1、 - 1 - 解答题(二) 17(2019 广东肇庆第三次统一检测)在ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分 BAC，sinC2sinB. (1)求BD CD； (2)若 ADAC1，求 BC 的长 解 (1)由正弦定理可得在ABD 中， AD sinB BD sinBAD， 在ACD 中， AD sinC CD sinCAD， 又因为BADCAD，所以BD CD sinC sinB2. (2)sinC2sinB，由正弦定理得 AB2AC2，设 DCx，则 BD2x，则 cos BADAB 2AD2BD2 2AB AD 54x 2 4 ，cosCADAC 2AD2CD2 2AC AD 2
2、x 2 2 ，因为 BADCAD，所以54x 2 4 2x 2 2 ，解得 x 2 2 ，即 BC3x3 2 2 . 18. (2019 湖北 4 月调研)已知四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD， ADBC， ABAD3，BC4，AC5. (1)当 AP 变化时，点 C 到平面 PAB 的距离是否为定值？若是，请求出该定值； 若不是，请说明理由； (2)当直线 PB与平面 ABCD 所成的角为45 时， 求二面角APDC 的余弦值 解 (1)由 AB3，BC4，AC5 知 AB2BC2AC2，则 ABBC， 由 PA平面 ABCD，BC平面 ABCD，得 PABC，又 PAABA，P
3、A，AB 平面 PAB， 则 BC平面 PAB，则点 C 到平面 PAB 的距离为定值 BC4. (2)由 PA平面 ABCD， 则PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角， 即PBA - 2 - 45 ，所以 PAAB3.由 ADBC，ABBC 得 ABAD，故直线 AB，AD，AP 两两垂直，因此，以点 A 为坐标原点，以 AB，AD，AP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得 P(0,0,3)，D(0,3,0)，C(3,4,0)，于是 DP (0，3,3)，DC (3,1,0)， 设平面 PDC 的法向量为 n1(x，y，z)，则 n1 DP
4、 0， n1 DC 0， 即 3y3z0， 3xy0， 取 x1，则 y3，z3，即 n1(1，3，3)，显然 n2(1,0,0)为平面 PAD 的一个法向量， 于是，cosn1，n2 n1 n2 |n1|n2| 1 123232 19 19 . 又二面角 APDC 为钝角， 所以二面角 APDC 的余弦值为 19 19 . 19(2019 黑龙江哈尔滨六中第二次模拟)某健身机构统计了去年该机构所有 消费者的消费金额(单位：元)，如图所示： (1)现从去年的消费金额超过 3200 元的消费者中随机抽取 2 人， 求至少有 1 位 消费者去年的消费金额在(3200,4000范围内的概率； (2)
5、针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表： 会员等级 消费金额 普通会员 2000 - 3 - 银卡会员 2700 金卡会员 3200 预计去年消费金额在(0,1600内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费 金额在(1600,3200内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(3200,4800 内的消费者都将会申请办理金卡会员，消费者在申请办理会员时，需一次性缴清 相应等级的消费金额，该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动， 现有如下两种预设方案： 方案一：按分层抽样从普通会员、银卡会员、金卡会员中总共抽取 25 位“幸 运之星”给予奖励： 普通会员中的“幸运
6、之星”每人奖励 500 元；银卡会员中的“幸运之星”每 人奖励 600 元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元 方案二：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有 3 个白球、 2 个红球(球只有颜色不同)的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球，若 摸到红球的总数为 2，则可获得 200 元奖励金；若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏； 每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏(每次 摸奖的结果相互独立)请你预测哪一种返利活动方案该健身机构的投资较少？并 说明
7、理由 解 (1)去年的消费金额超过 3200 元的消费者有 12 人，随机抽取 2 人，设消 费金额在(3200,4000范围内的人数为 X，X 的可能取值为 1,2，P(X1)1P(X 0)1 C24 C212 10 11，即所求概率为 10 11. (2)方案一： 按分层抽样从普通会员、 银卡会员、 金卡会员中总共抽取 25 位“幸 运之星”，则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为 28 100 257， 60 1002515， 12 100253，按照方案一奖励的总金额为 17500 15600380014900(元) 方案二：设 表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，
8、则 的可能取值为 0,200,300， - 4 - 由摸到红球的概率为 PC 1 2 C15 2 5， P(0)C03 2 5 0 3 5 3C1 32 5 3 5 281 125， P(200)C23 2 5 23 5 36 125， P(300)C33 2 5 3 8 125， 的分布列为： 0 200 300 P 81 125 36 125 8 125 数学期望为 E()0 81 125200 36 125300 8 12576.8(元)， 按照方案二奖励的总金额为 2(28260312)76.814131.2(元)， 由 12知，方案二投资较少 20(2019 安徽江淮十校最后一卷)已
9、知 P 是圆 F1：(x1)2y216 上任意一 点，F2(1,0)，线段 PF2的垂直平分线与半径 PF1交于点 Q，当点 P 在圆 F1上运动 时，记点 Q 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程； (2)记曲线 C 与 x 轴交于 A，B 两点，M 是直线 x1 上任意一点，直线 MA， MB 与曲线 C 的另一个交点分别为 D，E，求证：直线 DE 过定点 H(4,0) 解 (1)由线段 PF2的垂直平分线与半径 PF1交于点 Q，得|QF1|QF2|QF1| |QP|PF1|4|F1F2|2，所以点 Q 的轨迹为以 F1，F2为焦点，长轴长为 4 的 椭圆，故 2a4，a2,2
10、c2，c1，b2a2c23，曲线 C 的方程为x 2 4 y2 31. (2)证明：由(1)得 A(2,0)，B(2,0)，设点 M 的坐标为(1，m)，直线 MA 的方程 为 ym 3(x2)， 将 ym 3(x2)与 x2 4 y2 31 联立整理得 (4m227)x216m2x16m21080， 设点 D 的坐标为(xD，yD)，则2xD16m 2108 4m227 ， - 5 - 故 xD548m 2 4m227，则 yD m 3(xD2) 36m 4m227， 直线MB的方程为 ym(x2)， 将 ym(x2)与x 2 4 y2 31联立整理得(4m 2 3)x216m2x16m21
11、20， 设点 E 的坐标为(xE，yE)，则 2xE16m 212 4m23 ， 故 xE8m 26 4m23，则 yEm(xE2) 12m 4m23， HD 的斜率为 k1 yD xD4 36m 548m244m227 6m 4m29， HE 的斜率为 k2 yE xE4 12m 8m2644m23 6m 4m29， 因为 k1k2，所以直线 DE 经过定点 H. 21(2019 河北中原名校联盟联考)已知函数 f(x)ex，g(x)aln x(a0) (1)当 x0 时，g(x)x，求实数 a 的取值范围； (2)当 a1 时，曲线 yf(x)和曲线 yg(x)是否存在公共切线？并说明理由
12、 解 (1)令 m(x)g(x)xaln xx，则 m(x)a x1 ax x . 若 0a，则 m(x)0 时，因为 h(x)(x1)ex0，h(1)1e0，当 x0(x0，)时，h(x)0， 又 h(2)3e 210，h(2)e230，所以 h(x)在(2，x 0)内和(x0,2)内各 有一个零点 故假设成立，即曲线 yf(x)和曲线 yg(x)存在公共切线 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x 31 2t， y 3 2 t (t 为参 数) 直线 l 与 x 轴交于点 A.以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴， 建立极坐标系， 射线 l： 6(0)，直线 l 与
13、射线 l交于点 B. (1)求 B 点的极坐标； (2)若点 P 是椭圆 C：x2y 2 31 上的一个动点，求PAB 面积的最大值及面积 - 7 - 最大时点 P 的直角坐标 解 (1)l：y 3(x 3) 3x3， 则 l 的极坐标方程为 sin 3cos3. 令 6得 3，B 点的极坐标为 3， 6 . (2)|AB|OA| 3，S 3 2 d. 设 P 点坐标为(cos， 3sin)，l： 3xy30. d| 3cos 3sin3| 2 3 2 |(cossin) 3| 3 2 2cos 4 3 . 当 42k(kZ)时，dmax 3 6 2 ， Smax3 33 2 4 . 此时 c
14、oscos3 4 2 2 ，sinsin3 4 2 2 ， P 点坐标为 2 2 ， 6 2 . 23设函数 f(x)|2x4|x1|， (1)求函数 f(x)的最小值； (2)若直线 ya 与曲线 yf(x)围成的封闭区域的面积为 9，求 a 的值 解 (1)当 x2 时，f(x)3x33； 当1x2 时，f(x)5x(3,6)； 当 x1 时，f(x)33x6， f(x)min3. (2)f(x) 3x3，x2， 5x，1x2， 33x，x1， f(x)的图象如图所示： - 8 - y6 与 yf(x)围成的三角形面积为 S1 23(1)(63)66. 故 yf(x)，y6，ya 围成的梯形面积为 3. 令 f(x)3x3ax1a3 3 ； 令 f(x)33xax23a 3 ， 故梯形面积为1 2 4 a3 3 3a 3 (a6)3， a3 5.
