1、 总第总第50课时课时创新专题创新专题(十三十三)圆的切线与勾股定理圆的切线与勾股定理1如图如图501所示,在所示,在RtABC中,中,C90,BC3,CA4,ABC的角平分线的角平分线BD交交AC于点于点D,点,点E是线段是线段AB上的一点,上的一点,以以BE为直径的为直径的 O过点过点D.(1)求证:求证:AC是是 O的切线;的切线;(2)求求AE的长的长图图501第第1题答图题答图2如图如图502,在,在ABC中,中,ABAC,BAC120,E为为BC上上一点,以一点,以CE为直径作为直径作 O恰好经过恰好经过A,C两点,两点,PFBC交交BC于点于点G,交,交AC于点于点F.(1)求证
2、:求证:AB是是 O的切线的切线(2)如果如果CF2,CP3,求,求 O的直径的直径EC.图图502第第2题答图题答图3如图如图503,在,在RtABC中,中,B90,E为为AB上一点,上一点,CBEO,O是是BC上一点,以上一点,以O为圆心,为圆心,OB长为半径作长为半径作 O,AC是是 O的切线的切线(1)求证:求证:OEOC;(2)若若BE4,BC8,求,求OE的长的长图图503解解:(1)设设AC切切 O于点于点Q,连接,连接OQ,AC是是 O的切线,的切线,CQO90.在在OQC和和OBE中,中,BCQO90,CBEO,BOOQ,OQC OBE,OCOE.(2)设设OEOCx,则,则
3、BO8x,在在RtOQC中,中,OQ2QC2OC2,42(8x)2x2,x5.即即OE的长为的长为5.第第3题答图题答图4如图如图504,AB是是 O的直径,的直径,C是是AB延长线上一点,点延长线上一点,点D在在 O上,且上,且A30,ABD2BDC.(1)求证:求证:CD是是 O的切线;的切线;(2)过点过点O作作OFAD,分别交,分别交BD,CD于点于点E,F.若若OB2,求,求OE,CF的长的长图图504解解:(1)连接连接OD,AB是是 O的直径,的直径,ADB90.A30,ABD60.ABD2BDC,BDC30.ODOB,ODB是等边三角形是等边三角形ODB60.ODCODBBDC
4、90.CD是是 O的切线的切线第第4题答图题答图5如图如图505,已知等边,已知等边ABC,以边,以边BC为直径的半圆与边为直径的半圆与边AB,AC分别交于点分别交于点D,E,过点,过点D作作DFAC,垂足为,垂足为F.(1)判断判断DF与与 O的位置关系,并证明你的结论;的位置关系,并证明你的结论;(2)过点过点F作作FHBC,垂足为,垂足为H.若等边若等边ABC的边长为的边长为4,求,求FH的长的长(结果保留根号结果保留根号)图图505解解:(1)DF与与 O相切相切证明:连接证明:连接OD,如答图所示,如答图所示ABC是等边三角形,是等边三角形,DFAC,ADF30.OBOD,DBO60
5、,BDO60.ODF180BDOADF90.DF是是 O的切线的切线第第5题答图题答图6如图如图506,O的弦的弦ADBC,过点,过点D的切线交的切线交BC的延长线于的延长线于点点E,ACDE交交BD于点于点H,DO及延长线分别交及延长线分别交AC,BC于点于点G,F.(1)求证:求证:DF垂直平分垂直平分AC;(2)求证:求证:FCCE;(3)若弦若弦AD5 cm,AC8 cm,求,求 O的半径的半径图图506解解:(1)DE是是 O的切线,且的切线,且DF过圆心过圆心O,DF是是 O的直径所在的直线,的直径所在的直线,DFDE.又又ACDE,DFAC,G为为AC的中点,即的中点,即DF平分
6、平分AC,则,则DF垂直平分垂直平分AC.(2)由由(1)知:知:AGGC,又又ADBC,DAGFCG.又又AGDCGF,AGD CGF(ASA),ADFC.ADBC,且,且ACDE,四边形四边形ACED是平行四边形,是平行四边形,ADCE,FCCE;第第6题答图题答图7如图如图507,RtABC中,中,CAB90,以,以AB为直径作为直径作 O交交BC于于D,PD是是 O的切线若的切线若AM为为 O的弦,连接的弦,连接PM,若,若ABAC4,AM2,试在,试在 O上标出点上标出点M并求并求PM的长的长图图507解解:ABAC4,以,以AB为直径作为直径作 O,AOOM2,AOM60,AOM为等边三角形,为等边三角形,AOAM2,如答图如答图(1),连接,连接PM,作,作MHAC于点于点H,连接,连接OD.PD是是 O的切线,的切线,PDO90.CAB90,AC是圆的切线,是圆的切线,PDPA.AODO,四边形四边形AODP是正方形,是正方形,AOAP2,第第7题答图题答图(1)第第7题答图题答图(2)