1、 - 1 - 2020 高考仿真模拟卷(七) 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的 1(2019 湖北荆门四校六月考前模拟)已知集合 Mx|x22，则下列结论正确的是( ) AMNN BM(RN) CMNU DM(RN) 答案 D 解析 由题意得 Mx|10，0,00)恒过点 P(1，0)， 过点 A，B 分别作 AMl1于点 M，BNl1于点 N， 由|AM|2|BN|，所以点 B 为|AP|的中点 连接 OB，则|OB|1 2|AF|，所以|OB|BF|， 点 B 的横坐标为1 2，所以点 B 的坐标为 1 2，
2、2 . 把 1 2， 2 代入直线 l：yk(x1)(k0)， 解得 k2 2 3 . 12已知函数 f(x)8cos 1 2x ，则函数 f(x)在 x(0，) 上的所有零点之和为( ) A6 B7 C9 D12 答案 A 解析 设函数 h(x)， 则 h(x)的图 象关于 x3 2对称， 设函数 g(x)8cos 1 2x ，由 1 2x k，kZ，可得 x 1 2k，kZ，令 k1 可得 x3 2，所以函数 g(x)8cos 1 2x ，也关于 x 3 2对称，由图可知函数 - 7 - h(x)的图象与函数 g(x)8cos 1 2x 的图象有 4 个 交点， 所以函数 f(x)8cos
3、 1 2x 在 x(0，)上的所有零点个数 为 4， 所以函数 f(x)8cos 1 2x 在 x(0， )上的所有零点之和 为 43 26. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13在ABC 中，若 4cos2A 2cos2(BC) 7 2，则角 A_. 答案 3 解析 ABC，即 BCA， 4cos2A 2cos2(BC)2(1cosA)cos2A 2cos2A2cosA37 2， 2cos2A2cosA1 20，cosA 1 2， 又 00)的实轴长为 16，左焦点为 F，M 是 双曲线 C 的一条渐近线上的点，且 OMMF，O 为坐标原点，若 SOMF16，则
4、双曲线 C 的离心率为_ 答案 5 2 解析 因为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的实轴长为 16，所以 2a16，a 8， 设 F(c,0)，双曲线 C 的一条渐近线方程为 yb ax， 可得|MF| bc a2b2b， 即有|OM|c2b2a， 由 SOMF16，可得1 2ab16，所以 b4. 又 c a2b2 64164 5， 所以 a8，b4，c4 5， 所以双曲线 C 的离心率为c a 5 2 . 16 (2019 贵州凯里一中模拟)已知函数 f(x)ex在点 P(x1， f(x1)处的切线为 l1， g(x)ln x 在点 Q(x2，g(x2)处的切线为 l2
5、，且 l1与 l2的斜率之积为 1，则|PQ|的最 小值为_ 答案 2 解析 对 f(x)，g(x)分别求导，得到 f(x)ex，g(x)1 x，所以 kl1e x1 ，kl2 1 x2，则 e x1 1 x21，即 e x1 x2，x1ln x2，又因为 P(x1，ex1 )，Q(x2，ln x2)，所以 由两点间距离公式可得|PQ|2(x1x2)2(ex1 ln x2)22(x2ln x2)2， 设 h(x)xln x(x0)，则 h(x)11 x， 当 x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增 所以 x1 时，h(x)取极小值，也是最小值，最小值为 h(1)1， 所以|PQ|2的最小
6、值为 2，即|PQ|的最小值为 2. 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答 (一)必考题：共 60 分 17(本小题满分 12 分)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn.若 3S32S2S4， 且 a532. (1)求数列an的通项公式 an； (2)设 bn 1 log2an log2an2，求数列bn的前 n 项和 Tn. 解 (1)由 3S32S2S4，可得 2S32S2S4S3. 所以公比 q2，又 a532，故 an2n.4 分 (2)因为 bn 1 log2a
7、n log2an2 1 2 1 n 1 n2 ，6 分 所以 Tn1 2 11 3 1 2 1 4 1 3 1 5 1 n 1 n2 9 分 1 2 3 2 1 n1 1 n2 3 4 1 2n2 1 2n4.12 分 18(2019 安徽马鞍山一模)(本小题满分 12 分)已知三棱柱 ABCA1B1C1中， ACB90 ，A1BAC1，ACAA14，BC2. (1)求证：平面 A1ACC1平面 ABC； (2)若A1AC60 ，在线段 AC 上是否存在一点 P，使二面角 BA1PC 的平 面角的余弦值为 3 4 ？若存在，确定点 P 的位置；若不存在，说明理由 解 (1)证明： ACAA1，
8、 四边形 AA1C1C 为菱形， 连接 A1C， 则 A1CAC1， 又 A1BAC1，且 A1CA1BA1，AC1平面 A1CB，2 分 - 10 - 则 AC1BC，又ACB90 ，即 BCAC， BC平面 A1ACC1，而 BC平面 ABC， 平面 A1ACC1平面 ABC.4 分 (2)以 C 为坐标原点，分别以 CA，CB 所在直线为 x，y 轴建立如图所示的空间 直角坐标系， ACAA14，BC2， A1AC60 ， C(0,0,0)，B(0,2,0)，A(4，0,0)，A1(2,0,2 3) 设线段 AC 上存在一点 P，满足AP AC(01)，使得二面角 BA 1PC 的平面角
9、的余弦值为 3 4 ， 则AP (4，0,0)，BPBAAP(4，2,0)(4，0,0)(44，2,0)， A1P A1A AP (2,0，2 3)(4，0,0)(24，0，2 3)，CA 1 (2,0,2 3)， 6 分 设平面 BA1P 的法向量为 m(x1，y1，z1)， 由 m BP 44x 12y10， m A1P 24x12 3z10， 取 x11，得 m 1，22，12 3 ，8 分 又平面 A1PC 的一个法向量为 n(0,1,0)， 由|cosm，n|m n| |m|n| |22| 122212 2 3 1 3 4 ， - 11 - 解得 4 3或 3 4，因为 01，所以
10、3 4. 故在线段 AC 上存在一点 P，满足AP 3 4AC ， 使二面角 BA1PC 的平面角的余弦值为 3 4 .12 分 19(2019 山东威海二模)(本小题满分 12 分)某蔬菜批发商分别在甲、乙两市 场销售某种蔬菜(两个市场的销售互不影响)，已知该蔬菜每售出 1 吨获利 500 元， 未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损 100 元现统计甲、乙两市场以往 100 个销售 周期该蔬菜的市场需求量的频数分布，如下表： 甲市场 需求量(吨) 8 9 10 频数 30 40 30 乙市场 需求量(吨) 8 9 10 频数 20 50 30 以市场需求量的频率代替需求量的概率设批发商在下个销售周
11、期购进 n 吨 该蔬菜，在甲、乙两市场同时销售，以 X(单位：吨)表示下个销售周期两市场的需 求量，T(单位：元)表示下个销售周期两市场的销售总利润 (1)当 n19 时，求 T 与 X 的函数解析式，并估计销售利润不少于 8900 元的概 率； (2)以销售利润的期望为决策依据，判断 n17 与 n18 应选用哪个 解 (1)由题意可知，当 X19 时，T500199500； 当 X0) 的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为 4 的正方形 (1)求椭圆 E 的方程； (2)直线 l：ykxm(km0)与椭圆 E 交于异于椭圆顶点的 A，B 两点，O 为坐 标原点，直线 AO 与椭圆 E
12、 的另一个交点为 C 点，直线 l 和直线 AO 的斜率之积为 1，直线 BC 与 x 轴交于点 M.若直线 BC，AM 的斜率分别为 k1，k2，试判断 k12k2 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由 解 (1)由题意得 bc， a24， a2b2c2， 解得 a24， b22. 所以椭圆 E 的方程为x 2 4 y2 21.4 分 (2)设 A(x1，y1)(x1y10)，B(x2，y2)(x2y20)， 则 C(x1，y1)，kAOy1 x1， - 13 - 因为 kAO k1，所以 kx1 y1，联立 x2 4 y2 21， ykxm， 得(12k2)x24kmx2m240
13、， 所以 x1x2 4km 12k2， y1y2k(x1x2)2m 2m 12k2，6 分 所以 k1y 1y2 x1x2 1 2k y1 2x1， 因为直线 BC 的方程为 yy1 y1 2x1(xx1)， 令 y0，由 y10，得 x3x1，9 分 所以 M(3x1,0)，k2 y1 x13x1 y1 4x1， 所以 k12k2 y1 2x12 y1 4x10. 所以 k12k2为定值 0.12 分 21(2019 辽宁沈阳一模)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)(x1)2mln x，m R. (1)当 m2 时，求函数 f(x)的图象在点(1,0)处的切线方程； (2)若函数 f(x)有两个极值点 x1，x2，且 x12. 所以 m 的取值范围是(2，).10 分
