1、 - 1 - 解答题(四) 17(2019 河北石家庄二模)已知数列an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 S53a3，a4a68. (1)求 an； (2)设 bn2n an，求数列bn的前 n 项和 Tn. 解 (1)因为数列an是等差数列，所以 S55a3， 又 S53a3，a30， 由 a4a682a5，得 a54，所以 a5a32d4，解得 d2, 所以数列an 的通项公式为 ana3(n3)d2(n3). (2)由(1)得 bn2n an(n3) 2n 1， Tn(2) 22(1) 230 24(n3) 2n 1， 2Tn(2) 23(1) 24(n4) 2n 1(n3) 2n
2、2， 两式相减得 2TnTn2 22(23242n 1)(n3) 2n28812 n1 12 (n3) 2n 2(n4) 2n216，即 T n(n4) 2n 216. 18 (2019 江西省名校 5 月联考)已知空间几何体 ABCDE 中， BCD 与CDE 均为边长为 2 的等边三角形，ABC 为腰长为 13的等腰三角形，平面 CDE平 面 BCD，平面 ABC平面 BCD. (1)试在平面 BCD 内作一条直线，使直线上任意一点 F 与 A 的连线 AF 均与平 面 CDE 平行，并给出详细证明； (2)求直线 BE 与平面 AEC 所成角的正弦值 解 (1)如图所示，分别取 BC 和
3、 BD 的中点 H，G，作直线 HG，则 HG 为所 求直线 - 2 - 证明如下：因为点 H，G 分别为 BC 和 BD 的中点，所以 HGCD，取 CD 的 中点 O，连接 EO，AH，则 EOCD，AHBC，因为平面 CDE平面 BCD，且 EOCD，所以 EO平面 BCD，又平面 ABC平面 BCD，AHBC，则 AH平 面 BCD，所以 EOAH. 又 AH平面 CDE，EO平面 CDE， 所以 AH平面 CDE. 因为 GHCD，GH平面 CDE，CD平面 CDE， 所以 GH平面 CDE， 因为 AH，GH平面 AGH，AHGHH， 则平面 AHG平面 CDE， 所以直线 HG
4、上任意一点 F 与 A 的连线 AF 均与平面 CDE 平行 (2)连接 OB，以 CD 的中点 O 为坐标原点，OD 所在直线为 x 轴，OB 所在直 线为 y 轴，OE 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 则 C(1,0,0)，E(0,0， 3)，B(0， 3，0)，A 1 2， 3 2 ，2 3 ，BE (0， 3， 3)， 设平面 AEC 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n CE x 3z0， n EA 1 2x 3 2 y 3z0， 取 x 3， y3， z1， 得 n( 3，3,1) 则 cosBE ，n 4 3 6 13 2 26 13 . - 3 - 所以直线 BE 与
5、平面 AEC 所成角的正弦值为2 26 13 . 19(2019 四川绵阳三诊)甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转，由于业 务量扩大，现向社会招聘货车司机，其日工资方案如下：甲公司，底薪 80 元，司 机每中转一车货物另计 4 元；乙公司无底薪，中转 40 车货物以内(含 40 车)的部分 司机每车计 6 元，超出 40 车的部分，司机每车计 7 元假设同一物流公司的司机 一天中转货物的车数相同，现从这两家公司各随机选取一名货车司机，并分别记 录其 50 天的中转车数，得到如下频数表： 甲公司货车司机中转货物车数频数表 日中转车数 38 39 40 41 42 天数 10 15 10 10
6、5 乙公司货车司机中转货物车数频数表 日中转车数 38 39 40 41 42 天数 5 10 10 20 5 (1)现从记录甲公司的 50 天货物中转车数中随机抽取 3 天的中转车数，求这 3 天中转车数都不小于 40 的概率； (2)若将频率视为概率，回答下列两个问题： 记乙公司货车司机日工资为 X(单位：元)，求 X 的分布列和数学期望 E(X)； 小王打算到甲、乙两家物流公司中的一家应聘，如果仅从日工资的角度考 虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由 解 (1)设“这三天中转车数都不小于 40”的事件为 A， 则 P(A)C 3 25 C350 23 196. (2)设乙
7、公司货车司机日中转车数为 t，则 X 6t，t40， 7t40，t40. 则 X 的所有取值分别为 228,234,240,247,254，其分布列为： 日工资 228 234 240 247 254 概率 P 1 10 1 5 1 5 2 5 1 10 - 4 - E(X)228 1 10234 1 5240 1 5247 2 5254 1 10241.8. 设甲公司货车司机日工资为 Y，日中转车数为 ，则 Y480， 则 Y 的所有可能取值为 232,236,240,244,248，则分布列为： 日工资 232 236 240 244 248 概率 P 1 5 3 10 1 5 1 5 1
8、 10 E(Y)2321 5236 3 10240 1 5244 1 5248 1 10238.8. 由 E(X)E(Y)知，若仅从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司 20(2019 辽宁沈阳教学质量监测三)已知抛物线 C：x22py(p0)的焦点为 F， M(2，y0)是 C 上一点，且|MF|2. (1)求 C 的方程； (2)过点 F 的直线与抛物线 C 相交于 A，B 两点，分别过 A，B 两点作抛物线 C 的切线 l1，l2，两条切线相交于点 P，点 P 关于直线 AB 的对称点为点 Q，判断四 边形 PAQB 是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在， 请说明
9、理由 解 (1)根据题意知，42py0， 因为|MF|2，所以 y0p 22， 联立解得 y01，p2. 所以抛物线 C 的方程为 x24y. (2)四边形 PAQB 存在外接圆 设直线 AB 的方程为 ykx1，代入 x24y 中， 得 x24kx40，设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 16k2160，且 x1x24k，x1x24， 所以|AB|1k2|x1x2|4(k21)， 因为 C：x24y，即 yx 2 4，所以 y x 2. 因此，切线 l1的斜率为 k1x1 2，切线 l2 的斜率为 k2x2 2， 由于 k1k2x1x2 4 1，所以 PAPB，即PAB 是直角三
10、角形，所以PAB 的 - 5 - 外接圆的圆心为线段 AB 的中点，线段 AB 是圆的直径， 所以点 Q 一定在PAB 的外接圆上，即四边形 PAQB 存在外接圆又因为|AB| 4(k21)，所以当 k0 时，线段 AB 最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小， 最小面积为 4. 21(2019 安徽皖南八校联考三)已知函数 f(x)aln (x1)x1，其中 aR. (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)令函数 g(x)f(x)ex，若 x0，)时，g(x)0，求实数 a 的取值范围 解 (1)由 x10 得 x1，可知函数 f(x)的定义域为(1，) 由 f(x) a x11 xa1
11、x1 . 当 a11 时，a0，f(x)1 时，a0，令 f(x)0 得10.由上可知存在 x0(0，a)，使得 g(x0)0， 故函数 g(x)的减区间为(1，x0)，增区间为(x0，)，又由 g(0)0，可得当 x (0，x0)时，g(x)0 可知点(6,0)在曲线 C2外； 若 k0 可知点()6，0 在曲线 C2外 综上，无论 k 取何值，曲线 C2都不能包围曲线 C1. 23已知函数 f(x)|2x1|，g(x)|x1|. (1)在图中画出 f(x)和 g(x)的图象，并写出不等式 f(x)g(x)的解集； (2)若|f(x)2g(x)|a(aR)恒成立，求 a 的取值范围 解 (1)f(x)，g(x)的图象如图，不等式 f(x)g(x)的解集为 x x0或x1 2或x1， |4x3|，1x1 2， 所以|f(x)2g(x)|1，所以 a1. - 7 -
