形截面梁一、矩形截面梁(/)sF1 1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力、横截面上各点的切应力方向平行于
5、剪力2 2、切应力沿截面宽度均匀分布、切应力沿截面宽度均匀分布关于切应力的分布作两点假设：关于切应力的分布作两点假设：Fsbhymnm1n1Op1q1pdxxyz1111-4 11-4 弯曲切应力弯曲切应力目录dxm1n1nmMM+dMypp1m1n1mndxpp1q1qydAFN1FN2zyy1AyIMAyIMANpnAzzAAddd:111111AyIMMNnpAzdd:12111xbQppdd:1l讨论部分梁的平衡讨论部分梁的平衡1211-4 11-4 弯曲切应力弯曲切应力0dddd ,01111xbAyIMAyIMMXAzAzAybIxMAzd)1(dd11m1n1mndxpp1q1q
6、ydAFN1FN2zyy1*szzF SI bd,dsMFx,d*11zASAy13AFS23 11-4 11-4 弯曲切应力弯曲切应力目录14l横力弯曲截面发生翘曲横力弯曲截面发生翘曲切应变切应变:22()24szFhyGI GPP11-4 11-4 弯曲切应力弯曲切应力 若各截面若各截面 Fs Fs 相等，则翘曲程度相同，纵向纤维长相等，则翘曲程度相同，纵向纤维长度不变，对度不变，对 计算无影响。计算无影响。若各截面若各截面FsFs不等（如有不等（如有q q作用），则翘曲程度不同，作用），则翘曲程度不同，各纵向纤维长度发生变化，对各纵向纤维长度发生变化，对 计算有影响。但这种影计算有影响。
7、但这种影响对响对 梁常可忽略。梁常可忽略。hl151111-4-4 弯曲切应力弯曲切应力二、圆形截面梁二、圆形截面梁Fsmax243sFR2*4;23zRRS2;bR24zRI1611-4 11-4 弯曲切应力弯曲切应力目录22220000824szFbhbhhyI bFs三、工字型截面梁三、工字型截面梁Bb0hh0zyy17n实心截面梁正应力与切应力比较实心截面梁正应力与切应力比较对于直径为对于直径为 d d 的圆截面的圆截面maxmax =6(l/d)11-4 11-4 弯曲切应力弯曲切应力目录（l 为梁的跨度）为梁的跨度）18对于宽为对于宽为b、高为高为h的矩形截面的矩形截面maxmax
8、 =4(l/h)11-4 11-4 弯曲切应力弯曲切应力目录（l 为梁的跨度）为梁的跨度）n实心截面梁正应力与切应力比较实心截面梁正应力与切应力比较19l 梁的跨度较短梁的跨度较短（l/h 5）；l 在支座附近作用较大载荷（载荷靠近支座）；在支座附近作用较大载荷（载荷靠近支座）；l 铆接或焊接的工字形或箱形等截面梁（腹板、焊缝、铆接或焊接的工字形或箱形等截面梁（腹板、焊缝、胶合面或铆钉等）胶合面或铆钉等）qBACDElPPa11-4 11-4 弯曲切应力弯曲切应力n有些情况必须考虑弯曲切应力有些情况必须考虑弯曲切应力2011-511-5 梁的强度条件梁的强度条件 ZWmaxmaxmaxmaxz
9、MyMI1.1.等截面梁等截面梁弯矩最大弯矩最大的截面上的截面上2.2.离中性轴离中性轴最远处最远处3.3.变截面梁要变截面梁要综合考虑综合考虑 与与MzI目录11-511-5 梁的强度条件梁的强度条件21n正应力强度条件及其应用正应力强度条件及其应用 铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成45到到 55倾角，倾角，表明这类试件主要因剪切而破坏。表明这类试件主要因剪切而破坏。O e e oebtbcn正应力强度条件及其应用正应力强度条件及其应用11-511-5 梁的强度条件梁的强度条件22 对于铸铁等脆性制成的梁，对于铸铁等脆性制成的梁，所以梁的材料的拉、压应力根据许
10、用拉应力和所以梁的材料的拉、压应力根据许用拉应力和许用压应力分别校核：许用压应力分别校核：ctmaxttmaxcc 11-511-5 梁的强度条件梁的强度条件n正应力强度条件及其应用正应力强度条件及其应用强度条件强度条件：梁内的最大工作应力不超过材料的许梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力用应力。maxZmaxmaxmaxWMIyMZ23BAl=3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力2.2.C 截面上截面上最大最大正应力正应力3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力4.4.已知已知E=200GPa，C 截面的
11、曲率半径截面的曲率半径 FSx90kN90kNmkN605.0160190CM1.求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832.51218.012.012bhIMPa7.61Pa107.6110832.510)302180(10606533ZKCKIyM（压应力）（压应力）解：解：例题5-1目录2411-511-5 梁的强度条件梁的强度条件BAl=3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN2.2.C C 截面最大正应力截面最大正应力C C 截面弯矩截面弯矩mkN60CMC C 截面惯性矩截面惯性矩45Zm108
12、32.5IMPa55.92Pa1055.9210832.510218010606533ZmaxmaxIyMCC目录2511-511-5 梁的强度条件梁的强度条件BAl=3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN3.全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩mkN5.67maxM截面惯性矩截面惯性矩45m10832.5zIMPa17.104Pa1017.10410832.5102180105.676533ZmaxmaxmaxIyM目录2611-511-5 梁的强度条件梁的强度条件BAl=3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN
13、8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN4.C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩mkN60CMC 截面惯性矩截面惯性矩45Zm10832.5Im4.194106010832.510200359CZCMEIEIM1目录2711-511-5 梁的强度条件梁的强度条件作弯矩图，寻找需要校核的截面作弯矩图，寻找需要校核的截面 ccttmax,max,要同时满足要同时满足分析：分析：非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置 T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。试校核梁的强度。MPa,60,MPa30ct例题5-4
14、目录2811-511-5 梁的强度条件梁的强度条件mm522012020808020120102080cy（2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩462323m1064.728120201212020422080122080zI （1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：目录2911-511-5 梁的强度条件梁的强度条件（4 4）B B截面校核截面校核 ttMPa2.27Pa102.271064.710521046633max,ccMPa1.46Pa101.461064.710881046633max,（3 3）作弯矩图）作弯矩图目录kN.m5.2kN.m430
15、11-511-5 梁的强度条件梁的强度条件（5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？ttMPa8.28Pa108.281064.71088105.26633max,（4 4）B B截面校核截面校核（3 3）作弯矩图）作弯矩图 ttMPa2.27max,ccMPa1.46max,目录kN.m5.2kN.m4梁满足强度要求梁满足强度要求3111-511-5 梁的强度条件梁的强度条件n 切应力强度条件切应力强度条件max*,max,maxmax sZZFSI b需要校核切应力的几种特殊情况需要校核切应力的几种特殊情况（1）梁的跨度较短，）梁的跨度较短，M较小，而较小，而FS较大时，要校核切应力
16、。较大时，要校核切应力。（2）铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于）铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。型钢的相应比值时，要校核切应力。（3）各向异性材料的抗剪能力较差，各向异性材料的抗剪能力较差，要校核切应力。要校核切应力。11-511-5 梁的强度条件梁的强度条件3233 悬臂梁由三块木板粘接而成。跨悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为度为1 1m m。胶合面的许可切应力为胶合面的许可切应力为0.340.34MPaMPa，木材的木材的=10 MPa=10 MPa，=1MPa=1MPa，求许可载荷。求许可载荷。21maxmax6bhlFWMz1
17、.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图2.2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷 SF FM Fl 3.75kNN375061015010010692721 lbhF bhFAFS2/32/32max3.3.按切应力强度条件计算许可载荷按切应力强度条件计算许可载荷 kN01N100003/101501001023/2662 bhF Fl100505050z解：解：例题5-5目录11-511-5 梁的强度条件梁的强度条件34 gZZSbhFbbhhbFbISF 341233323*g4.4.按胶合面强度条件计算许可按胶合面强度条件计算许可载荷载荷 3.825kNN3
18、82541034.010150100343663 gbhF 5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 3.75kNkN825.3kN10kN75.3minmin iFFFl100505050M FlzSF F目录11-511-5 梁的强度条件梁的强度条件3511-6 梁的合理强度设计梁的合理强度设计n 梁的合理设计梁的合理设计控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以maxmax MWZ作为梁设计的主要依据。作为梁设计的主要依据。因此，因此，（1）应使）应使Mmax尽可能地小；尽可能地小；（2）使）使WZ尽可能地大。尽可能地大。11-6 梁的合理强度设计梁
19、的合理强度设计3637ZmaxmaxWM目录1.1.降低降低 M Mmaxmax I.合理安排支座合理安排支座II.合理布置载荷合理布置载荷11-6 梁的合理强度设计梁的合理强度设计38目录FFFI.合理布置支座合理布置支座11-6 梁的合理强度设计梁的合理强度设计39I.合理布置支座合理布置支座目录11-6 梁的合理强度设计梁的合理强度设计40目录FII.合理布置载荷合理布置载荷11-6 梁的合理强度设计梁的合理强度设计41ZmaxmaxWM2.2.增大增大 W WZ Z I.合理设计截面合理设计截面II.合理放置截面合理放置截面目录11-6 梁的合理强度设计梁的合理强度设计42目录I.合理
20、设计截面合理设计截面11-6 梁的合理强度设计梁的合理强度设计43目录222()66Zbhb dbW222()bhd2hb221(3)06ZdWdbdb令令22222,33ddbhI.合理设计截面合理设计截面11-6 梁的合理强度设计梁的合理强度设计44z212max1maxmaxmaxctzzctyyIyMIyM 11-6 梁的合理强度设计梁的合理强度设计4562bhWZ左62hbWZ右目录II.合理放置截面合理放置截面11-6 梁的合理强度设计梁的合理强度设计463、等强度梁、等强度梁 bh(x)zFl/2l/2)()61()2()()(2max xbhxFxWxM3)(bFxxh 11-
21、6 梁的合理强度设计梁的合理强度设计4722323minSmax bhFAF43min bFh bh(x)zFl/2l/23)(bFxxh F3、等强度梁、等强度梁 11-6 梁的合理强度设计梁的合理强度设计483、等强度梁、等强度梁 目录11-6 梁的合理强度设计梁的合理强度设计49目录11-6 梁的合理强度设计梁的合理强度设计1、对称弯曲、对称弯曲当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的平面曲梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的平面曲线，称为对称弯曲。线，称为对称弯曲。F1F2F3F4对称弯
22、曲要满足的两个条件：对称弯曲要满足的两个条件：1.梁要有对称面；梁要有对称面；2.外力要作用在对称面内。外力要作用在对称面内。11-711-7 双对称截面梁的非对称弯曲双对称截面梁的非对称弯曲502、弯矩的、弯矩的符号规定符号规定弯矩符号弯矩符号上压下拉上压下拉 (上凹下凸上凹下凸)为正；反之为负。为正；反之为负。mm（受压）（受压）MeM-+（受拉）（受拉）MeMmm当当dx微段的弯曲下凸（即该段的下半部微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉）时受拉）时，横截面横截面m-m上的弯矩为正；上的弯矩为正；或使或使左段左段有有逆逆时针转动趋势的弯矩为正时针转动趋势的弯矩为正；对于左段，顺时针方向的外力
23、偶产生正对于左段，顺时针方向的外力偶产生正的的弯矩弯矩。当当dx微段的弯曲上凸（即该段的下半部微段的弯曲上凸（即该段的下半部受拉压）时受拉压）时，横截面横截面m-m上的弯矩为负上的弯矩为负；或使或使右段右段有有逆逆时针转动趋势的弯矩为时针转动趋势的弯矩为负；负；对于右段，顺时针方向的外力偶产生负对于右段，顺时针方向的外力偶产生负的的弯矩弯矩。11-711-7 双对称截面梁的非对称弯曲双对称截面梁的非对称弯曲51右手螺旋法则右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为正正(+),(+),反之为反之为负负(-)(-)。扭矩的符号规定扭矩的符号规定（力偶矢指向离开截面的扭矩为正，反之
24、为负）（力偶矢指向离开截面的扭矩为正，反之为负）2、矩的、矩的符号规定符号规定 11-711-7 双对称截面梁的非对称弯曲双对称截面梁的非对称弯曲523、弯曲正应力分析、弯曲正应力分析 11-711-7 双对称截面梁的非对称弯曲双对称截面梁的非对称弯曲非对称弯曲非对称弯曲双对称截面梁双对称截面梁非对称弯曲非对称弯曲非对称截面梁非对称截面梁非对称弯曲非对称弯曲533、弯曲正应力分析、弯曲正应力分析 11-711-7 双对称截面梁的非对称弯曲双对称截面梁的非对称弯曲zzyyIyMIzM矢量沿坐标轴正向的弯矩矢量沿坐标轴正向的弯矩M为正为正利用叠加法分析内力与应力利用叠加法分析内力与应力弯曲正应力沿
25、横截面线性分布弯曲正应力沿横截面线性分布544、中性轴位置与方位、中性轴位置与方位 11-711-7 双对称截面梁的非对称弯曲双对称截面梁的非对称弯曲yz tanyzzyMMII0(0,0)zzyyIyMIzM中性轴为通过横截面形心的直线中性轴为通过横截面形心的直线0zzyyIyMIzM中性轴的方位角为：中性轴的方位角为：yzzyMMII1tan 0yzzyIyMIzM555、最大弯曲正应力、最大弯曲正应力 11-711-7 双对称截面梁的非对称弯曲双对称截面梁的非对称弯曲max发生在离中性轴最远的各点处发生在离中性轴最远的各点处zzyy,WMWMmaxcmaxt zazyay,IyMIzMm
26、axcmaxt 矩形、工字形与箱形矩形、工字形与箱形等具有外棱角截面：等具有外棱角截面：56例题例题11.12 11-711-7 双对称截面梁的非对称弯曲双对称截面梁的非对称弯曲Fy=Fz=F=1.0 kN，a=800 mm，截面高截面高h=80 mm，宽，宽 b=40 mm，=160 MPa，校核梁强度校核梁强度。解解：（1）内力分析内力分析FaMFaMzAyA ,2危险截面：截面危险截面：截面 A57例题例题11.12 11-711-7 双对称截面梁的非对称弯曲双对称截面梁的非对称弯曲Fy=Fz=F=1.0 kN，a=800 mm，截面高截面高h=80 mm，宽，宽 b=40 mm，=160 MPa，校核梁强度校核梁强度。解解：（2）应力分析应力分析危险点：危险点：d,fzzAyyAWMWMmax 66222bhFahbFaMPa 5.146（3）强度校核强度校核 max 58作业：作业：11-511-5、11-711-7、11-1011-10、11-15 11-1559
