1、第十七章 勾股定理情境引入学习目标1.掌握勾股定理的逆定理，并会用它判断一个三角形是不是直角三角形.（重点）2.勾股定理的逆定理的证明.（难点）导入新课导入新课B C A 1.勾股定理的内容是什么?如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.bca2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：a3，b4 a2.5，b6 a4，b7.5c=5c=6.5c=8.53.分别以上述a、b、c为边的三角形的形状会是什么样的呢？讲授新课讲授新课一勾股定理的逆定理具体做法：把一根绳子打上等距离的13个结，然后把第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第个结和第个
2、结钉牢（拉直绳子）.这时构成了一个三角形，其中有一个角是直角.u动手验证u画图验证（特别说明，上面画出的三角形都是用几何画板按比例画的，结果也都是直角三角形）.u发现结论2.52+62=6.5242+7.52=8.52最长边6.5所对的角是直角最长边8.5所对的角是直角（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）古埃及人和我国古代大禹治水时也就是用这种类似方法确定直角.如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.猜 想:ABC ABC？C是直角ABC是直角三角形ABCa b c 已知：如图，ABC的三边长a，b，c，满
3、足a2+b2=c2 求证：ABC是直角三角形构造两直角边分别为a,b的RtABC验证:证明：作RtABC，使C=900，AC=b，BC=aABC ABC(SSS)C=C=900 即即ABC是直角三角形是直角三角形.则22222ABBCACab 222abc 22A BcA Bc 在和中ABCA B C A CA CB CB CA BA B C B aA bcACaBbcu勾股定理的逆定理归纳总结 如果三角形的三边长a、b、c满足 a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.ACBabc 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可
4、判断此三角形为直角三角，最长边所对角为直角.u特别说明：典例精析 例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1)a=15 ，b=8 ，c=17;解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且C是直角.(2)a=13，b=14 ，c=15;解：因为132+142=365，152=225，所以132+142152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.(3)a=1，b=2，c=;3(4)a:b:c=3:4:5;解：设a=3k,b=4k,c=5k,因为(3k)2+(4k
5、)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，C是直角.根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.归纳勾股数：像15，20，25这样，能成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数.常见勾股数：奇数类：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；等等偶数类：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；等等勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样是勾股数.二勾股数三互逆命题与互逆定理观察与思考：命
6、题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.命题2 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.观察下列命题，它们之间有什么联系与区别？命题1与命题2的条件与结论正好相反.命题1与命题2的条件和结论分别什么？题设与结论正好_的两个命题叫做_命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 _.一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是_，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.相反互逆正确的逆命题说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？两条直线平行，内错角相等；如果两个
7、实数相等，那么它们的绝对值相等；全等三角形的对应角相等；在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.内错角相等，两条直线平行.成立如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.不成立 对应角相等的三角形全等.不成立在角平分线上的点到角的两边距离相等.成立当堂练习当堂练习1.小颖要求ABC最长边上的高，测得AB=8,AC=6,BC=10,则可知最长边上的高是（）A.5 B.0.48 C.4.8 D.48C2.在ABC中，A,B,C的对边分别a,b,c.若C-B=A,则ABC是直角三角形；若c2=b2-a2,则ABC是直角三角形,且C=900；若(c+a)(c-a)=b2,则ABC是直角三角形;若
8、A：B：C=5：2：3，则ABC是直角三角形.以上命题中的假命题个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4A 3.一根24m的绳子，折成三边长为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 .6m,8cm,10cm直角三角形4.命题：对顶角相等，其逆命题是：.相等的角是对顶角5.如图，AB=5,AC=3,BC边上的中线AD=2,求ABC的面积.解：延长AD并在截取DE=AD,BDCDADCEDB，().ADCEDB SAS 3.BEAC5,22 24,ABAEAD,6ABE 是直角三角形 其面积是.即ABC的面积是6.E课堂小结课堂小结勾股定理的逆定理内容作用从三边数量关系判定一个三
9、角形是否是直角形三角形.如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.注意最长边不一定是c，C也不一定是直角.勾股数一定是正整数17.2 勾股定理的逆定理第十七章 勾股定理第2课时 勾股定理的逆定理的应用情境引入学习目标1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.（重点）2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.（难点）导入新课导入新课1.勾股定理及其逆定理的内容：a2+b2=c2(a,b为直角边，c斜边）RtABC勾股定理：勾股定理的逆定理：a2+b2=c2(a,b为较短边，c为最长边）RtABC，且C是直角.2.等腰 ABC中，AB=AC=10c
10、m,BC=12cm,则BC边上的高是 cm.83.已知 ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为 三角形，是最大角.直角A讲授新课讲授新课例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?NEP QR12勾股定理的逆定理的应用一解：根据题意，PQ=161.5=24,PR=121.5=18,QR=30.因为242+182=302，即PQ2+P
11、R2=QR2,所以QPR=90.由“远航”号沿东北方向航行可知，1=45.因此2=450，即“海天”号沿西北方向航行.NEP QR12 勾股定理及其逆定理在解决航海问题时，理解方位角的含义是前提，画出符合题意的图形，标明已知条件，转化为解决直角三角形问题所需的条件.归纳勾股定理及其逆定理的综合应用二例2 已知：如图，四边形ABCD中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13,求四边形ABCD的面积.连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断ACD是直角三角形.提示ADBC341312ADBC341312解：连接AC.四边形问题对角线是常用的辅助线
12、，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是”黄金搭挡”，经常配套使用.归纳如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，ADC=90，AB=13m，BC=12m.求这块地的面积.变式训练ABC341312D解：连接AC，ADC=90，AD=4，CD=3，AC2=AD2+CD2=42+32=25，又AC0，AC=5，又BC=12，AB=13，AC2+BC2=52+122=169，又AB2=169，AC2+BC2=AB2，ACB=90，S四边形ABCD=SABC-SADC=30-6=24(m2)当堂练习当堂练习1.如图，直线l上有三个正方形a,b,c,
13、若a,c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A.4 B.6 C.16 D.55 C2.如图,ABC的顶点A,B,C,在边长为1的正方形方格的格点上，BDAC于点D,则BD的长为（）A.B.C.D.253354455354abcl第第1题题ABCD第第2题题C3.医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东 的方向.东医院公园超市北654.如图，等边三角形的边长为6，则高AD的长是 ；这个三角形的面积是 .ABCD3 39 35.如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=6,将矩形沿AC折叠，点D落在E处，则重叠部分AFC的面积是多少?解：解得AF=254，AFC的面积是75.4课堂小结课堂小结勾股定理的逆定理的应用应用航海问题方法认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理 来 解 决 问 题.四边形问题
